Heptominos in ein Rechteck der Breite 5 Packen

Die 108 Heptominos besitzen keine durch 5 teilbare Gesamtfläche, aber wir benötigen ja sowieso mindestens ein Loch für das eine Heptomino mit Loch. Mit insgesamt vier zusätzlichen Löchern ist die Fläche aller Heptominos durch 5 teilbar: 108*7+4=152*5.

Aus ästhetischen Gründen platzieren wir die vier Löcher um ein Feld nach innen verschoben in die vier Ecken (auch viele andere Positionen sind denkbar) und versuchen, dieses 152x5-Rechteck mit Heptominos zu füllen. Solche schlanken Rechtecke sind viel schwieriger zu füllen als Rechtecke in fast quadratischer Form, da jetzt für viele Steine in länglicher Form eine Orientierung vorgegeben ist: Sie müssen flach liegen und können nicht aufrecht stehen. Die erste Lösung für diese Aufgabe wurde von  Lewis Patterson [1] gefunden, er hat die Lösung von Hand begonnen und die letzten Steine maschinell eingefügt. 

Wir wollen die Aufgabe vollständig mit automatischen Mitteln lösen und das Programm mops.exe einsetzen. Dazu soll wieder die Lösungsstrategie mit Berücksichtigung der der Nützlichkeit benutzt werden, d.h. die Heptominos werden zunächst nach Nützlichkeit sortiert und dann werden möglichst viele nützliche Steine bis zuletzt aufgehoben. Und es kommt noch eine Schwierigkeit hinzu: Mit mops.exe lassen müssen Rahmen mit Löchern von Hand gezeichnet werden und die dazu zur Verfügung stehende Fläche ist beschränkt auf eine Breite von 51. Deshalb bietet es sich an, das lange Rechteck in drei nahezu gleichgroße Teile zu zerschneiden. Da jedes Teil eine durch 7 teilbare Fläche besitzen soll, sind senkrechte Schnitte nicht möglich und wir müssen irgendwie in Zacken schneiden. Beispielsweise könnten die drei Teile so aussehen:

Das mittlere Teil hat zwar nun eine Breite von 52 (statt maximal 51), aber damit können wir hoffentlich mit einem zusätzlichen Trick fertig werden.

Zunächst muss die Nützlichkeit der Heptominos ermittelt werden. Dazu wurden mit Pack / Determing Frequencies 10.000 Rechtecke der Größe 10x7 mit Heptominos gefüllt und dabei die Verwendungshäufigkeit der einzelnen Heptominos automatisch mitgezählt. Dabei ergaben sich die folgenden Frequenzen (türkis hinterlegt).

Die nützlichsten Heptominos erkennt man nun an der höchsten Frequenz.

Für die erste zu füllende Fläche wurden nun alle Heptominos ab einer Frequenz von 850 blockiert (Lock / Lock High Frequencies). Aus den verbleibenden 66 am wenigsten nützlichen Steinen lassen sich tatsächlich 36 Steine finden, die den ersten Rahmen füllen.

Da die beiden äußeren Rahmenteile kongruent sind, wird der Einfachheit halber das andere äußere Rahmenteil zu füllen versucht. Das glückt, wenn man die bereits verwendeten Heptominos blockiert (Lock / Lock Used Pieces) und dann alle Steine mit Frequenzen bis 1200 zulässt. 

Schließlich bleiben noch 36 Steine für das mittlere Rahmenteil. Dies hat aber eine Breite von 52 statt nur 51. Deshalb platzieren wir eines der noch verbliebebenen Heptominos fest an die Trennstelle zwischen dem mittleren und dem rechten Rahmenteil und erhalten so einen verkleinerten Rahmen, der nur noch die erlaubte Maximalbreite von 51 hat:

Tatsächlich lässt sich der so verkleinerte mittlere Teilrahmen mit den verbliebenen 35 Steinen füllen. 

Aus diesen Teilen lässt sich die Gesamtlösung zusammensetzen, wie rechts neben dem Text zu sehen ist.

Mehr Infos

[1]: https://polyominoes.blogspot.com/2021/03/polyominoes-how-thin-can-we-go.html