Ghostbuster

Fünf freundliche Geister sollen in einen rechteckigen Rahmen gepackt werden. 

Bei näherem Hinsehen entpuppen sich die Geister als Polyformen, und diese lassen sich in einem quadratischen Gitter aneinanderlegen. Die Elementarform besteht aus einem Quadrat, bei dem zwei gegenüberliege Seiten nach außen gewölbt sind und die anderen beiden nach innen. Die Geister bestehen aus fünf bzw. sechs Elementarformen, zwei Geister haben eine identische Form. Da die Geister auf beiden Seite ein Gesicht tragen, dürfen die Steine auch gewendet werden. 

Aus den Elementarformen entsteht ein schachbrettähnliches Muster. Man könnte beispielsweise liegende Elementarformen schwarz färben und stehende Elementarformen weiß. 

Doch hier passiert etwas unerwartetes: Wenn wir eine Polyform wie hervorgehobene L um 90 Grad drehen und an eine geeignete Stelle im Gitter legen, dann hat sich die "Färbung" der Elementarformen geändert, da vorher liegende Elementarformen jetzt stehen und umgekehrt. Falls wir solche Geduldspiele theoretisch analysieren wollen, ist das Schachbrettmuster also nicht der richtige Ansatz.

Jetzt wollen wir endlich versuchen, das Geduldspiel zu lösen und die Geister in den Rahmen zu packen. Da wir ein zugrundeliegendes quadratisches Gitter erkannt haben, werden bei den ersten Versuchen die Geister entlang des Gitters parallel zum Rahmen eingepackt. Doch das will einfach nicht klappen.

Schwierigkeit: So einfach lassen sich die Geister nicht einpacken. Es ist noch ein weiterer Trick nötig, der allerdings auch bei anderen Geduldspielen vorkommt. Als kleines Geduldspiel mit nur fünf Teilen echt knifflig, für Profis nur mittelschwer.

Lösungshinweis: Wenn es nicht gelingt, die Steine achsenparallel in den Rahmen zu legen, kann man sie vielleicht schräg in den Rahmen packen.

 

Design und Herstellung:  Jean Claude Constantin
Erscheinungsjahr: ca. 2014

Google: Ghostbuster Puzzle Constantin
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 15 €

Das Puzzle besteht aus 36 quadratischen Karten, auf denen rote und blaue Ameisen sich auf entsprechend gekennzeichneten Pfaden bewegen. Jede Kante zerschneidet maximal einen Pfad in der Mitte. Die Pfade besitzen keine Richtung, auf den Pfaden laufen Ameisen jeweils in beide Richtungen. Pfade können sich auf einer Karte verzweigen, kreuzen oder auch beginnen oder enden.

Natürlich soll aus den 36 Karten ein 6x6-Quadrat gebildet werden, so dass an aufeinandertreffenden Kanten die Pfade der Farbe entsprechend korrekt fortgesetzt werden. Dabei können an den Rändern durchaus Pfade das 6x6-Quadrat verlassen.

Wem das zu leicht ist, für den gibt es noch eine zusätzliche Bedingung, welche die Aufgabenstellung erschwert: Jetzt dürfen keine Pfade mehr das 6x6-Quadrat verlassen, alle Pfade müssen spätestens am Rand enden oder mit einer Kurve später zurück ins Innere führen.

Schwierigkeit: Da es keine globale Bedingung an die Lösung gibt (etwa dass zusätzlich jeder der zwei Pfade als zusammenhängend gefordert wird), ist das Puzzle ein reines Edge-Matching-Puzzle. Für jede Kante gibt es nur drei Möglichkeiten: roter Pfad, blauer Pfad oder kein Pfad. Konzeptionell ist das Puzzle also ohne neue Designkriterien, die Schwierigkeit kommt ausschließlich aus der Größe. Viele Lösungen vereinfachen das Puzzle, deshalb werden wir uns im unten stehenden Steckbrief für die Anzahl der Lösungen interessieren. 

Andere Aufgaben: Aus 36 Karten lassen sich auch andere Rechtecke legen, z.B. 4x9 oder 3x12. Ist das entsprechend der Spielregeln auch möglich?

Gestaltung: Die Idee mit den roten und blauen Ameisen auf den Pfaden ist nett. Auch wenn manche Ameisen auf Ihrem Weg scheinbar in die „falsche“ Richtung gewendet stehen, wird der Eindruck erzeugt, dass die Wege gerichtet sind. Erst das Lesen des Kleingedruckten klärt hier auf. Auch liegen auf einem blauen Pfad gelegentlich rote Gegenstände als Zierde (und umgekehrt), das verwirrt nur. Mit wenig Aufwand wäre das Puzzle klarer und übersichtlicher geworden.

Anzahl der möglichen, verschiedenen Karten: Es gibt nicht so viele Möglichkeiten für Wege auf den Karten, deshalb kommen Karten mehrfach vor. Und zwar gibt es die folgenden Möglichkeiten:

• Beginn/Ende eines Weges (rot oder blau): 2 Möglichkeiten. Verwendet: Pro Farbe zwei Karten.
• Ein durchgehender Weg, (gerade oder  gebogen, rot oder blau): 4 Möglichkeiten. Verwendet: Pro Farbe fünf gerade und drei gebogene.
• Einfarbiger Abzweig als T-Stück: (rot oder blau): 2 Möglichkeiten. Verwendet: Pro Farbe drei Karten.
• Einfarbige Kreuzung: (rot oder blau): 2 Möglichkeiten. Verwendet: Pro Farbe zwei Karten
• Zwei verschiedenfarbige Wege, (gerade Kreuzung oder  gebogen): 2 Möglichkeiten. Verwendet: Je drei Karten.

Andere Typen von Karten (z.B. ohne Weg) treten nicht auf.

Ähnliche Geduldspiele: Vergleichbare Geduldspiele vom gleichen Autor sind: Jungle Trails Puzzle und Beach Trails Puzzle.

Design: Dan Gilbert
Hersteller:  DaMert Company
Erscheinungsjahr: 2004

Google: Ant Trails Puzzle
Mehr Puzzles vom gleichen Autor: Dan Gilbert Puzzle

Shopping: Gebraucht lieferbar, ca. 5-15€.

