Polyomino Progression

Dieses Symmetrie-Puzzle ist aufwändiger und damit schwieriger als üblich, denn es besteht aus vier (statt meist nur drei) Steinen: dem Z-Pentomino, einem Hexomino und zwei Heptominos, d.h. die drei Steine bestehen aus fünf, sechs oder sieben Elementarquadraten.

Aus diesen drei Steinen soll eine flache symmetrische Figur gelegt werden, ohne dass die Steine sich irgendwie überlappen.

Abb. von nothingyetdesigns.com mit freundlicher Genehmigung

Die Steine sind aus lasergeschnittenem Acryl.

Es gibt nur drei Lösungen. Können Sie diese finden? 

Schwierigkeit: Sehr schwierig, da sich durch bei vier Steinen sehr viele Anlegemöglichkeiten ergeben.  

Zusatzaufgabe: Sie können einen beliebigen Stein beiseite legen und nur die drei restlichen Steine verwenden, um daraus wieder eine symmetrische Form legen. Diese vier Aufgaben sind alle lösbar. Auch aus zwei der Steinen lässt sich eine symmetrische Form legen, dies klappt aber nur für ein Paar von Steinen. Können Sie herausfinden, für welches der sechs möglichen Paare dies klappt?

Lösungshinweis: Die Lösungen sind alle spiegelsymmetrisch, aber mit verschiedenartigen Symmetrieachsen.

 

Design:  Tylor Hudson
Hersteller:  NothingYet Designs

Google: "Polyomino Progression" symmetry puzzle

Shopping: Lieferbar, Preis ca. 5€

Hugs

Dieses Symmetrie-Puzzle besteht aus zwei Heptominos und einem Oktomino, d.h. die drei Steine bestehen aus sieben bzw. acht Elementarquadraten.

Aus diesen drei Steinen soll eine flache symmetrische Figur gelegt werden, ohne dass die Steine sich irgendwie überlappen.

Abb. von nothingyetdesigns.com mit freundlicher Genehmigung

Die Steine sind aus lasergeschnittenem Acryl.

Es gibt nur eine Lösung. Können Sie diese finden? Aus nur zwei Steinen lässt sich keine symmetrische Figur legen.

Schwierigkeit: Schwierig.  

Lösungshinweis: Die Lösung ist spiegelsymmetrisch.

 

Design:  Tylor Hudson
Hersteller:  NothingYet Designs

Google: "Hugs" symmetry puzzle

Shopping: Lieferbar, Preis ca. 5€

Diamond +

Neun gelbe Teile füllen einen Rahmen in Form eines Rhombus praktisch vollständig. Trotzdem gibt es in einem Extrafeld einen weiteren orangen Rhombus, welcher auch noch mit in den Rahmen gepackt werden soll. 

Die neun Einzelteile sind ein mittelgroßer Rhombus, sowie jeweils zwei große stumpfwinklige Dreiecke, mittelgroße rechtwinklige Dreiecke, Trapeze sowie unregelmäßige Vierecke.

Die Schnittkanten verlaufen alle parallel oder senkrecht zu einer Seitenkante oder entlang der großen Diagonale.  

Schwierigkeit: Schwierig. Wenn Sie planlos herumprobieren, ist es nahezu unmöglich, die Lösung zu finden. Kennen Sie allerdings den Ansatz, durch den der zusätzlich notwendige Platz entstehen könnte, dann sind Sie der Lösung einen großen Schritt näher.

Ähnliche Geduldspiele: Diamond + ist eines von drei Geduldspielen aus der Reihe Krasnoukhov's Amazing Packing Puzzles, bei denen jeweils ein zusätzlicher Stein in einen scheinbar schon gefüllten Rahmen eingefügt werden muss. Die anderen beiden sind Square + und Triangle +.

Lösungshinweis: Vielleicht können wir eine Idee benutzen, die wir für ähnliche Geduldspiele kennen. Der Trick bestand darin, alle Steine ein wenig zu drehen.

