28.11.21

Twenty Five – The Game

25 Hütchen mit kreisförmiger Grundfläche sollen in einen kreisförmigen Rahmen gestellt werden. Die Hütchen haben sieben verschiedene Farben und drei leicht unterschiedliche Durchmesser.

Schwierigkeit: Wie man sofort vermuten kann, ist das Geduldspiel verzwickt: Die Hütchen müssen ohne sichtbares System in den Rahmen eingeordnet werden, und für die letzten zwei oder den letzten Stein fehlt der Platz. Natürlich kann man sich die Aufgabe stellen, erst einmal fast alle Hütchen einzuordnen und sich später weiter zu steigern. Im Rahmen sind vorsorglich schon vier Parkplätze für übrige Hütchen vorgesehen.

Von der Klassifikation her ist das Geduldspiel natürlich eine zweidimensionale Fragestellung: 25 kleine Kreisscheiben müssen in einer großen Kreisscheibe platziert werden. Aus der Theorie weiß man, dass schon Fragestellungen mit zu platzierenden Kreisscheiben in einer einheitlichen Größe schwierig zu lösen sind. Es bleibt also als Lösungsweg nur geordnetes Herumprobieren. Es stellt sich heraus, dass eng stehende Hütchen unter dem Druck ihrer Nachbarn sich ein klein wenig zusammendrücken lassen. Dadurch erhält man zum Schluss eine Lösung, bei der alle 25 Hütchen straff im Rahmen sitzen. 

Es gibt verschiedene Lösungen, was man an der jeweils unterschiedlichen Verteilung der Farben sieht. 

Zusatzaufgaben: Wenn man etwas Übung hat, kann man sich um farblich schöne Lösungen bemühen. Darunter könnte man verstehen, dass möglichst viele gleichfarbige Hütchen nebeneinanderstehen oder sich ein wenigstens teilweise symmetrisches Muster ergibt. Der Phantasie sind hier keine Grenzen gesetzt.

Hersteller:  RR Trading

Google: twenty five The Game
Shopping: Gebraucht bei ebay für 5-10€

10 Penny Puzzle / 10 Cent Puzzle

Wenn Sie neun Kreisscheiben in ein Quadrat packen sollen, dann erledigen Sie das problemlos mit 3 Reihen zu je 3 Münzen. Aber was tun, wenn es sich um zehn gleichgroße Kreisscheiben handelt und der quadratische Rahmen nur Platz für etwa ein weiteres Drittel eines Scheibendurchmessers hat? Bei der letzten Scheibe bekommt man echte Schwierigkeiten, sie will einfach nicht mehr in den Rahmen passen. Sicherheitshalber gibt es auch noch einen extra Parkplatz für die letzte Scheibe. Als gleichgroße Scheiben werden bei diesem Geduldspiel Cent-Münzen verwendet.

In der amerikanischen Variante handelt es sich bei den Münzen um US-Cent-Münzen. Beim Einkauf gibt es diese natürlich dazu. 

3D-Druck: Aber wenn wir uns das Puzzle mittels 3D-Druck selber herstellen wollen, haben wir mit den Münzen ein Problem: Wir finden das STL-File im Internet, aber die Euro-Cent-Münzen haben einen anderen Durchmesser. Zum Glück können wir den Rahmen passend zu den Münzen skalieren. Betrachten wir die Durchmesser der Münzen:

Durchmesser der 1Cent-US-Münze: 19,05mm
Durchmesser der 1Cent-Euro-Münze: 16,75mm

Das Verhältnis der Durchmesser beträgt damit rund 0.853, um diesen Faktor müssen wir das Modell für den 3D-Druck verkleinern. Sie finden das STL-File in der Sammlung zum Blog auf Thingiverse.

Hintergrund: Der minimale quadratische Rahmen muss um den Faktor von rund 6.747 größer sein als der Radius der Münze. Dies wurde von De Groot im Jahr 1990 ermittelt. Auf einen Link soll hier verzichtet werden, da dann immer sofort auch die gesuchte Anordnung der Münzen gezeigt wird.

