Welt der Geduldspiele: Polyominos

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12.9.26

Aufgaben für Hexominos (Nr. 31-40)

Hier weitere 10 Aufgaben für die 35 verschiedenen Hexominos, die Rahmen haben rechteckige Form mit einem zentralen rechteckigen Loch und bestehen aus jeweils aus insgesamt 210 Elementarquadraten.

Schwierigkeit: Schwierig, aber für ambitionierte Puzzler sind diese Geduldspiele trotzdem von Hand lösbar. Es gibt jeweils sehr viele verschiedene Lösungen. Hier soll jeweils eine Lösung angegeben werden, da es praktisch unmöglich ist, sich eine solche Lösung schnell einzuprägen. Man wird also automatisch nach einer anderen Lösung suchen.

3D-Druck: Ein Satz Hexominos lässt sich mit 3D-Druck herstellen: Im Post Pentominos und Hexominos in Box finden Sie die Links zur Sammlung zum Blog auf Thingiverse sowie zu Printables.

Lösung mit Computer: Die hier vorgestellten Aufgaben bieten auch für die üblichen Lösungsprogramme keine Schwierigkeiten. PolySolver, mops.exe und Polycube benötigen für die Aufgaben (in den Standard-Einstellungen) maximal einige Sekunden, manchmal auch viel weniger. Die hier gezeigten Lösungen wurden mit mit Polycube Vers. 1.2.1 ermittelt, dazu wurde die Kommandozeile

polycube.exe -V -10 -p -- Eingabedatei > Ausgabedatei

verwendet.

Die Struktur der Eingabedatei ist einfach, Beispiele gibt es zusammen mit dem Programm bei [1].

In den Aufgaben für Hexominos Nr. 3 und Nr. 24 wurden bereits zwei solche Rechtecke mit Loch der Größe 15x15-3x5 und 33x7-7x3 vorgestellt. Hier mehr solche Rechtecke.

Aufgabe 31: Rechteck 17x13 mit einem Loch der Größe 11x1.

Aufgabe 32: Rechteck 17x15 mit einem Loch der Größe 5x9.

Aufgabe 33: Rechteck 17x15 mit einem Loch der Größe 9x5.

Aufgabe 34: Rechteck 19x15 mit einem Loch der Größe 15x5.

Aufgabe 35: Rechteck 21x11 mit einem Loch der Größe 3x7.

Aufgabe 36: Rechteck 21x11 mit einem Loch der Größe 7x3.

Aufgabe 37: Rechteck 21x13 mit einem Loch der Größe 7x9.

Aufgabe 38: Rechteck 21x13 mit einem Loch der Größe 9x7.

Aufgabe 39: Rechteck 21x15 mit einem Loch der Größe 15x7.

Aufgabe 40: Rechteck 25x11 mit einem Loch der Größe 13x5.

21.6.26

Volle Symmetrie mit Polyominos der Ordnung 2, 3 und 4

Die Aufgabe dieses Geduldspiel besteht darin, aus allen Polyominos der Ordnung 2, 3 und 4 (also dem Domino, den zwei Trominos und den fünf Tetrominos) Figuren mit voller vierfacher Symmetrie zu legen. Man darf die Figur also sowohl spiegeln wie auch um 90 Grad drehen, stets bleibt sie erhalten.

Schwierigkeit: Die Schwierigkeit besteht darin, zunächst solche Figuren mit voller vierfacher Symmetrie zu finden, die sich auch mit der vorgegebenen Menge von Steinen füllen lassen. Hat man solch einen Rahmen, lässt er sich meist relativ einfach füllen.

Jede solche Figur passt in einen quadratischen Rahmen, und er muss mindestens eine Seitenlänge von 6 haben, das die beteiligten Elementarquadrate eine Fläche von 28 einnehmen.

Hat man eine voll symmetrische Form der Fläche 28, so lässt sie sich leider nicht automatisch mit den vorgegebenen Steinen füllen. Je größer das die Figur umschließende Quadrat ist, desto mehr freibleibende innenliegende Elementarquadrate gibt es und dadurch wird es immer schwieriger.

Aufgabe: Finden Sie weitere voll symmetrische Rahmen in dem minimalen Quadrat von 6x6, die sich dann offensichtlich nicht mit den gegebenen Steinen füllen lässt.

