Welt der Geduldspiele: Polyominos

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11.10.26

Aufgaben für Hexominos (Nr. 41-51)

Hier weitere 11 Aufgaben für die 35 verschiedenen Hexominos, die Rahmen haben rechteckige Form mit einem zentralen rechteckigen Loch und bestehen aus jeweils aus insgesamt 210 Elementarquadraten.

Schwierigkeit: Schwierig, aber für ambitionierte Puzzler sind diese Geduldspiele trotzdem von Hand lösbar. Es gibt jeweils sehr viele verschiedene Lösungen. Hier soll jeweils eine Lösung angegeben werden, da es praktisch unmöglich ist, sich eine solche Lösung schnell einzuprägen. Man wird also automatisch nach einer anderen Lösung suchen.

3D-Druck: Ein Satz Hexominos lässt sich mit 3D-Druck herstellen: Im Post Pentominos und Hexominos in Box finden Sie die Links zur Sammlung zum Blog auf Thingiverse sowie zu Printables.

Lösung mit Computer: Die hier vorgestellten Aufgaben bieten auch für die üblichen Lösungsprogramme nur wenig Schwierigkeiten. Polycube benötigt für die Aufgaben (in den Standard-Einstellungen) meist nur einige Sekunden für die erste Lösung. Diese Lösungen wurden mit mit Polycube Vers. 1.2.1 ermittelt, dazu wurde die Kommandozeile

polycube.exe -V -10 -p -- Eingabedatei > Ausgabedatei

verwendet. Einige Aufgaben, speziell die mi schmalen Rändern, sind aber komplizierter. Details finden Sie bei den einzelnen Aufgaben.

Aufgabe 41: Rechteck 17x13 mit einem Loch der Größe 1x11.

Aufgabe 42: Rechteck 17x15 mit einem Loch der Größe 15x3.

Aufgabe 43: Rechteck 23x15 mit einem Loch der Größe 15x9.

Aufgabe 44: Rechteck 25x9 mit einem Loch der Größe 15x1.

Aufgabe 45: Rechteck 25x9 mit einem Loch der Größe 5x3.

Aufgabe 46: Rechteck 25x9 mit einem Loch der Größe 3x5.

Aufgabe 47: Rechteck 25x13 mit einem Loch der Größe 23x5.

Aufgabe 48: Rechteck 25x15 mit einem Loch der Größe 15x11.
Diese Aufgabe wurde mit mops.exe gelöst.

Aufgabe 49: Rechteck 27x9 mit einem Loch der Größe 11x13.

Aufgabe 50: Rechteck 29x9 mit einem Loch der Größe 17x3.

Aufgabe 51: Rechteck 31x9 mit einem Loch der Größe 23x3.
Diese Aufgabe wurde mit mops.exe gelöst.

12.9.26

Aufgaben für Hexominos (Nr. 31-40)

Kategorie: Aufgaben für Polyominos

Hier weitere 10 Aufgaben für die 35 verschiedenen Hexominos, die Rahmen haben rechteckige Form mit einem zentralen rechteckigen Loch und bestehen aus jeweils aus insgesamt 210 Elementarquadraten.

3D-Druck: Ein Satz Hexominos lässt sich mit 3D-Druck herstellen: Im Post Pentominos und Hexominos in Box finden Sie die Links zur Sammlung zum Blog auf Thingiverse sowie zu Printables.

Lösung mit Computer: Die hier vorgestellten Aufgaben bieten auch für die üblichen Lösungsprogramme keine Schwierigkeiten. PolySolver, mops.exe und Polycube benötigen für die Aufgaben (in den Standard-Einstellungen) maximal einige Sekunden, manchmal auch viel weniger. Die hier gezeigten Lösungen wurden mit mit Polycube Vers. 1.2.1 ermittelt, dazu wurde die Kommandozeile

polycube.exe -V -10 -p -- Eingabedatei > Ausgabedatei

verwendet.

Die Struktur der Eingabedatei ist einfach, Beispiele gibt es zusammen mit dem Programm bei [1].

In den Aufgaben für Hexominos Nr. 3 und Nr. 24 wurden bereits zwei solche Rechtecke mit Loch der Größe 15x15-3x5 und 33x7-7x3 vorgestellt. Hier mehr solche Rechtecke.