 

Design:  Vladimir Krasnoukhov 
Hersteller:  Recent Toys
Erscheinungsjahr: 2019

Google: Krasnoukhov Amazing Packing Puzzles
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 10€

Triangle +

Sieben gelbe Teile füllen einen Rahmen in Form eines gleichseitigen Dreiecks praktisch vollständig. Trotzdem gibt es in einem Extrafeld ein weiteres oranges gleichseitiges Dreieck, welches auch noch mit in den Rahmen gepackt werden soll. 

Die sieben Einzelteile sind ein mittelgroßes gleichseitiges Dreieck, zwei große und zwei mittelgroße rechtwinklige Dreiecke (das entspricht jeweils halbierten gleichseitigen Dreiecken) sowie zwei Trapeze.

Die Schnittkanten verlaufen alle entweder parallel oder senkrecht zu einer Seitenkante. 

Schwierigkeit: Schwierig. Wenn Sie planlos herumprobieren, ist es nahezu unmöglich, die Lösung zu finden. Kennen Sie allerdings den Ansatz, durch den der zusätzlich notwendige Platz entstehen könnte, dann sind Sie der Lösung einen großen Schritt näher.

Ähnliche Geduldspiele: Triangle + ist eines von drei Geduldspielen aus der Reihe Krasnoukhov's Amazing Packing Puzzles, bei denen jeweils ein zusätzlicher Stein in einen scheinbar schon gefüllten Rahmen eingefügt werden muss. Die anderen beiden sind Square + und Diamond +.

Lösungshinweis: Vielleicht können wir eine Idee benutzen, die wir für ähnliche Geduldspiele mit quadratischen Rahmen kennen. Der Trick bestand darin, alle Steine ein wenig zu drehen. Drehungen um 60 Grad entsprechen genau einer Drehung des Rahmens, wobei sich allerdings nichts ändert. Vielleicht ist die Hälfte davon, also eine Drehung um 30 Grad in die eine oder andere Richtung, eine gute Idee. Bei quadratischen Rahmen und dem Verschwinden und Erscheinen durch Drehung um 45 Grad haben wir zusätzlich festgestellt, dass sich dabei die Lage der rechten Winkel ändert. Bei der Startkonfiguration sind alle rechten Winkel mit Außenkanten verbunden. Vielleicht sollte man das ändern.

 

Design:  Vladimir Krasnoukhov 
Hersteller:  Recent Toys
Erscheinungsjahr: 2019

Google: Krasnoukhov Amazing Packing Puzzles
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 10€

BR-EAK-IN'

Kategorie: Trickboxen

Der wunderschöne kleine Roboter (ca. 13 cm hoch) hat in seinem kastenförmigen Bauch ein Geheimfach, welches geöffnet werden soll.

Im inneren klappert etwas, und der Kopf mit der darunterliegenden Platte sitzt nicht ganz fest. Aber wie soll das helfen? Außerdem hat der Roboter zwei rechte Füße, einer davon ist merkwürdig verdreht. Wir sollten davon ausgehen, dass es sich nicht um einen Herstellungsfehler handelt!

Schwierigkeit: leicht bis mittelschwer. Es kommt darauf an, wie lange Sie benötigen, um den Mechanismus für die Lösung zu erahnen.

Lösungshinweis: Dem Titel nach ist die ein Breakdance-Roboter. Was hilft uns das?

 

Design und Herstellung:  Osamu Kasho (Kash Kash), Karakuri Creation Group
Erscheinungsjahr: 2024

Google: Karakuri BR-EAK-IN
Shopping: Höchstens gebraucht lieferbar.

Cast Dolce

Cast Dolce ist ein optisch sehr ansprechendes Metallpuzzle, es besteht aus zwei Teilen, einem goldenen (weiblichen) Venussymbol und darin festhängenden (männlichen) Marssymbol. Die Aufgabe besteht darin, beide Teile zu trennen und dann wieder zusammenzufügen. 