Es gibt insgesamt nur fünf Rahmen mit voller vierfacher Symmetrie, die sich mit den acht Steinen füllen lassen. Diese wurden von Livio Zucca 2023 [1] gesucht und gefunden. Unten finden Sie die Rahmen.

Mehr Infos:

[1] https://www.facebook.com/groups/puzzlefun/posts/10160837700970152/

Aufgabe 1: Rahmen der Größe 6x6

Aufgabe 2: Rahmen der Größe 7x7

Aufgabe 3: Rahmen der Größe 7x7

Aufgabe 4: Rahmen der Größe 8x8

Aufgabe 5: Rahmen der Größe 8x8

20.6.26

Kleine Polyominos und Aufgaben mit voller Symmetrie

Je größer die Polyominos werden, desto umfangreicher und komplizierter werden die Aufgaben für diese Polyominos. Solche Polyominos bestehend aus jeweils 5, 6 oder 7 Elementarquadraten wurden schon in einem einheitlichen Format für den 3D-Druck vorgestellt: Pentominos und Hexominos, sowie Heptominos.

Bevor wir uns noch größeren Polyominos zuwenden, wollen wir zuerst die fehlenden kleinen Polyominos betrachten und im gleichen Format zum 3D-Druck anbieten: Es gibt ein Monomio, ein Domino, 2 Trominos und5 Tetrominos, abgebildet im folgenden Bild.

Hier im Blog wurden bereits zwei Geduldspiele mit solch kleinen Polyominos vorgestellt: Poly-5 mit Pentominos und allen kleineren Polyominos sowie Hexominos und Trominos in 6 Rahmen 6x6.

Hier wollen wir uns Symmetrieaufgaben mit diesen kleinen Polyominos zuwenden. Da es aber recht einfach ist, wenn wir beispielsweise nach spiegelsymmetrischen Figuren suchen, die sie aus diesen Steinen bestehen, soll die Aufgabe hier verschärft werden: Es wird verlangt, das die Figuren die volle vierfache Symmetrie besitzen. Man darf sie also sowohl spiegeln wie auch um 90 Grad drehen, stets bleibt die Figur erhalten.

Aufgabe 1 (einfach): Legen sie eine solche Figur mit voller vierfacher Symmetrie aus einigen Steinen Ihrer Wahl. Hier einige Beispiele mit bestehend aus einem, zwei bzw. drei der neun Steine.

Aufgabe 2 (schwieriger): Verwenden Sie immer mehr Steine, um größere Figuren mit voller vierfacher Symmetrie zu legen. Schaffen Sie es, alle neun Steine zu verwenden?

Die Idee, nach voll symmetrischen Figuren aus kleinen Polyominos stammt von Livio Zucca [1].

Design: klassisch

3D-Druck: Sie finden die STL-Files unter der Lizenz CC-BY in der Sammlung zum Blog auf Thingiverse sowie bei Printables.

Mehr Infos:

[1] https://www.facebook.com/groups/puzzlefun/posts/10160837700970152/

20.5.26

Chain Links 2

Der Name des Puzzles soll daran erinnern, dass die drei Puzzleteile Kettengliedern ähneln, die sich in ihrer Form leicht unterscheiden. Es ist der Nachfolger des Symmetriepuzzles Chain Link von GELO. Wieder sind zwei Steine gleich, aber die Steine sind ein wenig größer.

Aus den drei Steinen soll eine flache symmetrische Figur gelegt werden, ohne dass die Steine sich irgendwie überlappen.

Abb. von nothingyetdesigns.com mit freundlicher Genehmigung

Die Steine sind aus lasergeschnittenem Acryl.

Schwierigkeit: Mittelschwer, das geometrische Vorstellungsvermögen wird echt gefordert.

Design: Oleg Smol'yakov (GELO)
Hersteller: NothingYet Designs

Google: Chain Links symmetry puzzle
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 5€

15.4.26

Elegante Hexomino-Lösung für 20x20-Dreieck (Nr. 30)

Kategorie: Aufgaben für Polyominos

Wir haben bereits eine elegante Hexomino-Lösung für Tenyo-Rahmen kennengelernt: Der Rahmen wird zunächst in mehrere Teile von ansprechender Form zerlegt. Wenn man diese alle gefüllt hat und zur Gesamtlösung zusammensetzt, bleiben die Trennlinien zwischen den einzelnen Teilen deutlich sichtbar.

