28.9.25

Übersicht: Somawürfel

Hier finden Sie alle systematischen Übersichten.


Klassischer Somawürfel

Der Somawürfel wurde in den 1930er Jahren von Piet Hein erfunden. Sieben Teile sind zu einem Würfel der Größe 3x3 zusammenzusetzen. Was einfach aussieht, erweist sich aber als tückisch. Der Somawürfel ist weit verbreitet und vermutlich der am häufigsten anzutreffende Packwürfel. 


Somawürfel mit Schachbrettmuster

Hier sind die Elementarwürfel in zwei Farben gefärbt und der fertige Somawürfel soll ein Schachbrettmuster tragen.  

Verzerrte Somawürfel

Staucht man den Somawürfel in Richtung einer oder mehrerer Achsen, werden die Elementarwürfel zu Quadern. Bei einer schrägen Stauchung entstehen Parallelepipede. In beiden Fällen können die Steine nicht mehr beliebig gedreht werden. 

Somawürfel mit anderen Hindernissen

Auch andere Verformungen können dazu führen, dass nicht Steine nur noch in einer bestimmten Lage oder an einem bestimmten Ort verbaut werden können.

Balancierte Somawürfel

Gewöhnlich soll der fertige Somawürfel flach auf dem Tisch stehen. Wir können aber auch verlangen, dass der fertige Somawürfel auf einem kleinen Ständer balanciert, ohne auseinanderzufallen.

Soma Formenbauspiel

Dies ist der übliche Somawürfel in einer Variante aus dem DDR-Verlag practic. Die sieben hölzernen "Bauelemente" sind aus Fichte, die Schnitte recht rau. Nützlich sind die 15 Vorlagen auf der Verpackung, eine ist hier aufgebaut.

Hier das Geduldspiel in Originalverpackung.

Mehr Details zum Somawürfel finden sich in der Einführung zum Somawürfel.

Design:  Piet Hein
Hersteller: practic-Verlag und VEB Bauelementewerk Erfurt
Erscheinungsjahr: 1970er Jahre

Shopping: Nicht lieferbar

27.9.25

Aufgaben für Pentominos (Nr. 21-41)

Die Pentominos sind ein Klassiker, aus den 5 Steinen mit insgesamt 60 Elementarquadraten lassen sich viele Formen legen. 20 Aufgaben für Pentominos wurden bereits vorgestellt.

Schwierigkeit: Die Aufgaben sind nicht zu schwierig, sondern lassen sich meist von Hand lösen. Natürlich kann auch der Computer helfen, praktisch alle Programme (wie PolySolver oder mops.exe) lösen solche Aufgaben blitzartig. Hier soll jeweils eine Lösung angegeben werden, da es praktisch unmöglich ist, sich eine solche Lösung schnell einzuprägen. Man wird also automatisch nach einer anderen Lösung suchen.

Vielleicht haben Sie bereits die nötigen Steine aus einem ihrer Geduldspiele, sonst kann 3D-Druck helfen.

Bei einigen der Aufgaben unten handelt es sich um schon lange bekannte Aufgaben. 

Zunächst einige weitere Rechtecke mit Löchern.

Aufgabe 21: Rechteck 5x13 mit 5 Löchern, Variante a

Aufgabe 22: Rechteck 5x13 mit 5 Löchern, Variante b

Aufgabe 23: Rechteck 7x10 mit 10 Löchern, Variante A

Aufgabe 24: Oval 4x16

Entfernt man die Steine in den Ecken, erinnert die Form an ein Oval.

Statt Rechtecken lassen sich auch Parallelogramme zeichnen, indem man die Zeilen jeweils um ein Elementarquadrat nach einer Seite verschiebt.