	Technischer Steckbrief für 6x6 Edge Matching Puzzle The Ant Trails Puzzle
Karten doppelt vorhanden?	alle Karten doppelt bis fünffach, Rot-Blau-Symmetrie
Orientiertheit der Karten	--
Anzahl Lösungen	mehr als 50.000
davon orientiert	-
Anzahl Karten mit 2 verschiedenen Kanten	32
Anzahl Karten mit 4 gleichen Kanten	4
Schwierigkeit [*]	(noch offen)
Fingerabdruck [*]	AAAA-AAAA-AAAB-AAAB-AAAB-AABB-AABB-AABB-AACC-AACC-AACC-ABAB-ABAB-ABAB-ABAB-ABAB-ABBB-ABBB-ACAC-ACAC-ACAC-BBBC-BBBC-BBCC-BBCC-BBCC-BCBC-BCBC-BCBC-BCBC-BCBC-BCCC-BCCC-BCCC-CCCC-CCCC

[*] Schwierigkeit und Fingerabdruck wurden mit dem Online-Solver von A. Keilhauer berechnet.

The Cube of Cubes

Die folgenden Steine sollen in einen 5x5x5-Würfel gepackt werden: Acht Würfel der Größe 2x2x2 und sechs Steine, die auf zwei spiegelvertauschte Arten jeweils aus einem 1x2x3-Brett und einem 1x2x2-Brett zusammengefügt sind. Die Steine nehmen insgesamt 124 der 125 Elementarwürfel ein, ein kleines Loch bleibt also frei.

Das Cube of Cubes war das Austauschpuzzle von Mineyuki Uyematsu (MINE) auf IPP24 im Jahr 2004 in Tokyo. Das Puzzle ist handwerklich hochwertig gefertigt: Die Kiste zum Puzzle trägt auf einer Seite einen Aufkleber mit allen nötigen Informationen, auf der gegenüberliegenden Seite ist das MINE-Logo eingebrannt. Die Steine bestehen aus drei verschiedenfarbigen Holzsorten. So sorgen  die auf der Kiste genannten  zwei eleganten Lösungen für interessante Farbmuster.

Lösungshinweis: An welcher Stelle würden Sie spontan den leeren Elementarwürfel vermuten?

Polysolver-Info: Das Puzzle lässt sich einfach mit dem PolySolver modellieren und lösen.

Design:  Mineyuki Uyematsu (Mine)

Hersteller:  Tsuchiya Woodworking Plant
Erscheinungsjahr: 2004

Google: "Cube of Cubes" puzzle Mineyuki Uyematsu
Shopping: Kaum Lieferbar.

Leolei

Ein Löwe ohne Vorderbeine soll zwei passende Vorderbeine bekommen. Dazu stehen acht Beine zur Auswahl, jedoch nicht an der rechten Position. Die entsprechenden Steine müssen also zurechtgeschoben werden. Das Feld hat die Größe 4x8+2x1 (angesetzt oben und der Mitte). Dazu gibt es acht V-Trominos mit vier rechten (in der oberen Reihe) und vier liken Vorderbeinen (in der unteren Reihe). Nun müssen zwei Beine mit den Schenkeln in das 2x1-Rechteck verschoben werden.

Die Steine dürfen nur achsenparallel bewegt werden, auch wenn man sich in der Mitte des Feldes so viel Platz schaffen kann, dass eine Rotation möglich wäre. 

Das Holzpuzzle ist nicht besonders exakt gearbeitet, gelegentlich können sich zwei der Trominos verklemmen.

Schwierigkeit: Wenn man etwas Erfahrung mit Schiebespielen hat: einfach. Sonst: mittelmäßig.

Frage: Das Feld scheint ein wenig zu groß. Lässt sich eine vergleichbare Aufgabe auf einem kleineren Feld lösen? 

Lösungshinweis: Zwar weiß man zunächst nicht, welche Beine die richtigen sind, aber es gibt meist nur wenige Zugmöglichkeiten. Die Lösung im beiliegenden Heft benötigt 23 Züge.

 

Design:  D. Sam Cornwell
Hersteller und Artikelnummer:  Haba 2461

Google: Haba Leolei
Shopping: Vergriffen, evtl. gebraucht bei ebay.

Crazy Chain

Auf den ersten Blick sieht auch dieses Puzzle aus wie ein Polyformpuzzle, aber besser beschreiben kann man es als Polysticks auf einem Sechseckgitter: Gegeben ist ein Spielfeld mit hexagonaler Grundstruktur. Aus insgesamt 35 Elementarsechsecken werden acht benachbarte größere Sechsecke gebildet, bei denen jeweils das mittlere Elementarsechseck fehlt. Wichtig ist allerdings nur das verbleibende Sechseckgitter, bestehend aus 35 kettenförmig aneinandergefügten Elementarsechsecken. Das soll mit sieben Spielsteinen gefüllt werden: Drei der Spielsteine bestehen aus jeweils vier Elementarsechsecken, vier aus jeweils fünf. 

Damit lassen sich aber noch nicht die 35 Elementarsechsecke füllen. An einer Stelle im Gitter ist ein zusätzliches rotes Elementarsechseck als Hindernis fest fixiert und kann nicht bewegt werden. Um verschiedene Aufgaben stellen zu können, gibt es noch einen weiteren Level-Block, der an 44 verschiedenen Stellen eingesteckt werden kann und zwei benachbarte Elementarsechsecke belegt. Dazu sind auf dem Spielfeld die Zahlen von 1 bis 44 angegeben, welche die jeweilige Lage des Level-Blocks für das entsprechende Level angibt. Im Bild ist er für Level 9 montiert. 

Schwierigkeit: Die Schwierigkeit nimmt entsprechend der Level-Nummerierung zu. Die Schwierigkeit des Geduldspiels hängt von der Anzahl der möglichen Lösungen ab: Für das einfachste Level 1 gibt es 75 verschiedene Lösungen, für das komplizierteste Level 44 nur eine Lösung. Das beiliegende Aufgabenheft enthält weitere Aufgaben, bei denen jeweils schon einer der Steine platziert ist.

