Sauwetter

Sauwetter ist wieder einmal ein Geduldspiel, bei dem rechtwinklige Steine in einen quadratischen Rahmen gepackt werden müssen. Damit es nicht zu einfach wird, sind die rechteckigen Steine mit einem Regenschirm verziert. Und damit sie auch vor Regen schützen, sollen bei der Lösung alle Schirme nach oben zeigen.

Wenn wir Steine und Rahmen nachmessen, ergibt sich ein quadratischer Rahmen von 15x15, die neun Steine haben die Maße 8x5, 6x2, 5x7, 5x6, 5x4, 4x6, 3x9, 3x6 und 3x4.

Damit bleiben im Rahmen sieben Elementarquadrate frei. Die Seitenlänge eines Elementargquadrates beträgt hier übrigens rund 5.8mm.

Wenn wir es uns nicht so kompliziert machen wollen, können wir die Regenschirme (und damit die Orientierung der Rechtecke) auch ignorieren und die Steine "irgendwie" flach in den Rahmen packen.

Schwierigkeit: Die Original-Aufgabe mit den aufrechten Regenschirmen ist schwierig, aber nicht so extrem schwer Calibron., da es dafür nur eine Lösung gibt. Ohne Berücksichtigung der Orientierung gibt es viel mehr Lösungen, die sich teilweise nicht sehr unterscheiden.

Beispielsweise kann man in der folgenden vereinfachten Lösung die oberen drei Steine verschieben und erhält so sechs verschiedene Lösungen.

Da bei dem Geduldspiel sieben Elementarquadrate frei bleiben, kann man einen zusätzlichen Stein einfügen oder Steine vergrößern. Beispielsweise sind die folgenden drei Aufgaben (ohne Berücksichtigung der Orientierung) lösbar:

Zusatzaufgabe 1: Fügen Sie einen zusätzlichen Stein der Größe 1x7 ein! Oder lassen Sie mit den vorhandenen Steinen ein Loch in entsprechender Größe.
Zusatzaufgabe 2: Fügen Sie einen zusätzlichen Stein der Größe  2x3 ein. Dann bleibt immer noch ein einzelnes leeres Elementarquadrat.
Zusatzaufgabe 3: Ersetzen Sie den 3x4-Stein durch einen zweiten 3x6-Stein. Dann bleibt wieder ein einzelnes leeres Elementarquadrat.

PolySolver-Info: Wir können das Geduldspiel mit dem PolySolver modellieren und bestätigen, dass es für die Original-Aufgabe nur eine Lösung gibt.

Design und Herstellung:  Jean Claude Constantin

Google: Sauwetter Constantin
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 20€

Perfektes Rechteck der Ordnung 23 (Größe: 7526 x 5620)

Hier wieder ein perfektes Rechteck: Die Fläche des Rechtecks der Größe 7526x5620 soll mit 23 Quadraten gefüllt werden, die Seitenlängen der zur Verfügung stehenden Quadrate liegen zwischen 576 und 2182.

Das kleinste perfekte Rechteck hat die Größe 47x65 und besteht aus 10 Quadraten. Das hier benutzte Rechteck zeichnet sich dadurch aus, dass keine klitzekleinen Quadrate benötigt werden. Genauer gesagt ist das Verhältnis der größten Seitenlänge zur kleinsten Seitenlänge maximal unter allen bekannten perfekten Rechtecken, siehe [1]. Durch die geringeren Größenunterschiede bei einigen Steinen besteht natürlich Verwechslungsgefahr bei deren Anordnung, aber durch die aufgedruckten Seitenlängen ist jederzeit eine Kontrolle möglich, ob die Steine wirklich aneinander passen.

Schwierigkeit: Mit 23 Steinen ist das Geduldspiel einigermaßen anspruchsvoll. Neben dem Blick, ob die Steine passen, ist auch Nachrechnen gefragt. Hier kann noch einmal zusammen mit den Kindern das Addieren geübt werden.

Lösungshinweis: Addition hilft wieder, um passende Seitenlängen für Quadrate mit gemeinsamen Kanten zu finden. Unter den Quadraten sind beispielsweise drei mit den Seitenlängen 628, 777 und 1405. Wegen 628+777=1405 ist es vielleicht eine gute Idee, die zwei kleineren Quadrate unmittelbar negen das größer zu legen, so dass sie eine ganze Kante gemeinsam haben. Das muss zwar nicht Teil der Lösung sein, ist aber einen Versuch wert. Und es gibt viel mehr solche Relationen: 610+939=1549, 760+1336=2096 usw.

 

Design:  Stuart Anderson, squaring.net

Google: squared rectangle

3D-Druck: Die STL-Dateien zur freien Verfügung unter der Creative-Commons-Lizenz CC BY stehen auf Thingiverse zum Download bereit. 

Quellen:

[1]  http://www.squaring.net/sq/ss/s-pss.html#nice-pss

Perfektes Quadrat der Ordnung 21 (Seitenlänge: 112)

Ein Quadrat heißt perfekt, wenn es sich vollständig in mehrere kleinere Quadrate mit paarweise verschiedener ganzzahliger Seitenlänge zerlegen lässt. 