Aufgabe 25: Parallelogramm aus Rechteck 10x6

Aufgabe 26: Parallelogramm aus Rechteck 12x5

Aufgabe 27: Parallelogramm aus Rechteck 15x4

Aufgabe 28: Parallelogramm aus Rechteck 20x3


Verschiebt man die untere Hälfte in die andere Richtung, ähneln die Formen einem Pfeil:

Aufgabe 29: Pfeil aus Rechteck 10x6

Aufgabe 30: Pfeil  aus Rechteck 12x5

Aufgabe 31: Pfeil aus Rechteck 15x4 

Aufgabe 32: Pfeil aus Rechteck 20x3 

Verengt man beide Seiten nach oben, so entstehen Trapeze:

Aufgabe 33: Trapez aus Rechteck 10x6 

Aufgabe 34: Trapez aus Rechteck 12x5 

Aufgabe 35: Trapez aus Rechteck 15x4 

Aufgabe 36: Trapez aus Rechteck 20x3 


Man kann zusätzlich ein Parallelogramm von oben durch einen senkrechten Schnitt in zwei Teile zerlegen. Dieser Schnitt muss nicht in der Mitte erfolgen, es müssen nur beide Flächen eine durch fünf teilbare Fläche besitzen, um sie überhaupt mit Pentominos füllen zu können. Und diese zwei Teile kann man außerdem zum Rechteck und zum Trapez zusammensetzen!

Aufgabe 37: Geteiltes Parallelogramm aus Rechteck 12x5, Variante a

Aufgabe 38: Geteiltes Parallelogramm aus Rechteck 12x5, Variante b

Aufgabe 39: Geteiltes Parallelogramm aus Rechteck 12x5, Variante c

Aufgabe 40: Geteiltes Parallelogramm aus Rechteck 12x5, Variante d

Aufgabe 41: Geteiltes Parallelogramm aus Rechteck 12x5, Variante e


Elegante Hexomino-Lösung für Tenyo-Rahmen (Nr. 14)

Im Original von Tenyo sollen die 35 Hexominos in einen rechteckigen Rahmen der Größe 19x11 mit einem oben in der Mitte angesetzten Elementarquadrat gefüllt werden (siehe Aufgabe 1 der Hexomino-Aufgaben). Wem dies zu einfach ist, der kann sich darum bemühen, die Hexominos in diesem Rahmen auf möglichst elegante Weise anzuordnen.

Eine solche elegante Art ist die Zerlegung des Rahmens in sechs Rechtecke (wieder mit einem einzelnen angefügten Elementarquadrat), die jeweils aus 30, 36 oder 42 Elementarquadraten bestehen. Lässt sich auch dieser Rahmen mit den Hexominos füllen?

Diese Aufgabe ist unvergleichlich schwieriger, als ohne diese Zerlegung. Sie wurde bereits im Jahr 2000 von Ishino Keiichiro [1] gelöst. Eine vollständige Analyse ergab, dass es insgesamt 8507 Lösungen gibt. Wir wollen hier eine eigene Lösung finden und dabei so vorgehen wie beim Packen der Hexominos und Trominos in 6 Rahmen 6x6: Wir zerlegen die Aufgabe zunächst in sechs Teilaufgaben entsprechend der sechs Rahmenteile. Dann lösen wir diese Aufgabe einzeln. Im dritten Schritt suchen wir nach einer Kombination von sechs Lösungen der sechs Teilaufgaben (d.h. jeweils eine Lösung für jede Teilaufgabe), die insgesamt alle 35 Steine enthalten. Wenn uns das gelingt, haben wir eine Lösung gefunden.

Das Vorgehen ist analog wie beim Packen der Hexominos und Trominos in 6 Rahmen 6x6:

Im ersten Schritt werden mit dem Programm mops.exe Listen aller Lösungen für die vier verschiedenen Rahmen ermittelt. Zwei der Listen werden doppelt verwendet, da jeweils zwei Rahmen gleich groß sind. Alle Listen werden sortiert und dedupliziert, um Duplikate zu entfernen. Im zweiten Schritt wird mittels SMT-Solver aus jeder Liste eine Zeile ausgewählt, so dass alle Steine in den sechs Zeilen vorkommen. Dadurch kommt auch kein Stein in diesen ausgewählten Zeilen doppelt vor.

Damit haben wir die Nummern der Steine für jeden der sechs Rahmen und müssen diese noch einmal in die entsprechenden Rahmen packen, um endgültig eine Lösung zu finden.