Der Ring des Venussymbols ist nicht ganz geschlossen, und der Ring des Marssymbols enthält zwei Einkerbungen, die in der richtigen Lage eine Bewegung des goldenen Ringes durch den silbernen Ring hindurch ermöglichen könnte.

Um sich die Lösung zu merken, ist die genaue Lage der beide Teile zu verschiedenen Zeitpunkten wichtig, denn beide Teile sind nicht symmetrisch, haben also eine Vorder- und eine Rückseite. Bei dem silbernen Teil sind beide Seiten kaum zu unterscheiden, aber unten finden wir auf einer Seite kleine Buchstaben AY und wir können diejenige Seite als Vorderseite wählen, bei der diese Buchstaben auf der rechten Seite stehen. 

Schwierigkeit: Der Hersteller vergibt 3/6 Sternen, damit ist  das Geduldspiel mittelschwer. Man benötigt ca. fünf Schritte, um beide Teile zu trennen. Bei einem Zwischenschritt hängt das goldene Teil auch einmal in dem Pfeil des silbernen Teils.

Design:  Akio Yamamoto
Hersteller:  Hanayama
Erscheinungsjahr: 2002

Google: Hanayama Cast Dolce
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 15€

Elegante Hexomino-Lösung für 20x20-Dreieck (Nr. 30)

Kategorie: Aufgaben für Polyominos

Wir haben bereits eine elegante Hexomino-Lösung für Tenyo-Rahmen kennengelernt: Der Rahmen wird zunächst in mehrere Teile von ansprechender Form zerlegt. Wenn man diese alle gefüllt hat und zur Gesamtlösung zusammensetzt, bleiben die Trennlinien zwischen den einzelnen Teilen deutlich sichtbar.

Auch für das rechtwinklige Dreieck mit Seitenlänge der Kathete von 20 Elementarquadraten (das war die Hexomino-Aufgabe Nr. 15) gibt es eine elegante Lösung. Dazu wird zunächst das Dreieck durch geradlinige Schnitte in mehrere Teile zerlegt. Dann wird versucht, mit dem kompletten Satz von Hexominos jedes der Teile zu füllen und fertig ist die elegante Lösung. 

Hier die fünf Einzelteile: 

Die Aufgabe zu lösen, ist gar nicht so schwer (zumindest für den Computer), das geht wesentlich einfacher als beim Tenyo-Rahmen. Die hier gezeigte Lösung wurde mit mit Polycube Vers. 1.2.1 ermittelt, dazu wurde die Kommandozeile

polycube.exe -V -v10 -p -- Eingabedatei > Ausgabedatei

verwendet. Die eigentliche Herausforderung liegt in der Zerlegung des Dreiecks in solche Teile, die sich dann auch füllen lassen. Eine triviale Bedingung dafür ist, dass jede der Teilflächen eine durch 6 teilbare Größe hat. Diese Bedingung ist aber nicht ausreichend, denn man könnte beispielweise das große rechteckige 8x9-Teil weiter halbieren in 2 Rechtecke 4x9 oder diagonal halbiert in zwei weiter Dreiecke mit Seitenlänge 8. Aber die erste Aufgabe ist nicht lösbar, für die zweite ist es nicht bekannt, ob es eine Lösung gibt. 

Frage: Fällt Ihnen eine weitere elegante Zerlegung für das große 20x20-Dreieck ein, so dass sich mit den Hexominos alle Teile einzeln füllen lassen?

Hier die zusammengeschobene Lösung von oben, die Trennlinien der Teile sind weiter erkennbar

Historisches: Die Aufgabenstellung und die erste Lösung stammt von Len Gordon aus den späten 1980er Jahren [9]

Mehr Infos: 

[1] https://www.solitairelaboratory.com/hexomino/Hexomino.html

Aufgaben für Hexominos (Nr. 15-29)

Kategorie: Aufgaben für Polyominos

Hier weitere Aufgaben für die 35 verschiedenen Hexominos, die Rahmen bestehen aus jeweils aus insgesamt 210 Elementarquadraten.