Vereinfachung: Wenn man es sich ganz einfach machen will, kann man folgendes tun: Man benutzt den Level-Block zunächst nicht. Dafür bemüht man sich, die restlichen Spielsteine so in das Gitte zu legen, dass zwei benachbarte Felder freibleiben. Und dort kann man zum Schluss den Level-Block einstecken.

PolySolver-Info: Der PolySolver löst das Puzzle natürlich für uns. Betrachtet man den Level-Block als ganz normalen Spielstein, dann finden wir 902 Lösungen. 

Alternativer Name: Lonpos 099

Hersteller:  Lonpos

Google: Lonpos Crazy Chain
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 10€

Rektifizierung mit Heptominos: 28 P-Heptominos in einem 14x14-Quadrat

Die für die Rektifizierung verwendeten Teile werden immer größer: Wir wollen versuchen, mit mehreren Exemplaren eines einzigen Heptominos ein Rechteck zu füllen. Für diese sogenannte Rektifizierung soll das folgende P-Heptomino verwendet werden.

Schon Martin Gardner [1] wusste, dass 14x14-Quadrat sich mit 28 solchen Heptominos füllen lässt. Vermutlich wurde dies von David Klarner [3] gefunden.

Schwierigkeit: Dies zu tun ist ein mittelschweres Geduldspiel. Wenn man sich damit vertraut gemacht hat, wie benachbarte Steine an den Kanten des Rahmens zusammenpassen, dann wird es etwas übersichtlicher.

3D-Druck: Dieses Geduldspiel gibt es momentan nur als 3D-Druck. Die STL-Datei für die Steine und den Rahmen wie oben abgebildet finden Sie unter den 3D-Modellen zum Blog auf Thingiverse.

Frage: Finden Sie weitere ansprechende Formen, die aus 18 oder weniger solchen Hexominos gelegt werden können?

Mehr füllbare Rechtecke für das P-Heptomino: Folgenden Rechtecke sind möglich (siehe [2]):

• 11x(35+7k)   (k=0,1,2,...)
• 12x(21+7k)   (k=0,1,2,...)
• 14x14, 19, 20, 22, 23, 25 und alle weiteren
• 21x14, 15, 16 und alle weiteren
• und größere.

Interessant ist, dass Rechtecke mit einer Breite von 14 (und größeren Vielfachen von 7) ab einer gewissen Länge alle mit diesem Heptomino füllbar sind. Damit ist das P-Heptomino sehr vielseitig verwendbar. 

Quader füllen

Falls das Heptomino aus Elementarwürfeln besteht, kann man auch versuchen, Quader zu füllen. Natürlich muss eine Seitenlänge durch 7 teilbar sein. Hier ein Beispiel:

Mit den 28 P-Heptominos kann man die folgenden Quader füllen:

• 3x3x7 mit 9 P-Heptominos (siehe Bild)
• 3x4x7 mit 12 P-Heptominos
• 3x5x7 mit 15 P-Heptominos
• 4x4x7 mit 16 P-Heptominos
• 4x5x7 mit 20 P-Heptominos
• 5x5x7 mit 25 P-Heptominos.

Aus diesen Quadern lassen sich mit ggf. mehr P-Heptominos alle größeren Quader a x b x 7c zusammensetzen.

Eine vollständige Übersicht zur dreidimensionalen Rektifizierung mit dem P-Heptomino gibt es bei [4] und [5].

Rektifizierung mit anderen Heptominos

Ähnlich wie bei den Tetrominos, Pentominos und Hexominos können wir uns die anderen Heptominos anschauen und nach der Rektifizierbarkeit fragen. Interessant ist außer dem oben betrachteten Heptomino nur noch das folgende Y-Heptomino:

Google: heptomino rectification

Shopping: Nicht verfügbar.

Mehr Info:

[1] Martin Gardner: Mathematische Hexereien, Kapitel 13. Ullstein-Verlag 1988

[2] http://www.recmath.com/PolyPages/PolyPages/index.htm?Rectangles.htm

[3] https://cflmath.com/Polyomino/rectifiable_data.html

[4] https://cflmath.com/Polyomino/boxes.html

[5] https://puzzlewillbeplayed.com/Shirakawa/7-36.html

Remus Crazy Puzzle: Mickey Mouse / Donald Duck

Kategorie: Quadratische 3x3-Legespiele

In der Verpackung Crazy Puzzles von Remus verstecken sich zwei verschiedene Anlegespiele, obwohl das Titelbild dies gar nicht verrät. Beide sehen auf den ersten Blick aus wie typische 3x3-Anlegespiele: Neun Karten mit jeweils vier Bildhälften sollen zu einem 3x3-Quadrat zusammengefügt werden. Jede Karte enthält zwei Ober- und zwei Unterteile, diese sind jedoch unterschiedlich angeordnet: Manchmal nebeneinander, manchmal gegenüber. Damit sind beide Geduldspiele nicht orientiert. Wenigstens auf den werden Blick erscheint dies so zu sein. Aber beim genaueren Betrachten sind diese Geduldspiele anders als die typischen 3x3-Anlegespiele, und diese Veränderungen sorgen dafür, dass die Spiele einfacher werden als üblich.  

1. Mickey Mouse

Auf den Karten befinden sich nicht wie üblich vier verschiedene Bilder, deren Hälften zusammengefügt werden sollen. Sondern drei Bilder treten zusätzlich gespiegelt auf. Damit haben wir sieben Bilder und viel weniger zusammenpassende Paare als üblich. Außerdem sind die Karten ungenau geschnitten, manchmal würden zwei Halbbilder zwar logisch zusammenpassen, aber an der Schnittkante sieht man, dass die Bilder so nicht zusammengehören.

2. Donald Duck

Hier sind es sechs verschiedene Bilder und die Schnitte sind auch wieder ungenau.

3. Die Rückseiten

Die Rückseiten sind diagonal mit einem Muster bedruckt, welches das Logo des Herstellers wiederholt. Wir könnend damit für beide Geduldspiele die Karten vor Beginn so drehen, dass die Orientierung der Rückseiten einheitlich ist. Dann kennen wir die richtige Orientierung für alle Karten und haben es nun  doch (anders als bei der Betrachtung der Vorderseiten erwartet) mit orientierten Anlegespielen zu tun.