Wieder haben wir zunächst keinerlei Vorstellungen, ob die Laufzeit einige Minuten, einige Tage oder gar Jahre betragen wird. Als Maßstab nehmen wir die bereits gelöste Aufgabe. Diese hatte mit den Trominos zwei zusätzliche Steine, könnte also komplizierter sein. Auch gab es nur zwei verschiedene Listen statt diesmal vier. Der bisher verwendete SMT-Solver findet in vertretbarer Zeit (ca. 1 Woche) keine Lösung, so dass nach alternativer Software gesucht wurde. Bei Python 3 findet man das Paket Ecact Cover [2], welches wiederum Numpy benutzt. Dort ist der so genannte Algorithmus X von Donald Knuth implementiert, welcher Exact-Cover-Probleme sehr effizient löst. Damit wurde die oben abgebildete Lösung als erste gefunden, und zwar nach zwei Tagen. Danach wurden weitere Lösungen in unterschiedlichen Zeitabständen gefunden, manchmal dauerte es nur Sekunden bis zur nächsten Lösung. Bis zum Abbruch nach 5 Tagen wurden rund 100 verschiedene Lösungen gefunden.

Mehr Infos: 

[1] https://puzzlewillbeplayed.com/Hexominoes/
[2] https://github.com/jwg4/exact_cover

24.9.25

Trapped Ping Pong Ball / Tischtennisball in Käfig

Ein gewöhnlicher Tischtennisball ist in einem schlanken Käfig mit quadratischem Querschnitt gefangen. An allen sechs Seiten befinden sich Öffnungen, durch die der Ball herausschauen kann, aber er passt nicht durch die Öffnungen hindurch.

Der Käfig besteht aus einem Stück und wurde mittels 3D-Druck hergestellt.

Es handelt sich hier um ein Puzzleobjekt. Die Aufgabe besteht diesmal nicht darin, den Ball zu befreien, denn dies ist unmöglich, ohne dabei den Käfig zu zerstören. Die Frage ist: Wie ist der Ball in den Käfig gelangt? 

Schwierigkeit: Für Puzzler mit Kenntnissen im 3D-Druck sollte die Sache klar sein. Und für alle anderen? Der 3D-Druck macht wegen einer kleinen Besonderheit noch mehr Spaß als sonst.

Ähnliches Objekt: Bei der unmöglichen Schraube mit zwei Köpfen übernimmt die Schraube die Rolle des Käfigs, der nicht verlassen werden kann.

Design:  klassisch, 3D-Modell: Scott Finley (srfin)
Erscheinungsjahr: 2016


3D-Druck: Das Modell von Scott Finley (srfin) zur Verwendung mit der Lizenz CC-BY findet man auf Thingiverse

Dabbit / Kanente als 3D-Figur

Das Mischwesen aus Kaninchen und Ente (Kanente), im Englischen aus Duck und Rabbit (Dabbit), wird bei dem Symmetriepuzzle Dabbits genauer vorgestellt. Die Originalzeichnung [1] aus dem Jahr 1892 hat 3D-Designer inspiriert, daraus die folgende Figur zu erschaffen. Abgebildet ist zweimal dieselbe Figur in verschiedener Position:

Es handelt sich um eine optische Illusion, je nach Position erkennt man Ente oder Kaninchen. Hier das Tier in einer mittleren Position, man erkennt sowohl das Kaninchen wie auch die Ente.


Design:  Thingiverse-Nutzer kijai und LuxHen
Erscheinungsjahr: 2016, 2024

3D-Druck: Das Modell von LuxHen mit der Lizenz CC BY-NC-SA findet man auf Thingiverse .

21.9.25

Quzzle Killer

Quzzle Killer ist das schwierigste Schiebespiel, das mit den Steinen von Dad’s Puzzler im gleichen Rahmen gespielt werden kann: Drei der Dominos liegen und drei stehen, und der große Stein soll von oben links nach oben rechts bewegt werden und auch alle anderen Steine sollen ein spiegelsymmetrisches Bild ergeben. Das heißt nicht, dass jeder Stein an seine gespiegelte Position gebracht werden muss, da wir Steine gleicher Form und Orientierung als nicht unterscheidbar betrachten. 

Start                                                       Ziel

Historisches: Bei der Suche nach dem schwierigsten solchen Spiel wurde zunächst von Jim Lewis zunächst Quzzle gefunden, aber B. Henderson and Gil Dogon fanden mit Quzzle Killer ein noch schwierigeres Schiebespiel, welches mit 105 geradlinigen Zügen 12 Züge mehr benötigt als Quzzle. Damit dürfte aber das Maximum erreicht sein.