Auch für das rechtwinklige Dreieck mit Seitenlänge der Kathete von 20 Elementarquadraten (das war die Hexomino-Aufgabe Nr. 15) gibt es eine elegante Lösung. Dazu wird zunächst das Dreieck durch geradlinige Schnitte in mehrere Teile zerlegt. Dann wird versucht, mit dem kompletten Satz von Hexominos jedes der Teile zu füllen und fertig ist die elegante Lösung.

Hier die fünf Einzelteile:

Die Aufgabe zu lösen, ist gar nicht so schwer (zumindest für den Computer), das geht wesentlich einfacher als beim Tenyo-Rahmen. Die hier gezeigte Lösung wurde mit mit Polycube Vers. 1.2.1 ermittelt, dazu wurde die Kommandozeile

polycube.exe -V -v10 -p -- Eingabedatei > Ausgabedatei

verwendet. Die eigentliche Herausforderung liegt in der Zerlegung des Dreiecks in solche Teile, die sich dann auch füllen lassen. Eine triviale Bedingung dafür ist, dass jede der Teilflächen eine durch 6 teilbare Größe hat. Diese Bedingung ist aber nicht ausreichend, denn man könnte beispielweise das große rechteckige 8x9-Teil weiter halbieren in 2 Rechtecke 4x9 oder diagonal halbiert in zwei weiter Dreiecke mit Seitenlänge 8. Aber die erste Aufgabe ist nicht lösbar, für die zweite ist es nicht bekannt, ob es eine Lösung gibt.

Frage: Fällt Ihnen eine weitere elegante Zerlegung für das große 20x20-Dreieck ein, so dass sich mit den Hexominos alle Teile einzeln füllen lassen?

Hier die zusammengeschobene Lösung von oben, die Trennlinien der Teile sind weiter erkennbar

Historisches: Die Aufgabenstellung und die erste Lösung stammt von Len Gordon aus den späten 1980er Jahren [9]

Mehr Infos:

[1] https://www.solitairelaboratory.com/hexomino/Hexomino.html

Aufgaben für Hexominos (Nr. 15-29)

Kategorie: Aufgaben für Polyominos

Hier weitere Aufgaben für die 35 verschiedenen Hexominos, die Rahmen bestehen aus jeweils aus insgesamt 210 Elementarquadraten.

3D-Druck: Ein Satz Hexominos lässt sich mit 3D-Druck herstellen: Im Post Pentominos und Hexominos in Box finden Sie die Links zur Sammlung zum Blog auf Thingiverse sowie zu Printables.

polycube.exe -V -10 -p -- Eingabedatei > Ausgabedatei

verwendet.

Die Struktur der Eingabedatei ist einfach, Beispiele gibt es zusammen mit dem Programm bei [1].

Viele der unten gefüllten Rahmen sind (mit anderen Lösungen) bereits länger bekannt und finden sich in den angegebenen Quellen.

Mehr Infos:

[1] http://recmath.com/PolyPages/PolyPages/index.htm?hexopatts.htm
[2] https://polyominoes.co.uk/polyominoes/hexominoes/fifteen.html
[3] https://polyominoes.blogspot.com/search/label/hexominoes
[4] https://www.solitairelaboratory.com/hexomino/Hexomino.html

Aufgabe 15: Ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Länge 20.

In einem eigenen Post für eine elegante Lösung für dieses Dreieck werden wir nocheinmal auf diese Figur zurückkommen.

Aufgabe 16: Quadrat 15x15 mit 15 Löchern auf der Diagonale und in den Ecken.

Aufgabe 17: Quadrat 15x15 mit 15 Löchern in 3 Reihen diagonal.

Aufgabe 18: Quadrat 15x15 mit 15 Löchern in einem Muster.

Aufgabe 19: Quadrat 15x15 mit 15 Löchern in regelmäßiger Anordnung.

Aufgabe 20: Quadrat 15x15 mit 15 Löchern in regelmäßiger Anordnung.

Aufgabe 21: Flacher Rhombus mit einem Loch.

Aufgabe 22: Rhombus mit einem Loch der Größe 1x11.

Aufgabe 23: Abgerundeter Rhombus mit einem kreuzförmigen Loch.

Aufgabe 24: Rechteck 33x7 mit einem Loch der Größe 7x3.