Und ein zusätzliches Geduldspiel können wir aus den Rückseiten auch noch machen: Ignorieren Sie die Vorderseiten völlig und legen Sie die neun Karten mit der Rückseite nach oben so, dass das Muster darauf an den Schnittkanten völlig perfekt passt. 

Schwierigkeit: Einfach, wenn man auf die Rückseiten und die Schnittkanten achtet.

Hersteller und Artikelnummer:  Remus 12077
Erscheinungsjahr: ca. 1990

Google: Remus Puzzle 12077
Shopping: Gebraucht lieferbar.

Die verrückte Hühnerparty

Kategorie: Quadratische 3x3-Legespiele

Wieder ein typisches 3x3-Anlegespiel: Neun Karten mit jeweils vier Hühnerhälften sind zu einfarbigen Hühnern in den Farben Pink, Blau, Grün und Grau in einem 3x3-Quadrat zusammenzufügen. Auf den Rändern der Karten sind jeweils zwei Ober- und zwei Unterteile nebeneinander abgebildet, die Karten sind also orientiert. 

Trotzdem kann man sich relativ einfach überlegen, dass es keine orientierte Lösung geben kann: Es wird immer ein Huhn geben, welches aus der Sicht eines anderen Huhnes auf dem Kopf steht.

Bringt man alle Kacheln in die Orientierung, dass die Köpfe sich unten und links befinden (die Hühner also aufrecht oder mit dem Kopf nach rechts stehen), dann gibt es genau drei rosa Unterteile, aber keine rosa Oberteile. Also müssten sich die rosa Unterteile alle an der oberen Kante befinden.  Leider lässt sich aber aus den drei Kacheln keine Dreierreihe für die Oberkante bilden, so dass es keine einheitlich orientierte Lösung geben kann.

Schwierigkeit: Schwer, da es keine orientierte Lösung gibt. Die Verpackung verrät: Es gibt nur zwei Lösungsmöglichkeiten.

Logisch äquivalente Geduldspiele: Der Fingerabdruck für Legespiele beschreibt die logische Struktur unabhängig von der grafischen Gestaltung. Wenn Sie auf den Link des Fingerabdrucks in der Tabelle unten klicken, finden Sie mehrere Varianten dieses Geduldspiels.

Hersteller:  Heye-Verlag
Erscheinungsjahr: 1989

Google: Heye Verrückte Hühnerparty
Shopping: Gebraucht lieferbar.

	Technischer Steckbrief: 3x3 Edge Matching Puzzle Die verrückte Hühnerparty
Karten doppelt vorhanden?	nein
Orientiertheit der Karten	ja
Anzahl Lösungen	2
davon orientiert	-
Anzahl Karten mit 4 Figuren	4
Anzahl Karten mit 3 Figuren	5
Anzahl Karten mit 2 Figuren	0
Schwierigkeit [*]	7270
Fingerabdruck [*]	ABCD-ABCb-ABac-AcBd-AdCb-BcDd-BdcD-Dcda-abcd

[*] Schwierigkeit und Fingerabdruck wurden mit dem Online-Solver von A. Keilhauer berechnet.

Rotos

Rotos besteht aus zwei ineinandergreifenden Ringen mit verschiebbaren Marken an jeweils sechs Positionen. Die Positionen sind nach jeder möglichen Drehung um 60 Grad angeordnet wie in einem Gitter aus regelmäßigen Dreiecken. Durch Drehungen an beiden Ringen werden die Marken schnell durcheinandergebracht und sollen danach wieder sortiert werden. Auf der Vorderseite befinden sich drei rote und drei grüne Marken in der oberen bzw. unteren Reihe und vier gelbe Marken in der mittleren Reihe. 

Auf der Rückseite ist es komplizierter: Dort sind die Marken nummeriert von 1 bis 9.

Das Puzzle ist heute recht selten, da es mit dem Ende der DDR aus dem Angebot verschwand. Die Mechanik der ineinandergreifenden Ringe hakelt etwas, so dass man die Ringe jeweils genau in die nötige Position bringen muss, damit es nicht klemmt.

Rotos hat konzeptionell Ähnlichkeit zu den ungarischen Ringen: Dort kann man Kugeln in zwei ineinandergreifenden Ringen entlangrollen. Dabei befinden sich viel mehr Kugeln (nämlich 38) in vier verschiedenen Farben im Puzzle und deren Anordnung ist leicht verändert.

Lösungshinweis: Wir bezeichnen mit L bwz. R die Drehung der linken bzw. rechten Scheibe (jeweils um 90 Grad im Uhrzeigersinn) und mit L' und R' die Drehungen in die umgekehrte Richtung. Dann passiert bei der Bewegung RLR'L' folgendes: Jweils drei Steine am oberen und am unteren Schnittpunkt der zwei Kreise tauschen zyklisch ihre Plätze, alle anderen Steine bleiben fest. Dies funktioniert praktisch genauso wie beim Geduldspiel Waho 1. Noch praktischer ist es, wenn man jeweils zwei stellungen weiter dreht: Der Zug L'2R2L2R'2 vertauscht genau zwei paare von Steinen, mämlich die an den Schnittpunkten beider Kreise sowie die Steine ganz außen. Dies ist ausreichend zur Lösung des Geduldspiels, wenn man vorher mit einer oder zwei zusätzlichen Bewegungen die umzuordnende Steine an die geeigneten Positionen bringt.

 

Design:  Manfred Fritsche
Hersteller:  CI (DDR)
Erscheinungsjahr: 1986

Google: Rotos Puzzle
Shopping: Sehr selten, kaum verfügbar.