Aufgabe 31: Rechteck 17x13 mit einem Loch der Größe 11x1.

Aufgabe 32: Rechteck 17x15 mit einem Loch der Größe 5x9.

Aufgabe 33: Rechteck 17x15 mit einem Loch der Größe 9x5.

Aufgabe 34: Rechteck 19x15 mit einem Loch der Größe 15x5.

Aufgabe 35: Rechteck 21x11 mit einem Loch der Größe 3x7.

Aufgabe 36: Rechteck 21x11 mit einem Loch der Größe 7x3.

Aufgabe 37: Rechteck 21x13 mit einem Loch der Größe 7x9.

Aufgabe 38: Rechteck 21x13 mit einem Loch der Größe 9x7.

Aufgabe 39: Rechteck 21x15 mit einem Loch der Größe 15x7.

Aufgabe 40: Rechteck 25x11 mit einem Loch der Größe 13x5.

21.6.26

Volle Symmetrie mit Polyominos der Ordnung 2, 3 und 4

Die Aufgabe dieses Geduldspiel besteht darin, aus allen Polyominos der Ordnung 2, 3 und 4 (also dem Domino, den zwei Trominos und den fünf Tetrominos) Figuren mit voller vierfacher Symmetrie zu legen. Man darf die Figur also sowohl spiegeln wie auch um 90 Grad drehen, stets bleibt sie erhalten.

Schwierigkeit: Die Schwierigkeit besteht darin, zunächst solche Figuren mit voller vierfacher Symmetrie zu finden, die sich auch mit der vorgegebenen Menge von Steinen füllen lassen. Hat man solch einen Rahmen, lässt er sich meist relativ einfach füllen.

Jede solche Figur passt in einen quadratischen Rahmen, und er muss mindestens eine Seitenlänge von 6 haben, das die beteiligten Elementarquadrate eine Fläche von 28 einnehmen.

Hat man eine voll symmetrische Form der Fläche 28, so lässt sie sich leider nicht automatisch mit den vorgegebenen Steinen füllen. Je größer das die Figur umschließende Quadrat ist, desto mehr freibleibende innenliegende Elementarquadrate gibt es und dadurch wird es immer schwieriger.

Aufgabe: Finden Sie weitere voll symmetrische Rahmen in dem minimalen Quadrat von 6x6, die sich dann offensichtlich nicht mit den gegebenen Steinen füllen lässt.

Es gibt insgesamt nur fünf Rahmen mit voller vierfacher Symmetrie, die sich mit den acht Steinen füllen lassen. Diese wurden von Livio Zucca 2023 [1] gesucht und gefunden. Unten finden Sie die Rahmen.

Mehr Infos:

[1] https://www.facebook.com/groups/puzzlefun/posts/10160837700970152/

Aufgabe 1: Rahmen der Größe 6x6

Aufgabe 2: Rahmen der Größe 7x7

Aufgabe 3: Rahmen der Größe 7x7

Aufgabe 4: Rahmen der Größe 8x8

Aufgabe 5: Rahmen der Größe 8x8

20.6.26

Kleine Polyominos und Aufgaben mit voller Symmetrie

Je größer die Polyominos werden, desto umfangreicher und komplizierter werden die Aufgaben für diese Polyominos. Solche Polyominos bestehend aus jeweils 5, 6 oder 7 Elementarquadraten wurden schon in einem einheitlichen Format für den 3D-Druck vorgestellt: Pentominos und Hexominos, sowie Heptominos.

Bevor wir uns noch größeren Polyominos zuwenden, wollen wir zuerst die fehlenden kleinen Polyominos betrachten und im gleichen Format zum 3D-Druck anbieten: Es gibt ein Monomio, ein Domino, 2 Trominos und5 Tetrominos, abgebildet im folgenden Bild.

Hier im Blog wurden bereits zwei Geduldspiele mit solch kleinen Polyominos vorgestellt: Poly-5 mit Pentominos und allen kleineren Polyominos sowie Hexominos und Trominos in 6 Rahmen 6x6.