Aufgabe 25: Rechteck 45x5 mit 15 einzelnen Löchern.

Aufgabe 26: Parallelogramm 43x5 mit 5 einzelnen Löchern.

Aufgabe 27: Parallelogramm 43x5 mit 5 einzelnen Löchern.

Aufgabe 28: Parallelogramm 43x5 mit 5 einzelnen Löchern.

Aufgabe 29: Oval 43x5 mit einem zentralen Loch.

21.12.25

Übersicht: Aufgaben für Polyominos

Hier finden Sie alle systematischen Übersichten.

Polyominos gehören zu den Klassikern unter den Geduldspielen. Aus den vollständigen Sätzen von Pentominos, Hexominos usw. lassen sich viele Figuren legen, hier sind eine Großzahl von Aufgaben zusammengestellt. Diese Aufgaben sind niemals einfach und werden schnell übermenschlich schwer. Dann muss der Computer helfen. Damit kommt man viel weiter, man kann aber auch nicht alle Aufgaben lösen. Es gibt auch prinzipiell unlösbare Aufgaben, diese Unlösbarkeit muss man mit einem mathematischen Beweis begründen.

Im Folgenden sind die Aufgaben nach der Art der Steine sortiert. Es gibt einzelne Posts mit ausführlichen Lösungen sowie ganze Aufgabenserien.

	Pentominos (12 Steine, Fläche 60) Dies ist die mit Abstand bekannteste Variante. Schon diese Aufgaben sind verblüffend schwierig. Für verschiedene Arten von Pentominos gibt es die Übersicht: Pentominos in rechteckige und andere Rahmen packen.

Aufgaben für Pentominos (Nr. 1-20)

Aufgaben für Pentominos (Nr. 21-41)

Aufgaben für Pentominos: 1. Alphabet (Aufgaben Nr. 42-67)

Aufgaben für Pentominos: 2. Alphabet (Aufgaben Nr. 68-93)

Unlösbare Aufgaben für Pentominos (Nr. 1-10)

	Einseitige Pentominos (18 Steine, Fläche 90) Hier darf man die Steine nicht mehr wenden. Dadurch gibt es mehr Steine und es wird etwas schwieriger.

Einführung: Einseitige Pentominos

Aufgaben für einseitige Pentominos (Nr. 1-13)

	Hexominos (35 Steine, Fläche 210) Aus den 35 Hexominos lässt sich kein Rechteck legen, aber viele andere Formen.

Aufgaben für Hexominos (Nr. 1-10)

Volumentest: Schwierigere Aufgaben für Hexominos (Nr. 11-13)

Elegante Hexomino-Lösung für Tenyo-Rahmen (Nr. 14)

Aufgaben für Hexominos (Nr. 15-29)

Elegante Hexomino-Lösung für 20x20-Dreieck (Nr. 30)

	Einseitige Hexominos (60 Steine, Fläche 360) Die vielen Steine machen es zwar schwieriger, wenn man planmäßig vorgeht, dauert es aber wegen der größeren Anzahl von Steinen nur länger und wird ansonsten nicht schwieriger.

Einführung: Einseitige Hexominos

Aufgaben für einseitige Hexominos (Nr. 1-15)

	Hexominos plus Pentominos (47 Steine, Fläche 270) Hier haben wir zwar noch mehr Steine, aber falls man sich die vergleichsweise gutartigen Pentominos bis zum Schluss aufspart, ist die Schwierigkeit vergleichbar mit Pentomino-Aufgaben.

3 bzw. 5 identische Rechtecke: Pentominos und Hexominos in Box

Aufgaben für Hexominos plus Pentominos (Nr. 1-15)

	Heptominos (108 Steine) Eines der Heptominos enthält ein Loch, so dass die zu füllende Fläche mindestens 577 betragen muss und der Rahmen steets mindestens ein Loch enthält.

Aufgaben für Heptominos (Nr. 1-13)

12 identische Quadrate: Heptominos in 8x8-Box

Heptominos in drei Rahmen der Größe 11x23 packen

Heptominos in ein Rechteck der Breite 5 Packen

Heptominos in vier Rechtecke der Größe 5x38 packen

	Spezielle Aufgaben Spezielle Aufgaben lassen sich für verschiedene Klassen von Polyominos formulieren. Beispielsweise kann man versuchen, mehrere gleiche Rahmen zu füllen oder sehr schmale Rechtecke zu füllen. Hier gibt es Beweise für die Unmöglichkeit der Lösung, die ebenfalls für verschiedene Klassen von Polyominos funktionieren.