Mehr Info:

[1] Algorithmus: https://www.jaapsch.net/puzzles/rotos.htm
[2] Patent: https://www.jaapsch.net/puzzles/patents/dd236263.pdf

Ungarische Ringe / Hungarian Rings

In zwei ineinandergreifenden ringförmigen Bahnen befinden sich 38 Kugeln in vier Farben, es gibt keine Leerstellen. Durch verschieben aller Kugeln in einer Bahn werden verschiedene Kugeln an die zwei Schnittpunkte der Bahnen gebracht und durch mehrere solche Züge kommen die Kugeln schnell durcheinander. Die Aufgabe des Geduldspiels besteht natürlich darin, die Kugeln zu ordnen:  Die gleichfarbigen Kugeln sind jeweils hintereinander anzuordnen, jeweils zwei Farben pro Kreis.

Frage: Hängt der Lösungsalgorithmus davon ab, wie viele Kugeln einer Farbe genau im Puzzle verwendet werden? Oder können wir die Anzahl der Kugeln pro Farbe leicht verändern?

Schwierigkeit: Durch "vorsichtiges Herumschieben" kann man ziemlich viele Kugeln in die richtige Lage bekommen, aber für die letzten Kugeln miss man sich etwas überlegen. Man benötigt eine Zugfolge, die möglichst wenige Kugeln bewegt und die restlichen Kugeln an ihrem Platz belässt. Wer Erfahrungen mit anderen sog. Twisty Puzzles hat, hat bestimmt schnell eine Idee.

Lösungshinweis: Wir bezeichnen mit L bwz. R die Drehung der linken bzw. rechten Kugelreihe (jeweils um eine Kugel im Uhrzeigersinn) und mit L' und R' die Drehungen in die umgekehrte Richtung. Dann passiert bei der Bewegung RLR'L' folgendes: Jeweils drei Kugeln am oberen und am unteren Schnittpunkt der zwei Kreise tauschen zyklisch ihre Plätze, alle anderen Steine bleiben fest. Dies funktioniert praktisch genauso wie beim Geduldspiel Waho 1 oder bei Rotos.

 

Design:  William Churchill
Hersteller und Artikelnummer:  verschiedene
Erscheinungsjahr: 1891

Google: Hungarian Rings Puzzle
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 10€

Mehr Infos:

[1] Algorithmus: https://www.jaapsch.net/puzzles/rings.htm
[2] Patent für zweifarbige Version aus dem Jahr 1893: https://www.jaapsch.net/puzzles/patents/us507215.pdf
[3] Online spielen: https://www.jaapsch.net/puzzles/javascript/rubringj.htm, https://ruwix.com/online-puzzle-simulators/hungarian-rings/

Simple Traffic Jam ist eine Variation des Red Donkey Puzzle mit veränderter Ausgangsposition im unteren Teil des Schiebespiels.

Start                                                 Ziel

Lösungshinweis: Man könnte nur das untere 4x3-Feld von Simple Traffic Jam betrachten und die dort befindlichen Steine so verschieben, dass man den unteren Teil des Red Donkey Puzzles erhält.

Mit diesem Vorgehen kann man Simple Traffic Jam prinzipiell lösen, aber man ist weit von der optimalen Lösung entfernt, denn Simple Traffic Jam benötigt nur 64 (geradlinige) Züge, also weniger als das Red Donkey Puzzle.

Varianten: Man kann Simple Traffic leicht dadurch verkomplizieren, indem man eine komplette Zielkonfiguration vorgibt. Wählt man Sie wie im nächsten Bild, dann heißt das Geduldspiel Traffic Jam. Für Traffic Jam benötigt man einige Züge mehr als für Simple Traffic Jam.

Start                                                 Ziel

Da die eben geforderte Lösung ästhetisch ansprechend aussieht, kann man daraus das "umgekehrte" Geduldspiel machen: Wir starten mit dieser Konfiguration (um 180 Grad gedreht) und fordern im Ziel nur die Lage des roten Blocks unten in der Mitte:

Start                                                 Ziel

Die Lösungen für diese Varianten haben leicht abweichende Längen, da die Zielkonfigurationen abweichen dürfen.

Design:  Shafir Games

Erscheinungsjahr: 1981

Google: Red Donkey Puzzle
Shopping: Kaum lieferbar.

3D-Druck: Für die Bilder wurde der Baukasten für mehr als 50 Schiebespiele benutzt.

	Technischer Steckbrief für 4x5 Schiebespiel Simple Traffic Jam
Variation von	Eselspuzzle
Größe	4x5
Aufgabe	2x2-Quadrat ans Ziel bewegen
Art der Bewegung	Schieben
Gesamtanzahl Steine	10
Alle Steine konvex?	ja
Anzahl Steine 2x2	1
Anzahl Steine 1x2 (senkrecht)	4
Anzahl Steine 2x1 (waagerecht)	1
Anzahl Steine 1x1	4
Anzahl Leerfelder	2
optimale Lösung (geradlinige Züge)	64
optimale Lösung (rektilineare Züge)	56
optimale Lösung (Gruppen)	38

Mehr Info: 

[1] Jim Storer Puzzle Pages

Eselspuzzle / Red Donkey Puzzle

Das Eselspuzzle heißt auf im englischen Original Red Donkey Puzzle und trägt diesen Namen, weil der große quadratische Stein ursprünglich mit einem roten Esel verziert war. Es besteht aus fast denselben Steinen wie Dad’s Puzzler, nur dass statt einem 1x2-Rechteck zwei weitere Elementarquadrate vorhanden sind und sich die Orientierung einiger 1x2-Rechtecke geändert hat: Neben dem großen 2x2-Stein gibt es vier stehende und einen liegenden 2x1-Dominos und vier Elementarquadrate. Die Steine dürfen verschoben werden, aber nicht aus dem Rahmen herausgenommen. Der große Stein soll von der Mitte der oberen Kante in die Mitte nach ganz unten geschoben werden. Bei vielen Varianten des Eselspuzzles kann der große Stein den Rahmen unten in der Mitte durch einen Schlitz verlassen. Der Esel ist dann frei!

Schwierigkeit: Das Problem bei diesem Schiebespiel liegt in den diesmal vier senkrechten 2x1-Rechtecken. Diese müssen wieder an dem großen Quadrat vorbei nach oben bewegt werden. Jedoch geht das nicht mehr zeilenweise wie beim Dad's Puzzler, da es keine Steine mehr gibt, um zunächst die oberste Zeile zu füllen. Zwar haben wir vier Elementarquadrate, aber deren Beweglichkeit wird immer in der Nähe des großen Steins benötigt. Man benötigt mindestens 90 (geradlinige) Züge, damit ist das Eselspuzzle schwieriger als Dad's Puzzler. 