Schwierigkeit: Schwierig, aber für ambitionierte Puzzler sind diese Geduldspiele trotzdem von Hand lösbar. Es gibt jeweils sehr viele verschiedene Lösungen. Hier soll jeweils eine Lösung angegeben werden, da es praktisch unmöglich ist, sich eine solche Lösung schnell einzuprägen. Man wird also automatisch nach einer anderen Lösung suchen.

3D-Druck: Ein Satz Hexominos lässt sich mit 3D-Druck herstellen: Im Post Pentominos und Hexominos in Box finden Sie die Links zur Sammlung zum Blog auf Thingiverse sowie zu Printables.

Lösung mit Computer: Die hier vorgestellten Aufgaben bieten auch für die üblichen Lösungsprogramme keine Schwierigkeiten. PolySolver, mops.exe und Polycube benötigen für die Aufgaben (in den Standard-Einstellungen) maximal einige Sekunden, manchmal auch viel weniger. Die hier gezeigten Lösungen wurden mit mit Polycube Vers. 1.2.1 ermittelt, dazu wurde die Kommandozeile

polycube.exe -V -10 -p -- Eingabedatei > Ausgabedatei

verwendet. 

Die Struktur der Eingabedatei ist einfach, Beispiele gibt es zusammen mit dem Programm bei [1].

Viele der unten gefüllten Rahmen sind (mit anderen Lösungen) bereits länger bekannt und finden sich in den angegebenen Quellen.

Mehr Infos:

[1] http://recmath.com/PolyPages/PolyPages/index.htm?hexopatts.htm
[2] https://polyominoes.co.uk/polyominoes/hexominoes/fifteen.html
[3] https://polyominoes.blogspot.com/search/label/hexominoes
[4] https://www.solitairelaboratory.com/hexomino/Hexomino.html

Aufgabe 15: Ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Länge 20. 

In einem eigenen Post für eine elegante Lösung für dieses Dreieck werden wir nocheinmal auf diese Figur zurückkommen.

Aufgabe 16: Quadrat 15x15 mit 15 Löchern auf der Diagonale und in den Ecken. 

Aufgabe 17: Quadrat 15x15 mit 15 Löchern in 3 Reihen diagonal. 

Aufgabe 18: Quadrat 15x15 mit 15 Löchern in einem Muster. 

Aufgabe 19: Quadrat 15x15 mit 15 Löchern in regelmäßiger Anordnung. 

Aufgabe 20: Quadrat 15x15 mit 15 Löchern in regelmäßiger Anordnung. 

Aufgabe 21: Flacher Rhombus mit einem Loch. 

Aufgabe 22: Rhombus mit einem Loch der Größe 1x11. 

Aufgabe 23:  Abgerundeter Rhombus mit einem kreuzförmigen Loch. 

Aufgabe 24: Rechteck 33x7 mit einem Loch der Größe 7x3.

Aufgabe 25: Rechteck 45x5 mit 15 einzelnen Löchern.

Aufgabe 26: Parallelogramm 43x5 mit 5 einzelnen Löchern.

Aufgabe 27: Parallelogramm 43x5 mit 5 einzelnen Löchern.

Aufgabe 28: Parallelogramm 43x5 mit 5 einzelnen Löchern.

Aufgabe 29: Oval 43x5 mit einem zentralen Loch.

Dodeca Insel-Spiel

Das Dodeca-Insel-Spiel besticht durch seine ungewöhnliche geometrische Form. Es besteht aus einem schwarzen Kunststoff-Kern in Form eines Dodekaeders, an dessen 12 fünfeckigen Seiten passgenaue, magnetische Plättchen angebracht werden müssen. Jedes dieser fünfseitigen Plättchen zeigt einen Ausschnitt einer Inselwelt mit Küstenlinien, Meer und Landmassen. Die Optik erinnert an alte Seekarten und verleiht dem Ganzen einen beinahe nautischen Charme. Mit einem Durchmesser von etwa 7 cm liegt das Objekt wie ein Handschmeichler in der Hand. Zur Aufbewahrung gibt es eine klare Hülle in Form des Dodekaeders.