Design:  B. Henderson and Gil Dogon

Hersteller:  spielbar mit Quzzle, dem EselspuzzleKhun Pan oder natürlich der Baukasten für Schiebespiele..
Erscheinungsjahr: ca. 2000

Google: Killer Quzzle
Shopping: Nicht lieferbar.

Mehr Infos:

Quzzle

Quzzle ist ein Schiebespiel, das mit den Steinen von Dad’s Puzzler im gleichen Rahmen gespielt werden kann: Drei der Dominos liegen und drei stehen, und der große Stein soll von oben links nach oben rechts bewegt werden und auch alle anderen Steine sollen ein spiegelsymmetrisches Bild ergeben. Das heißt nicht, dass jeder Stein an seine gespiegelte Position gebracht werden muss, da wir Steine gleicher Form und Orientierung als nicht unterscheidbar betrachten. Mit anderen Worten, das untere kleine Quadrat im linken Bild muss nicht identisch sein mit dem unteren Quadrat im rechten Bild.

Start                                                       Ziel

Historisches: Jim Lewis suchte nach dem kompliziertesten Schiebespiel, das sich mit den gegebenen Steinen im gegebenen Rahmen finden lässt [1]. Er schrieb ein Computer-Programm in der Programmiersprache Haskell und fand so dieses Geduldspiel. Es wurde auch kommerziell vertrieben als das komplizierteste Schiebespiel. Später wurde ein kleiner Fehler in dem Programm gefunden, und das noch kompliziertere Schiebespiel Quzzle Killer wurde gefunden.

Für Quzzle lassen sich möglicherweise vorhandenen andere Schiebespiele verwenden: Das EselspuzzleKhun Pan oder natürlich der Baukasten für Schiebespiele.

Design:  Jim Lewis
Hersteller:  verschiedene
Erscheinungsjahr: ca. 2000

Google: Quzzle
Shopping: Nicht lieferbar.

Mehr Infos:

20.9.25

Schachbrett-Paradoxon

Ein Quadrat der Größe 8x8 wird mit drei geraden Schnitten zerteilt:

Danach wird es zu einem Rechteck der Größe 5x13 zusammengelegt. Dieses Rechteck hat eine Fläche von 65 gegenüber dem dem Ausgangsquadrat mit einer Größe von 64. Wie kann das sein?

Und es geht noch mysteriöser: Die vier Teile lassen sich auch zu einer Form aus drei Rechtecken zusammenlegen, die offensichtlich nur eine Fläche von 63 haben.

Ein vergleichbarer Effekt ist schon beim Verschwinden und Erscheinen durch Verschiebung entlang einer schrägen Linie vorgekommen. Und tatsächlich funktioniert das Schachbrett-Paradoxon ähnlich. Wikipedia bezeichnet es als Schein-Paradoxon [1], da es  (natürlich) eine mathematische Erklärung gibt. Erkennen Sie den Trick, ohne nachzulesen? Der deutsche Mathematiker Oskar Schlömilch schrieb dazu 1868 [2]: "Wir theilen diese kleine Neckerei mit, weil die Aufsuchung des begangenen Fehlers eine hübsche Schüleraufgabe ist..."

Design:  benannt nach Sam Loyd und Oskar Schlömilch
Erscheinungsjahr: 1868 [2]

3D-Druck: Das Modell von QQBoxy mit der Lizenz CC BY findet man auf Thingiverse.