Mehrere gleiche oder ähnliche Figuren aus einem Satz Polyominos legen

Rechtecke der Breite 3 mit Polyominos füllen

14.12.25

Aufgaben für einseitige Hexominos (Nr. 1-15)

Kategorie: Aufgaben für Polyominos

Es gibt 60 verschiedene einseitige Hexominos, die aus insgesamt 360 Elementarquadraten bestehen. Damit lassen sich verschiedene Rechtecke komplett füllen, aber auch viele andere Formen sind möglich.

Schwierigkeit: Für ambitionierte Puzzler sind diese Geduldspiele von Hand lösbar. Es gibt jeweils sehr viele verschiedene Lösungen. Hier soll jeweils eine Lösung angegeben werden, da es praktisch unmöglich ist, sich eine solche Lösung schnell einzuprägen. Man wird also automatisch nach einer anderen Lösung suchen.

3D-Druck: Ein Satz Hexominos lässt sich mit 3D-Druck herstellen: Im Post Einseitige Hexominos finden Sie die Links zur Sammlung zum Blog auf Thingiverse sowie zu Printables.

Lösung mit Computer: Die hier vorgestellten Aufgaben bieten auch für die üblichen Lösungsprogramme keine Schwierigkeiten. Die hier gezeigten Lösungen wurden mit mit mops.exe ermittelt, dazu wurden die folgenden Parameter verwendet:

Pack>Void Check wurde eingeschaltet
Pack>Breadth: 55
Pack>Maximum Placements: 5000
Um die Nützlichkeit der verschiedenen Steine verwenden zu können, wurden (mit Pack>Determine Frequencies) zunächst 5000 Rechtecke der Größe 10x12 mit Steinen gefüllt und die Verwendungshäufigkeiten der einzelnen Steine gezählt.
Bound>Frequency Bound wurde eingeschaltet mit den Parametern L:2000, S:10, R:90

Viele der unten gefüllten Rahmen sind (mit anderen Lösungen) bereits länger bekannt und finden sich bei [2] (Nr. 1, 2, 3, 8) und [3] (Nr. 5, 6, 7).

Mehr Infos:

[1] https://polyominoes.blogspot.com/search/label/one-sided%20hexominoes
[2] https://puzzler.sourceforge.net/docs/hexominoes.html#one-sided-hexominoes
[3] http://recmath.com/PolyPages/PolyPages/index.htm?hexopatts.htm

Rechtecke

Die Aufgaben 1 bis 8 zeigen alle möglichen Rechtecke. Alle Rechtecke bestehend aus 360 Elementarquadraten mit einer Mindestbreite von 5 lassen sich mit den einseitigen Hexominos füllen. Schmalere Rechtecke der Breite 3 oder 4 sind nicht möglich, da nicht genügend Randfelder an den langen Kanten abgedeckt werden können. Die Argumentation verläuft analog wie in dem Post Rechtecke der Breite 3 mit Polyominos füllen beschrieben.

Aufgabe 1: Rechteck 20x18

Aufgabe 2: Rechteck 24x15

Aufgabe 3: Rechteck 30x12

Aufgabe 4: Rechteck 36x10

Aufgabe 5: Rechteck 40x9

Aufgabe 6: Rechteck 45x8

Aufgabe 7: Rechteck 60x6

Aufgabe 8: Rechteck 72x5

Quadrate und Rechtecke mit einem zentralen Loch

Quadratische Rahmen mit einem quadratischen Loch in der Mitte sind möglich für die Seitenlängen 19, 21 und 23. Es folgen noch einige rechteckige Rahmen mit rechteckigen Löchern in der Mitte. Dafür gibt es noch viel mehr Beispiele als hier gezeigt.

Aufgabe 9: Quadrat 19x19 - 1x1

Weitere Aufgaben erhält man, wenn man das Loch an eine andere Stelle platziert. Oder man vereinfacht sich die Aufgabe dadurch, indem man versucht, alle Steine in den Rahmen zu packen und das verbleibende Loch an jeder Stelle zulässt.

Aufgabe 10: Quadrat 21x21 - 9x9