Alle 12 Fünfecke müssen so auf dem Kern platziert werden, dass die Küstenlinien an allen 30 Kanten des Dodekaeders exakt aneinanderpassen und eine geschlossene Weltkarte bilden. Es gibt vier verschiedene Kantenstücken Wasser (blau), Wasser mit einer Fährverbindung in der Mitte, Erde (braun) oder Erde mit einer Bahnlinie in der Mitte. Bei der Lösung müssen immer gleiche Kantenstücken aufeinandertreffen. Die Fährverbindungen sind teilweise schlecht zu erkennen, beim abgebildeten Geduldspiel sind die Fährverbindungen an den Kanten durch halbe blaue Klebepunkte hervorgehoben.

Die möglichen Züge bestehen im Rotieren der einzelnen Fünfecke in 72-Grad-Schritten und dem strategischen Umsetzen auf die verschiedenen Positionen des Grundkörpers.

Schwierigkeit: Schwer. Abgesehen von der theoretischen Komplexität ist die Aufgabenstellung eine echte Herausforderung für das räumliche Vorstellungsvermögen. Man verliert auf der Rückseite des Körpers leicht den Überblick über die bereits gelösten Abschnitte. Es ist ein Geduldspiel für Profis.

 

Design:  Nobuyuki Yoshigahara (kurz: Nob)

Hersteller: Hanayama
Erscheinungsjahr: 1980er Jahre

Google: Dodeca Island Puzzle NOB

Shopping: Nicht lieferbar

Übersicht: Legespiele mit dreieckigen, sechseckigen oder anderen Karten

Hier finden Sie alle systematischen Übersichten.

Legespiele mit quadratischen Karten sind die mit Abstand bekannteste Variante von Legespielen. Da man aber auch gleichseitige Dreiecke oder regelmäßige Sechsecke analog zusammensetzen kann, gibt es auch solche Legespiele. Und da der Kreativität keine Grenzen gesetzt sind, finden wir auch noch andere Formen.

	Legespiele mit dreieckigen Karten Die Karten haben die Form von gleichseitigen Dreiecken und werden entlang des üblichen Dreieckgitters zusammengefügt. Manchmal gibt es einen Rahmen, so dass die außenliegenden Kanten vorgegeben sind. Die folgenden Legespiele mit dreieckigen Karten sind entsprechend ihrer Kartenanzahl sortiert.

Übersicht: Edge-Matching und Corner-Matching mit dreieckigen Steinen
Dreieck mit Seitenlänge 3 und 9 Karten: Crazy Jacob
Dreieck mit Seitenlänge 3 und 9 Karten: Crazy Sport
Sechseck mit Seitenlänge 2: Anlegespiel mit 24 Dreiecken: Comic-Figuren
Sechseck mit Seitenlänge 2: Anlegespiel mit 24 Dreiecken: Meer
Sechseck mit Seitenlänge 2: Anlegespiel mit 24 Dreiecken: Mäuse im Käse
Dreieck mit Seitenlänge 6 und 36 Karten: Nintai

	Legespiele mit sechseckigen Karten Die Karten haben die Form von regelmäßigen Sechsecken und werden entlang des üblichen Sechseckgitters zusammengefügt. Die folgenden Legespiele mit dreieckigen Karten sind entsprechend ihrer Kartenanzahl sortiert.