Mehr Infos:
[2] Oskar Schlömilch: Ein geometrisches Paradoxon. In: Zeitschrift für Mathematik und Physik, Band 13, 1868, S. 162

Verschwinden und Erscheinen durch Vertauschung an einer nichtgeraden Schräge

Das Verschwinden und Erscheinen durch Drehung um 45 Grad oder durch Drehung um 90 Grad haben wir schon kennengelernt, hier soll die dritte Möglichkeit vorgestellt werden: die Verschiebung entlang einer schrägen Linie. Hier erst einmal das schematische Bild nach [1]:

Vertauscht man die Plätze des roten und des blauen Dreiecks und füllt die Fläche rechts unten mit den restlichen beiden Steinen, so bleibt plötzlich ein Elementarquadrat frei. Mit anderen Worten hat sich die Fläche des bunten Dreiecks durch Umordnen der Teile vergrößert. Anders als bei den Rechtecken aus den oben genannten Posts sind die Ecken des Dreiecks aber nicht ein Stückchen nach außen gewandert, sondern befinden sich an der gleichen Stelle. Wie kann sich da die Fläche vergrößert haben? Betrachten Sie die schräge Dreiecksseite mit den markierten Gitterpunkten genau: Im unteren Bild liegen die markierten Punkte etwas höher als im oberen Bild. In beiden Fällen handelt es sich bei der schrägen Linie gar nicht um eine gerade Linie, sondern die Linie hat jeweils einen Knick. Im oberen Dreieck verläuft der Knick konkav nach innen, unten konvex nach außen. Der Unterschied beträgt gerade die scheinbar hinzugekommene Fläche eines Elementarquadrates.

Der Trick ist relativ einfach, wird aber öfters in komplizierteren Geduldspielen versteckt. Die Aufgabe besteht dann darin, ein kleines Quadrat zusätzlich in einen scheinbar schon ausgefüllten Rahmen zu packen. 

3D-Druck: Hier die oben abgebildete Variante zum 3D-Druck unter dem Namen The Missing Square. Das Modell stammt von Clayton Hull (claytations3D)  mit der Lizenz CC BY, man findet es auf Thingiverse.


Dieses Paradoxon ist (in leicht veränderter Form) seit 1774 bekannt und geht auf William Hooper zurück [2]. In dieser Variante stammt es von dem Magier Paul Curry aus dem Jahr 1953

Man kann daraus übrigens auch einen Zaubertrick machen, indem man zunächst den scheinbar ausgefüllten Rahmen mit vier Steinen nimmt, diesen dann ausschüttet und das zusätzliche Elementarquadrat hinzunimmt. Dann werden die Steine unter magischen Beschwörungen "geschrumpft", so dass man jetzt alle fünf Steine "genauso" in den Rahmen packen kann.

Mehr Infos:

[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlendes-Quadrat-R%C3%A4tsel
[2] https://de.wikipedia.org/wiki/Paradox_von_Hooper 

17.9.25

Brickpack

Dieses Geduldspiel sieht aus wie eine kompliziertere Version von Sixmetry. In einen 4x4x4-Würfel sollen sechs Teile gepackt werden. Hier sind diese sechs Teile (anders als bei Sixmetry) alle verschieden. Vier Teile sind auf verschiedene Arten aus einem 1x2x3-Klotz und einem 1x2x2-Klotz zusammengeklebt, die restlichen beiden bestehen aus jeweils zwei 1x2x3-Klötzern. Mit diesen muss die Kiste vollständig gefüllt werden.

Die Teile der Größe 1x2x3 und 1x2x2 sind aus mehreren verschiedenen Hölzern gefertigt. Beim Kauf erhält man die Kiste gepackt mit einer Beinahe-Lösung, der letzte Stein schaut oben aus der Kiste heraus. Hier ein Beispiel für eine solche Beinahe-Lösung:

Schwierigkeit: Extrem schwierig, Vinco vergibt 5+ von 5 Punkten, damit ist das Puzzle schwieriger als eigentlich erlaubt. Mitgeliefert wird ein Beipackzettel, der sowohl eine Beinahe-Lösung wie auch die vollständige Lösung enthält. Die Aufgabe, eine Beinahe-Lösung zu finden, sollte jedoch für fast jeden lösbar sein.

Design:  Vinco
Hersteller und Artikelnummer:  Vinco Nr. 522
Erscheinungsjahr: 2018

Google: Brickpack Vinco
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 15-25€

Sixmetry

Das Puzzle von Vinco stellt uns vor eine scheinbar einfache Aufgabe: In einen 4x4x4-Würfel sollen sechs gleiche Teile gepackt werden. Jedes solche Teil ist auf die gleiche Art aus einem 1x2x3-Klotz und einem 1x2x2-Klotz zusammengeklebt. Damit besteht jedes Teil aus 10 Elementarwürfeln, in der Kiste ist Platz für 4*4*4=64 Elementarwürfel. Es werden also irgendwo vier Elementarwürfel frei bleiben.