Historisches: Auch für dieses Geduldspiel gibt es unzählige Versionen. Zunächst waren die Steine aus Holz und befanden sich in einer Pappschachtel der passenden Größe, die gleichzeitig als Rahmen diente. Später erschienen auch Versionen aus Kunststoff und anderen Materialien. Ebenso variieren die Namen.

Bei der unten abgebildeten Variante aus Polen hat nicht nur der Esel große Ähnlichkeit mit einem Vogel, sondern zusätzlich sind die Steine Nummeriert und auf der Verpackung ist die Lage jedes Steins in der Zielkonfiguration angegeben. Dadurch wird das Geduldspiel etwas komplizierter.

Variationen: Variationen zum Eselspuzzle sind Schiebespiele, bei denen mit den gleichen Steinen (die 2x1-Rechtecke auch in der gleichen Orientierung) in dem gleichen Rahmen gespielt werden soll. Solche Variationen können sich also nur in der Anordnung der Steine bei der Start- oder Zielkonfiguration unterscheiden. 

• Die einfachste Variation besteht darin, das Eselspuzzle um 180 Grad zu drehen mit der Aufgabe, das große Quadrat jetzt nach oben zu bewegen. 
• Mehrere Variationen unterscheiden sich nur in der Ausgangskonfiguration. Einige lassen sich mit einem oder zwei Zügen ineinander überführen. Vor allem mit den veränderten Namen konnten so immer neue Käufer gewonnen werden. Andere weisen größere Unterschiede auf und sollen als kleine Schiebespiele der Größe 3x4 einzeln untersucht werden.
• Eine solche Variation mit einer größeren Änderung der Lage der Steine im unteren Bereich ist Simple Traffic Jam von Shafir Games (1981).

Design:  J. H. Fleming

Erscheinungsjahr: 1932

Google: Red Donkey Puzzle
Shopping: Lieferbar.

	Technischer Steckbrief für 4x5 Schiebespiel Red Donkey Puzzle
Größe	4x5
Aufgabe	2x2-Quadrat ans Ziel bewegen
Art der Bewegung	Schieben
Gesamtanzahl Steine	10
Alle Steine konvex?	ja
Anzahl Steine 2x2	1
Anzahl Steine 1x2 (senkrecht)	4
Anzahl Steine 2x1 (waagerecht)	1
Anzahl Steine 1x1	4
Anzahl Leerfelder	2
optimale Lösung (geradlinige Züge)	90
optimale Lösung (rektilineare Züge)	81
optimale Lösung (Gruppen)	59

Mehr Info: 

[1] Jim Storer Puzzle Pages 

Philos Seilpuzzle Nr. 4

Das Seilpuzzle Nr. 4 von Philos ist im Aufbau komplizierter als das Seilpuzzle Nr. 7 oder das Seilpuzzle Nr. 8. Das Gerüst besteht zwar nur aus zwei Stäben, die einzeln stehen und durch zwei Reifen verbunden sind. Der längste Stab ist über dem oberen Reifen wieder mit einer Kugel verziert. Aber diesmal gibt es noch mehr Teile: Beide Reifen haben Aussparungen, durch die weitere Seile laufen: Eine zusätzliche kurze Schlaufe am unteren Ring und ein Seil ausgehend von der oberen Kugel, welches am Ende eine weitere Kugel trägt.

Zusätzlich ist auf der Bodenplatte eine lange Schlaufe mit beiden Enden befestigt. Auf dem Doppelseil steckt ein roter Ring, den man aber nicht sofort befreien kann, weil die Schlaufe doppelt durch die kurze Schlaufe verläuft. Da das Gerüst völlig unbeweglich ist und der rote Ring nirgendwo durch das Gerüst passt, sind Bewegungen des roten Ringes nicht zielführend. Statt dessen sollte man die Seilschlaufe aus dem Gerüst zu befreien versuchen.

Schwierigkeit: Philos vergibt als Schwierigkeit 3/4, also schwer. Hilfreich ist räumliches Vorstellungsvermögen, um sich vornweg den Verlauf des Seils vorstellen zu können, wenn man es durch mehrere Reifen geführt hat. Und Erfahrungen mit anderen Seilpuzzles sind natürlich auch hilfreich.

Lösungshinweis 1: Schnell wird klar, dass die Schlaufe irgendwann über die Kugel ganz oben gehoben werden muss.

 

Lösungshinweis 2: Auch das an der oberen Kugel befestigte Seil macht keine Schwierigkeiten, wenn man mit Trapez-Puzzles umgehen kann. Aber was muss sonst noch getan werden?

 

Hersteller und Artikelnummer:  Philos 6133

Erscheinungsjahr: 2005

Google: Philos 6133

Shopping: Noch vereinzelt lieferbar. Neu oder gebraucht 5-15€

Verrückter Ring

Ein Ring steckt auf einer Holzleiste und wird durch Seile, die durch eine Öse in der Leiste laufen, daran gehindert, nach oben freizukommen. Die Holzleiste ist auf einer Grundplatte befestigt, auch die Enden der zwei Seile wurden durch die Grundplatte geführt und werden von dicken Knoten daran gehindert durchzurutschen. Natürlich soll der Ring befreit werden. 

Das Puzzle wurde in Thailand hergestellt, die Holzteile bestehen wie üblich aus Samena.

Schwierigkeit: Der Hersteller vergibt die Schwierigkeit 2/4. Es handelt sich um ein kleines Seilpuzzle, welches sich mit einem bekannten Trick lösen lässt. Allerdings wurde um den Trick herum noch viel getan, um diese Spur zu verwischen. Gut geeignet für Anfänger, die nicht sofort aufgeben. 

Lösungshinweis 1: Wenn es gelänge, die zwei Seile zu trennen, dann wäre der Ring automatisch frei. Außerdem: Die Löcher in der Grundplatte für die Seile sind etwas groß und die Seile recht lang.