Das hier betrachtete perfekte Quadrat ist das kleinste mögliche, es kann in 21 kleinere Quadrate zerlegt werden, deshalb spricht man von einem perfekten Quadrat der Ordnung 21. Dieses perfekte Quadrat ist nicht etwa seit Jahrhunderten bekannt, sondern wurde erst 1978 von A. J. W. Duijvestijn gefunden. Schon 1962 hatte er beweisen können, dass es kein perfektes Quadrat kleinerer Ordnung geben kann [1]. Mehr Informationen gibt es in der Wikipedia [2].

Aus diesem perfekten Quadrat lässt sich (wie aus den kleineren oder größeren perfekten Rechtecken) wieder ein Geduldspiel machen, indem kleinere Quadrate zu einem großen zusammengesetzt werden können. Der Übersichtlichkeit halber tragen die Quadrate als Beschriftung ihre Seitenlänge auf einer Seite. Je nach Geschmack kann man das gelöste Geduldspiel zum Schluss wenden und die glatte, unbeschriftete Seite nach oben wenden.

Das kleinste Quadrat hat eine Seitenlänge von nur 2. Wenn man das Geduldspiel (wie in der STL-Datei unten) im Maßstab 1:1.5 fertigt, beträgt die Seitenlänge 3mm. Bei entsprechender farblicher Gestaltung ist es aber in der Lösung gut zu erkennen.

Schwierigkeit: Mit 21 Steinen könnte man ein extrem schwieriges Geduldspiel erwarten. Die Schwierigkeit ist aber nur mittelmäßig, wenn man systematisch vorgeht. Falls nötig gibt es einen Lösungshinweis.

Lösungshinweis: Unter den Quadraten sind beispielsweise drei mit den Seitenlängen 8, 27 und 35. Wegen 27+8=35 ist es vielleicht eine gute Idee, die zwei kleineren Quadrate unmittelbar negen das größer zu legen, so dass sie eine ganze Kante gemeinsam haben. Das muss zwar nicht Teil der Lösung sein, ist aber einen Versuch wert. Und es gibt viel mehr solche Relationen: 9+7=16, 25+4=29 usw.

 

Design:  A. J. W. Duijvestijn
Erscheinungsjahr: 1978

Google: perfektes Rechteck

3D-Druck: Die STL-Dateien zur freien Verfügung unter der Creative-Commons-Lizenz CC BY stehen auf Thingiverse zum Download bereit. 

Quellen:

[1] A. J. W. Duijvestijn: Simple Perfect Squared Square of Lowest Order. In: Journal of Combinatorial Theory, Series B. Band 25, 1978, S. 240–243.

[2] Wikipedia

Perfektes Rechteck aus 10 Quadraten (47x65)

Ein Rechteck heißt perfektes Rechteck, wenn es sich aus mehreren Quadraten zusammen setzen lässt. Dabei sollen alle Quadrate verschiedene und ganzzahlige Seitenlängen haben.

Unter Mathematikern hat sich herausgestellt, dass es viel schwieriger als erwartet war, solche perfekten Rechtecke zu finden. Aber wenn man eines gefunden hat, kann man ganz einfach ein Geduldspiel daraus machen: Die vorgegebenen Quadrate sollen in einen Rahmen mit der Größe des perfekten Rechteck gelegt werden. 

Die dem Geduldspiel zugrundeliegende Gleichung ist 

    25²+24²+23²+22²+19²+17²+11²+6²+5²+2² = 47·65

Dieses perfekte Rechteck wurde 1925 von Zbigniew Moroń gefunden, siehe [1] und [2]. Die Anzahl der verwendeten Quadrate wird als Ordnung des perfekten Rechtecks bezeichnet, hier handelt es sich also um ein perfektes Rechteck der Ordnung 10. Es gibt keine perfekten Rechtecke kleinerer Ordnung, aber ein weiteres perfektes Rechteck der Ordnung 10 der Größe 104x105.

 Schwierigkeit: Zwei Faktoren machen das Geduldspiel recht einfach:

1. Wir wissen, dass das perfekte Rechteck lückenlos durch die Quadrate gefüllt werden muss.
2. Mit 10 Quadraten ist die Anzahl der Teile überschaubar, speziell, weil einige davon recht groß sind.

Um schwierigere Geduldspiele zu erhalten, sollten wir also perfekte Rechtecke mit größerer Ordnung betrachten. Denn mehr Teile verkomplizieren das Geduldspiel.

Google: Perfektes Rechteck

3D-Druck: Die STL-Files werden von David Athakaspen auf Thingiverse zur nicht-kommerziellen Verwendung zur Verfügung gestellt.

Quellen

[1] 'O Rozkladach Prostokatow Na Kwadraty' (On the Dissection of a Rectangle into Squares) by Zbigniew Moroń, Prezeglad Mat. Fiz. 3 152-153 (1925)

[2] http://squaring.net/history_theory/z_moron.html