Die Teile der Größe 1x2x3 und 1x2x2 sind aus mehreren verschiedenen Hölzern gefertigt. Beim Kauf erhält man die Kiste gepackt mit einer Beinahe-Lösung, der letzte Stein schaut oben aus der Kiste heraus. Das sieht dann so aus: 

Schwierigkeit: Sehr schwierig, Vinco vergibt 5 von 5 Punkten. Mit der richtigen Idee wird es etwas einfacher. Mitgeliefert wird ein Beipackzettel, der sowohl eine Beinahe-Lösung wie auch die vollständige Lösung enthält. Die Aufgabe, eine Beinahe-Lösung zu finden, sollte übrigens für fast jeden lösbar sein.

Außerdem erinnert der Name Sixmetry irgendwie an Symmetrie, oder? Man könnte also auf irgendeine Art Symmetrie in der Lösung hoffen.

Sixmetry war das Austauschpuzzle von Patrick Major auf IPP41. 

 

Design:  David Goodman
Hersteller und Artikelnummer:  Vinco, Nr. 589
Erscheinungsjahr: 2024

Google: Sixmetry
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 15€

14.9.25

Cast Cake

Die Aufgabe von Cast Cake besteht darin, aus einem zu einem Viertel angeschnittenen Kuchen drei identische Scheiben zu entnehmen und anschließend wieder einzupacken. Als Hilfe ist der Kuchen in der mittleren Schicht noch ein weiteres Viertel aufgeschlitzt..


Cast Cake besticht durch seine konzeptionelle Einfachheit: Die drei Scheiben sind wirklich völlig identisch. Auch das Gehäuse enthält im Inneren keine versteckten  oder unerwarteten Bestandteile, wie man sich überzeugen kann, wenn man Cast Cake gelöst hat.

Schwierigkeit: Hanayama vergibt eine Schwierigkeit von 4/6, also schwer. Vielleicht wird es sogar sehr schwer; da man vermutlich noch nie ein Geduldspiel mit dieser Lösung gesehen hat, ist man auf neue Art gefordert. Zufällig wird man Cast Cake nicht lösen können, man benötigt eine Idee und wenn diese funktioniert, hat man einen schönen Aha-Moment.  

Design:  Bram Cohen
Hersteller:  Hanayama
Erscheinungsjahr: 2016

Google: Hanayama Cast Cake
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 15€

Cast Heart

Dies ist ein weiteres Geduldspiel zum Thema Liebe: Zwei Herzen in Gold und Silber sind durch eine relativ lange Kette verbunden. Nachdem als erste Aufgabe das kleine silberne Herz gelöst wurde, soll es als zweite Aufgabe wieder an das goldene Herz gekettet werden. 

Das große goldene Herz hat drei relativ große Löcher: Durch die oberen beiden laufen die Enden der Ketten, diese sind hinter den Löchern jeweils durch einen Ring blockiert. Die Enden können also nicht einfach durch die Löcher rutschen. Durch das dritte Loch wurde die Kette doppelt hindurchgeführt und mit einer Doppelschlinge (als Seemannsknoten nennt man dies Ankerschlag) befestigt. Nach diesem Ankerschlag läuft die Kette doppelt durch ein großes Loch in dem silbernen Herzen zu den beiden Enden der Kette durch die Löcher im großen Herzen.

Im gelösten Zustand ist das silberne Herz frei, die Kette hängt aber immer noch im goldenen Herzen.

Schwierigkeit: Hanayama vergibt eine Schwierigkeit von 4/6, also schwer. Allerdings gibt es relativ viele Puzzles mit gleicher oder ähnlicher Lösung. Wenn man diese kennt, wird es deutlich einfacher.  

 

Design:  Variante eines Klassikers
Hersteller:  Hanayama
Erscheinungsjahr: 2001

Google: Hanayama Cast Heart
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 15€

Cast Rotor

Zwei identische Rotorblätter in futuristischem Design hängen ineinander und sollen getrennt werden.  Die Rotorblätter haben eine nahezu symm...