Hersteller:  Creative Crafthouse und andere
Erscheinungsjahr: 2016

Google: 10 Penny Puzzle
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 12€

Kreise packen (Übersicht)

Wir wollen uns für Geduldspiele interessieren, bei denen Kreise in einen Rahmen gepackt werden sollen. Die Lösungen enthalten weniger Symmetrie als die meisten Packprobleme für Polyformen, da dort die Polyformen meist entlang eines Gitters gelegt werden müssen. Beim Packen von Kreisen entstehen jedoch meist unregelmäßige Anordnungen, nach denen man eine Weile lang suchen muss. Wie bei vielen anderen Geduldspielen gelingt es relativ schnell, alle Kreise bis auf einen in den Rahmen zu packen, deshalb enthält der Rahmen oft einen Parkplatz für einen noch einzufügenden Kreis. 

Schwierigkeit: Diese Geduldspiele sind in der Regel nicht trivial, aber auch nicht allzu schwer zu lösen.

10 Kreise optimal in einem Kreis. Quelle: Wikipedia

Für ein echtes Geduldspiel benötigt man allerdings statt Kreisen echte dreidimensionale Objekte, am einfachsten Kreisscheiben. Hier bieten sich immer Münzen an. Wir können die Geduldspiele nach mehreren Kriterien unterscheiden:

  • Haben alle Kreisscheiben die gleiche Größe? Dann benötigen wir nur eine Sorte Münzen und können die Größe des Rahmens an den Durchmesser der Münzen anpassen. Wenn wir Kreisscheiben mit verschiedener Größe benötigen, können wir vielleicht verschiedene Münzen nehmen. Schwieriger wird es, wenn das Größenverhältnis der verschiedenen Durchmesser vorgegeben ist, wir aber kein entsprechendes Paar von Münzen finden.
  • Welche Form hat der Rahmen? Wir können die Kreisscheiben in beliebig geformte Rahmen einpassen. Ansprechend sind regelmäßige Rahmen wie Kreis, Quadrat oder Dreieck, aber auch Rechtecke oder Viertel- bzw. Halbkreis sind möglich.

15 Kreise optimal in einem Quadrat. Quelle: Wikipedia

Damit die Münzen beim gelösten Geduldspiel nicht im Rahmen herumklappern, sollte der Rahmen so klein wie möglich sein. Daraus ergibt sich das mathematische Problem, die Größe des kleinsten Rahmens (in Abhängigkeit von seiner Form und der Anzahl der unterzubringenden Münzen) zu bestimmen. Leider handelt es sich dabei um schwierige mathematische Fragen, so dass auf bekannte Ergebnisse zurückgegriffen werden muss. Die ultimative Referenz ist hier Erich's Packing Center, eine Website von Erich Friedman. 

Aus den vielen Möglichkeiten lassen sich ebenso viele Geduldspiele erzeugen. Einige gibt (oder gab) es tatsächlich im Handel, für andere bleibt der 3D-Druck.

27.11.21

Boxy Twins

Die Steine dieses Geduldspiels sind Tetrakuben, die jeweils aus zwei Quadern der Größe 1x1x2 bestehen. Alle Quader haben leicht abgeschrägte Kanten. Solche Paare von Quadern können jedoch nicht nur an einer gemeinsamen Seitenfläche, sondern auch nur an einer gemeinsamen Kante verbunden sein. Dafür gibt es insgesamt 12 Möglichkeiten, und dies sind die 12 Steine der Boxy Twins. Diese  Kantenverbindungen werden durch dünne Stifte gehalten, und zwischen den abgeschrägten Kanten passen diese Stifte genau hindurch, so dass sich die Tetrakuben zu größeren Figuren zusammenstecken lassen.

Die Aufgabe des Geduldspiels besteht darin, alle Steine in einen Quader der Größe 3x4x4 zu packen. Weiterhin gibt es noch einige Zusatzaufgaben, bei denen andere Figuren gebaut werden sollen. Beispiele sind Quader der Größen 2x4x6 oder 2x3x8.

Hier die zwölf Steine von Boxy Twins:

Das Puzzle ist aus mehreren Gründen interessant: Wir finden wieder die bekannte Situation, dass nach einem gegebenen Kriterium (hier: zusammengefügt aus zwei 1x1x2-Quadern) alle möglichen Steine gebildet werden und daraus ansprechende Figuren zusammengefügt werden sollen. Sehr speziell ist die Art des Zusammenfügens entlang von Kanten. Dadurch entstehen Steine, denen man sonst kaum begegnet und die das räumliche Vorstellungsvermögen noch einmal zusätzlich herausfordern. 