Übersicht: Edge-Matching und Corner-Matching mit 6-eckigen Steinen
Sechseck mit Seitenlänge 2 und 7 Karten: Another Tough Puzzle
Sechseck mit Seitenlänge 2 und 7 Karten: Fliegen-Anlegespiel
Sechseck mit Seitenlänge 2 und 7 Karten: Schreckschrauben
Sechseck mit Seitenlänge 2 und 7 Karten: Zahlen-Puzzle
Sechseck mit Seitenlänge 3 und 19 Karten: Bugs / Käfer
Heesch-Zahl 3: Sechseck mit markierten Kanten

	Die Tantrix-Puzzles Das Tantrix-Puzzle ist eine besondere Form der Legespiele mit Sechsecken, hier ist auch die Struktur der sich bildenden farbigen Pfade wichtig. Um einen geschlossenen Pfad zu erreichen, darf man nicht nur auf benachbarte Steine achten, sondern die globale Struktur ist wichtig.

Tantrix (Übersicht)
Tantrix Strategy Game / Strategiespiel
Tantrix Mini (Känguru der Mathematik)
Tantrix Xtreme
Doppel-Tantrix (Känguru der Mathematik)

	Ungewöhnlich geformte Karten Manchmal haben die Karten zur zwei Seiten, die für das Anlegen ausschlaggebend sind. Dann müssen die Karten eigentlich nur linear in der richtigen Reihenfolge angelegt werden.

Isaacs' Iris
Something Fishy

Dreidimensionale Puzzles mit Fünfecken Auch mit Fünfecken lassen sich Edge Matching Puzzles herstellen, allerdings klappt dies nicht mehr in der Ebene. Aber wir können die Karten ja auf die Oberfläche eines Polyeders legen. Wenn wir ausschließlich Fünfecke verwenden, ist das Dodekaeder der passende Körper, aus Fünf- und Sechsecken lässt sich ein Fußball (genauer: ein abgestumpftes Ikosaeder) zusammensetzen.

Dodeca
Fußballpuzzle

	Lösungsverfahren Für Legespiele mit nicht-quadratischen Karten gibt es keine fertigen Lösungsprogramme, aber ein SMT-Solver kann wieder helfen.

Schreckschrauben mit SMT-Solver lösen
Crazy Jacob mit SMT-Solver lösen

Square Circle Puzzle

Dieses Geduldspiel erinnert ein wenig an die Unwiderstehlich-Puzzles, ist aber regelmäßiger geformt.  Im Original ist dieses Geduldspiel einfarbig, hier die zweifarbige Version.

Die Aufgabe besteht wie üblich darin, die Einzelteile herauszunehmen und wieder in den Rahmen zu packen. Die Ränder der Steine bestehen aus Viertelkreisen mit gleichem Radius, angeordnet in einem Quadratgitter. Sie lassen sich also auf vielfältige Weise zusammenlegen.

Bei der Lösung wechseln sich an längeren Kantenstücken immer die zwei Farben ab, gleichfarbige Nachbarsteine haben höchstens einen Viertelkreis geneinsam.

Beim 3D-Druck wird das ganze Geduldspiel in einem Stück in gelöster Form mit Rahmen gedruckt, das ist zunächst einfarbig. Aber wenn Sie zwei Exemplare in zwei Farben drucken, können Sie einige Steine passend austauschen und Sie haben noch ein zweites Puzzle zum Verschenken.

Aus mathematischer Sicht bleibt die Frage, wieso wir erreichen können, dass sich die zwei Farben immer abwechseln und keine größeren einfarbigen Bereiche bleiben können. Außerdem stellt sich die Frage, wieso (anders als bei den zweifarbigen Unwiderstehlich-Puzzles) nicht automatisch auch der äußere Rand einfarbig ist. Diesen Fragen wollen wir in einem späteren Post nachgehen.

Design:  Alexander FPV
Erscheinungsjahr: 2023

3D-Druck: Das STL-File für das oben abgebildete Geduldspiel stammt von Alexander FPV und wird auf printables.com für den nichtkommerziellen Gebrauch unter der Creative-Commons-Lizenz CC BY-NC-ND zur Verfügung gestellt. Dazu gibt es noch eine Bodenplatte von maxiorona, ebenfalls auf printables.com.