 

Lösungshinweis 2: Können Sie sich die Grundplatte als zwei miteinander verbundene Trapeze vorstellen?

 

Design:  klassisch
Hersteller und Artikelnummer:  Philos 6108
Erscheinungsjahr: ca. 2010

Google: Philos Verrückter Ring, Philos 6108

Shopping: Lieferbar, Preis 5-10€

Impossibottle: Gallone voll Tischtennisbälle

Nachdem schon viele Tennisbälle durch einen engen Flaschenhals in eine große Flasche befördert wurden, kann man es natürlich auch mit Tischtennisbällen versuchen. Tischtennisbälle haben einen Durchmesser von mindestens 38 mm, die Öffnung der Flasche allerdings nur 36 mm. Damit bleibt es wieder ein Rätsel, wie die Tischtennisbälle offensichtlich unversehrt in die Flasche gekommen sind.

Die hier abgebildete Flasche von Ralf Rudolph ist bis zum Rand gefüllt mit Tischtennisbällen, insgesamt sind über 70 Stück.

Design:  klassisch
Hersteller:  Ralf Rudolph

Google: Impossibottle Ralf Rudolph

Shopping: Vergleichbare Impossibottles sind aus dem Ausland lieferbar.

Impossibottle: Baseball im Glas

Zu der Gruppe der relativ kleinen Gläser, die einen einzelnen, harten Gegenstand enthalten, gehört der Baseball im Glas. Wir können den Deckel des Glases öffnen und uns (so gut es geht) überzeugen, dass es sich tatsächlich um einen echten Baseball handelt. Der Baseball füllt das Glas fast vollständig und es bleibt ein Rätsel, wie er in das Glas gekommen ist.

Auch dies ist ein Klassiker, neben diesem Exemplar von Ralf Rudolph gibt es vergleichbare Impossibottles von anderen Flaschenkünstlern.

Design:  klassisch
Hersteller:  Ralf Rudolph
Google: Impossibottle Ralf Rudolph

Shopping: Vergleichbare Impossibottles sind aus dem Ausland lieferbar.

Schraubenschlüssel / Spanner 2

Nach dem ersten Schraubenschlüssel-Geduldspiel kommt hier das zweite: Auch dieses Geduldspiel wurde aus ganz normalen Baumarkt-Teilen hergestellt und enthält deshalb keine versteckten Tricks: Vor uns liegt ein Ringmaulschlüssel. Dazu ein durch das Maul gezogenes und geschlossenes Seil, in dem ein Ring mit einem sogenannten Ankerstich (d.h. einer Doppelschlinge) befestigt wurde. Dieser Ring hängt über dem Schraubenschlüssel. Das Seil ist so kurz, dass der Ring sich etwa in der Mitte des Schraubenschlüssels befindet. Ein zweiter Ring hängt auf dem Schlüssel, und zwar unter dem Seil zwischen dem Maul und dem anderen Ring.

Foto: Hendrik Haak

Damit blockieren sich die Ringe gegenseitig. Wenn es gelänge, einen zu entfernen, wäre der andere kein Problem mehr. Natürlich sollen beide Ringe befreit werden.

Schwierigkeit: Viel schwieriger als das erste Schraubenschlüssel-Geduldspiel.

Design:  klassisch

Google: "Spanner 2" Puzzle

Shopping: Hier lieferbar, Preis ca. 10€

Bugs / Käfer

Dies ist ein größeres Anlegespiel mit sechseckigen Karten: Um eine zentrale Karte herum können diesmal zwei Ringe aus weiteren Karten gelegt werden, dies ergibt insgesamt 1+6+12 = 19 Karten. Diese Karten enthalten an den Kanten jeweils halbierte Bilder von jeweils einem von insgesamt sechs Käfern. Die Karten sollen so aneinandergelegt werden, dass die Bilder an Kanten korrekt zusammenpassen.

Auf allen Karten sind jeweils alle sechs Käfer vertreten. Eine Karte kommt doppelt vor, alle anderen sind verschieden.

Schwierigkeit: Allein auf Grund seiner Größe erscheint das Anlegespiel schwierig. Man kann natürlich mit einfacheren Aufgaben starten und beispielsweise versuchen, aus sieben Karten einen einfachen Ring zu legen. Aber such in der kompletten Version ist das Anlegespiel eher einfach. Wenn Sie Glück haben, geht es folgendermaßen: Haben Sie es geschafft, etwa die Hälfte der Harten aneinanderzulegen, dann läuft we mit dem Rest wie von selbst. Sie finden immer eine passende Karte und gelangen zum Ziel, ohne in  weitere Sackgassen zu geraten. Deshalb nur mittelschwer.

Ähnliche Geduldspiele: Das Anlegespiel ist Teil einer Serie, es gibt weitere sechseckige Anlegespiele gleicher Größe mit anderen Tiermotiven: Schmetterlinge bzw. Echsen. 

Hersteller / Vertrieb:  Toysmith / HCM Kienzel

Google: Toysmith Bugs Tile Puzzle
Shopping: Kaum lieferbar.

Baukasten für mehr als 50 Schiebespiele

Der Baukasten für Schiebespiel ist aus mehreren Gründen nützlich:
Erstens gibt viele verschiedene Schiebespiele, die sich durch die verwendeten Steine und die Größen der Rahmen nur wenig unterscheiden. Statt immer andere komplette Schiebespiele zu verwenden, können wir mit dem Baukasten mindesten 50 verschiedene Schiebespiele spielen.
Zweitens gibt es viele interessante Schiebespiele gar nicht zu kaufen.

Schwierigkeit: Die verschiedenen Schiebespiele sind unterschiedlich schwierig. Viele davon sind sehr schwer. Zur Übung sind auch Trainingspuzzles für Anfänger dabei. unten einige Fotos von Ausgangsstellungen mit Links auf die entsprechenden Blog-Posts, soweit diese schon vorhanden sind. oder demnächst erscheinen.

3D-Druck: Die STL-Dateien für diesen Baukasten (verschiedene Steine und Rahmen) wie oben abgebildet finden Sie unter den 3D-Modellen zum Blog auf Thingiverse.