Hier wollen wir uns Symmetrieaufgaben mit diesen kleinen Polyominos zuwenden. Da es aber recht einfach ist, wenn wir beispielsweise nach spiegelsymmetrischen Figuren suchen, die sie aus diesen Steinen bestehen, soll die Aufgabe hier verschärft werden: Es wird verlangt, das die Figuren die volle vierfache Symmetrie besitzen. Man darf sie also sowohl spiegeln wie auch um 90 Grad drehen, stets bleibt die Figur erhalten.

Aufgabe 1 (einfach): Legen sie eine solche Figur mit voller vierfacher Symmetrie aus einigen Steinen Ihrer Wahl. Hier einige Beispiele mit bestehend aus einem, zwei bzw. drei der neun Steine.

Aufgabe 2 (schwieriger): Verwenden Sie immer mehr Steine, um größere Figuren mit voller vierfacher Symmetrie zu legen. Schaffen Sie es, alle neun Steine zu verwenden?

Die Idee, nach voll symmetrischen Figuren aus kleinen Polyominos stammt von Livio Zucca [1].

Design: klassisch

3D-Druck: Sie finden die STL-Files unter der Lizenz CC-BY in der Sammlung zum Blog auf Thingiverse sowie bei Printables.

Mehr Infos:

[1] https://www.facebook.com/groups/puzzlefun/posts/10160837700970152/

20.5.26

Chain Links 2

Der Name des Puzzles soll daran erinnern, dass die drei Puzzleteile Kettengliedern ähneln, die sich in ihrer Form leicht unterscheiden. Es ist der Nachfolger des Symmetriepuzzles Chain Link von GELO. Wieder sind zwei Steine gleich, aber die Steine sind ein wenig größer.

Aus den drei Steinen soll eine flache symmetrische Figur gelegt werden, ohne dass die Steine sich irgendwie überlappen.

Abb. von nothingyetdesigns.com mit freundlicher Genehmigung

Die Steine sind aus lasergeschnittenem Acryl.

Schwierigkeit: Mittelschwer, das geometrische Vorstellungsvermögen wird echt gefordert.

Design: Oleg Smol'yakov (GELO)
Hersteller: NothingYet Designs

Google: Chain Links symmetry puzzle
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 5€

15.4.26

Elegante Hexomino-Lösung für 20x20-Dreieck (Nr. 30)

Kategorie: Aufgaben für Polyominos

Wir haben bereits eine elegante Hexomino-Lösung für Tenyo-Rahmen kennengelernt: Der Rahmen wird zunächst in mehrere Teile von ansprechender Form zerlegt. Wenn man diese alle gefüllt hat und zur Gesamtlösung zusammensetzt, bleiben die Trennlinien zwischen den einzelnen Teilen deutlich sichtbar.

Auch für das rechtwinklige Dreieck mit Seitenlänge der Kathete von 20 Elementarquadraten (das war die Hexomino-Aufgabe Nr. 15) gibt es eine elegante Lösung. Dazu wird zunächst das Dreieck durch geradlinige Schnitte in mehrere Teile zerlegt. Dann wird versucht, mit dem kompletten Satz von Hexominos jedes der Teile zu füllen und fertig ist die elegante Lösung.

Hier die fünf Einzelteile:

Die Aufgabe zu lösen, ist gar nicht so schwer (zumindest für den Computer), das geht wesentlich einfacher als beim Tenyo-Rahmen. Die hier gezeigte Lösung wurde mit mit Polycube Vers. 1.2.1 ermittelt, dazu wurde die Kommandozeile

polycube.exe -V -v10 -p -- Eingabedatei > Ausgabedatei

verwendet. Die eigentliche Herausforderung liegt in der Zerlegung des Dreiecks in solche Teile, die sich dann auch füllen lassen. Eine triviale Bedingung dafür ist, dass jede der Teilflächen eine durch 6 teilbare Größe hat. Diese Bedingung ist aber nicht ausreichend, denn man könnte beispielweise das große rechteckige 8x9-Teil weiter halbieren in 2 Rechtecke 4x9 oder diagonal halbiert in zwei weiter Dreiecke mit Seitenlänge 8. Aber die erste Aufgabe ist nicht lösbar, für die zweite ist es nicht bekannt, ob es eine Lösung gibt.