Schwierigkeit: Das Puzzle ist kompliziert wegen dieser auf ungewohnte Art zusammenpassenden Steine. Die Anzahl der möglichen Lösungen ist sehr hoch, aber das macht das Puzzle ausnahmsweise nicht viel einfacher!

Varianten: Es gibt verschiedene Varianten des Geduldspiels, siehe [1]: Die Steine sind jeweils aus Holz, in einigen Fällen gibt es schöne Holzkisten dazu. Zusätzlich gibt es eine größere Variante mit 16 Steinen bestehend aus insgesamt 60 Elementarwürfeln. Die vier zusätzlichen Steine bestehen aus jeweils aus drei Elementarwürfeln in allen Möglichkeiten, einen Elementarwürfel an einen 1x1x2-Quader anzufügen. Manchmal werden die zwei Varianten als Boxy Twins 12 bzw. Boxy Twins 16 bezeichnet.

PolySolver-Info: Da der PolySolver nichtzusammenhängende Steine erlaubt, lässt sich das Puzzle einfach modellieren. Allerdings sind dabei die Verbindungsstifte nicht mit modelliert, deshalb sind einige Lösungen des PolySolver möglicherweise nicht mit den Steinen realisierbar. Der PolySolver findet mehr als 1.500.000 Lösungen, bevor er wegen Speicherüberlauf abstürzt. Hier die dazugehörige PolySolver-Datei.

Design:  Junichi Yananose
Erscheinungsjahr: 1998

Google: Boxy Twins Puzzle Yananose
Shopping: Schwer erhältlich, Preise je nach Ausführung 30-200€

Quelle: [1] Juno's World

C’est chouette! / Eulenpuzzle

Sieben unterschiedliche kleine Eulen müssen in einen unregelmäßig geformten Rahmen gepackt werden, der von außen betrachtet die Form einer großen Eule besitzt. 

Alle Teile sind aus lasergeschnittenem Holz und auf der Oberseite verziert, damit man sie in der richtigen Orientierung verwendet. Auch bei diesem Geduldspiel passen sich einige Eulen gut an den Rand an, so dass man schnell erste Hinweise über die Lage einiger Eulen erhält.

Schwierigkeit: Leicht.

 

Design und Hersteller:  Jean Claude Constantin

Google: C'est chourette PuzzleEulen Puzzle Constantin
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 15€

24.11.21

Megaron-Cube

Der Megaron-Cube gehört zu der Reihe der sogenannten „Griechischen Reihe“, die 1996/97 von Bernhard Schweitzer entwickelt wurde. 

Die Aufgabe besteht darin, jeweils drei Tetrakuben (untere Reihe) und drei Pentakuben (obere Reihe) zu einem 3x3x3-Würfel zusammenzubauen. Dabei handelt es sich um die hier abgebildeten Polykuben:

Der Begleittext verrät, dass es nur eine Lösungen gibt. 

Die verwendeten Steine haben eine große Ähnlichkeit zu den beim Minotaurus-Cube verwendeten Steinen: Nur einer der Steine (links unten im Bild) wurde ausgetauscht. Dadurch vergrößert sich die Schwierigkeit, weil es nur noch eine Lösung gibt.

Design:  Bernhard Schweitzer
Hersteller und Artikelnummer:  Philos 6269
Erscheinungsjahr: 1996/97

Google: Megaron-Cube
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 10€

Minotaurus-Cube

Der Minotaurus-Cube gehört zu der Reihe der sogenannten „Griechischen Reihe“, die 1996/97 von Bernhard Schweitzer entwickelt wurde. 

Die Aufgabe besteht darin, jeweils drei Tetrakuben (untere Reihe) und drei Pentakuben (obere Reihe) zu einem 3x3x3-Würfel zusammenzubauen. Dabei handelt es sich um die abgebildeten Polykuben:

Der Begleittext verrät, dass es genau zwei verschiedene Lösungen gibt. Außerdem wurde nach Erscheinen bekannt, dass bereits in den 1970er Jahren der US-Amerikaner Adrian Fisher ein identisches Puzzle erfunden hatte.

Die verwendeten Steine haben eine große Ähnlichkeit zu den beim Megaron-Cube verwendeten Steinen: Nur einer der Steine (links unten im Bild) wurde ausgetauscht.

Design:  Bernhard Schweitzer
Hersteller und Artikelnummer:  Philos 6267
Erscheinungsjahr: 1996/97

Google: Minotaurus-Cube
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 10€

Twenty Five – The Game