Frage: Fällt Ihnen eine weitere elegante Zerlegung für das große 20x20-Dreieck ein, so dass sich mit den Hexominos alle Teile einzeln füllen lassen?

Hier die zusammengeschobene Lösung von oben, die Trennlinien der Teile sind weiter erkennbar

Historisches: Die Aufgabenstellung und die erste Lösung stammt von Len Gordon aus den späten 1980er Jahren [9]

Mehr Infos:

[1] https://www.solitairelaboratory.com/hexomino/Hexomino.html

Aufgaben für Hexominos (Nr. 15-29)

Kategorie: Aufgaben für Polyominos

Hier weitere Aufgaben für die 35 verschiedenen Hexominos, die Rahmen bestehen aus jeweils aus insgesamt 210 Elementarquadraten.

3D-Druck: Ein Satz Hexominos lässt sich mit 3D-Druck herstellen: Im Post Pentominos und Hexominos in Box finden Sie die Links zur Sammlung zum Blog auf Thingiverse sowie zu Printables.

polycube.exe -V -10 -p -- Eingabedatei > Ausgabedatei

verwendet.

Die Struktur der Eingabedatei ist einfach, Beispiele gibt es zusammen mit dem Programm bei [1].

Viele der unten gefüllten Rahmen sind (mit anderen Lösungen) bereits länger bekannt und finden sich in den angegebenen Quellen.

Mehr Infos:

[1] http://recmath.com/PolyPages/PolyPages/index.htm?hexopatts.htm
[2] https://polyominoes.co.uk/polyominoes/hexominoes/fifteen.html
[3] https://polyominoes.blogspot.com/search/label/hexominoes
[4] https://www.solitairelaboratory.com/hexomino/Hexomino.html

Aufgabe 15: Ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Länge 20.

In einem eigenen Post für eine elegante Lösung für dieses Dreieck werden wir nocheinmal auf diese Figur zurückkommen.

Aufgabe 16: Quadrat 15x15 mit 15 Löchern auf der Diagonale und in den Ecken.

Aufgabe 17: Quadrat 15x15 mit 15 Löchern in 3 Reihen diagonal.

Aufgabe 18: Quadrat 15x15 mit 15 Löchern in einem Muster.

Aufgabe 19: Quadrat 15x15 mit 15 Löchern in regelmäßiger Anordnung.

Aufgabe 20: Quadrat 15x15 mit 15 Löchern in regelmäßiger Anordnung.

Aufgabe 21: Flacher Rhombus mit einem Loch.

Aufgabe 22: Rhombus mit einem Loch der Größe 1x11.

Aufgabe 23: Abgerundeter Rhombus mit einem kreuzförmigen Loch.

Aufgabe 24: Rechteck 33x7 mit einem Loch der Größe 7x3.

Aufgabe 25: Rechteck 45x5 mit 15 einzelnen Löchern.

Aufgabe 26: Parallelogramm 43x5 mit 5 einzelnen Löchern.

Aufgabe 27: Parallelogramm 43x5 mit 5 einzelnen Löchern.

Aufgabe 28: Parallelogramm 43x5 mit 5 einzelnen Löchern.

Aufgabe 29: Oval 43x5 mit einem zentralen Loch.

21.12.25

Übersicht: Aufgaben für Polyominos

Hier finden Sie alle systematischen Übersichten.

Polyominos gehören zu den Klassikern unter den Geduldspielen. Aus den vollständigen Sätzen von Pentominos, Hexominos usw. lassen sich viele Figuren legen, hier sind eine Großzahl von Aufgaben zusammengestellt. Diese Aufgaben sind niemals einfach und werden schnell übermenschlich schwer. Dann muss der Computer helfen. Damit kommt man viel weiter, man kann aber auch nicht alle Aufgaben lösen. Es gibt auch prinzipiell unlösbare Aufgaben, diese Unlösbarkeit muss man mit einem mathematischen Beweis begründen.

Im Folgenden sind die Aufgaben nach der Art der Steine sortiert. Es gibt einzelne Posts mit ausführlichen Lösungen sowie ganze Aufgabenserien.