Es bleibt die Frage, warum man diese Schiebespiele nicht gleich online spielen sollte. Aber hier ist die Antwort ähnlich wie bei anderen Geduldspielen am Computer. Ja es ist möglich, aber durch die strengen Regeln des jeweiligen Computerspiels sind eigene Experimente doch meist eingeschränkt. Mehr Freiheiten beim Spiel sorgen für mehr Aha-Effekte.

Liste von Schiebespielen für den Baukasten

Die Bilder enthalten nebeneinander jeweils die Start- und Zielkonfiguration.

Die Liste wird regelmäßig vergrößert.

Dad's Puzzler

Dad's Puzzler Diagonal

Red Donkey Puzzle

Simple Traffic Jam

Traffic Jam 

Traffic Jam (reverse)

Steckbrief für Schiebespiele

Es ist schwierig, bei den vielen Schiebespielen, die in mehr als 100 Jahren entstanden sind, die Übersicht zu bewahren. 

Deshalb sollen ähnlich wie beim Steckbrief für Edge-Matching Puzzles wieder technische Daten zusammengestellt werden, um die technischen Unterschiede zwischen den verschiedenen Schiebespielen deutlich zu machen. Dazu wollen wir zuerst (ähnlich wie bei den Edge-Matching Puzzles) die vorhandenen Steine beschreiben. Zusätzlich die Größe des Spielbretts, die Aufgabe (Welcher Stein soll wohin geschoben werden?) sowie die minimalzahl der Züge zur Lösung.

Falls ein Schiebespiel eine Abwandlung eines anderen ist, soll zusätzlich diese Herkunft angegeben werden.

Der Steckbrief umfasst möglicherweise nicht alle technischen Feinheiten des Schiebespiels, deshalb können in seltenen Fällen verschiedene Geduldspiele zu dem gleichen Steckbrief führen. 

Bei der Beschreibung der Steine wird zusätzlich auf deren Lage geachtet. So enthält das oben abgebildete Geduldspiel Dad's Puzzler vier waagerechte Steine der Größe 1x2 und zwei senkrechte Steine der Größe 2x1, nicht einfach sechs Dominos. 

Die Abbildungen der Geduldspiele wurden jeweils mint dem Baukasten für mehr als 50 Schiebespiele erzeugt, damit lassen sich alle Geduldspiele mittels 3D-Druck selber erzeugen.

Hier finden Sie die Liste aller Schiebespiele mit Steckbrief.

Das Geduldspiel Dad's Puzzler Diagonal ist eine Variante von Dad's Puzzler mit gleicher Anfangs- aber geänderter Zielkonfiguration: Das große Quadrat soll diesmal in die rechte (statt linke) untere Ecke verschoben werden. Es muss also kein neues Geduldspiel beschafft werden, wenn man Dad's Puzzler besitzt.

Start                                                 Ziel

Die Steine dürfen verschoben werden, aber nicht aus dem Rahmen herausgenommen. Außer dem großen Stein gibt es sechs Dominos und zwei Quadrate, zwei Felder bleiben leer.

Schwierigkeit: Im Prinzip bestehen die gleichen Schwierigkeiten wie bei Dad's Puzzler. Da sich die Zielposition des großen Quadrates diesmal weiter weg von der Ausgangsposition befindet, könnte die diagonale Variante sogar schwieriger sein. Dies ist aber nicht der Fall, die optimale Lösung benötigt weniger Züge als Dad's Puzzler. Man benötigt mindestens 31 (geradlinige) Züge, damit ist Dad's Puzzler Diagonal nur mittelschwer. Aber etwas Übung oder eine vorher überlegte Strategie sind wiederum hilfreich.

Historisches: Dad's Puzzler Diagonal wurde 1942 erwähnt von Anthony S. Filipiak [1].

Design:  Anthony S. Filipiak
Hersteller: verwendet Steine und Rahmen von Dad's Puzzler.
Erscheinungsjahr: ca. 1942

Google: Dads Puzzler

	Technischer Steckbrief für 4x5 Schiebespiel Dad's Puzzler Diagonal
Variation von	Dad's Puzzler
Größe	4x5
Aufgabe	2x2-Quadrat ans Ziel bewegen
Art der Bewegung	Schieben
Gesamtanzahl Steine	9
Alle Steine konvex?	ja
Anzahl Steine 2x2	1
Anzahl Steine 1x2 (senkrecht)	2
Anzahl Steine 2x1 (waagerecht)	4
Anzahl Steine 1x1	2
Anzahl Leerfelder	2
optimale Lösung (geradlinige Züge)	31
optimale Lösung (rektilineare Züge)	29

Mehr Infos: 

[1] Anthony S. Filipiak: 100 Puzzles How To Make And Solve Them, A. S. Barns and Co. 1942

[2] Jim Storer Puzzle Pages

Das Geduldspiel mit dem Namen Dad's Puzzler (das Original heißt wirklich so, manchmal sieht man aber auch den Namen Dad's Puzzle) ist wieder ein Klassiker unter den Schiebespielen, erstmals erschienen im Jahre 1909.

In einem 4x5-Rahmen soll der große quadratische Stein von links oben nach links unten bewegt werden. Die Startkonfiguration ist wie im Bild vorgegeben, die Lage der restlichen Teile im Ziel ist nicht vorgegeben.

Die Steine dürfen verschoben werden, aber nicht aus dem Rahmen herausgenommen. Außer dem großen Stein gibt es sechs Dominos und zwei Quadrate, zwei Felder bleiben leer.

Schwierigkeit: Das Problem bei diesem Schiebespiel liegt in den zwei senkrechten 2x1-Rechtecken. Diese müssen an dem großen Quadrat vorbei nach oben bewegt werden, jedoch blockieren die waagerechten 2x1-Rechtecke zusammen mit dem großen Quadrat die volle Breite des Rahmens. Wie soll das gehen? Man benötigt mindestens 62 (geradlinige) Züge, damit ist Dad's Puzzler schwierig. Und ohne eine vorher überlegte Strategie benötigt man noch viel länger.

Historisches: Da dieses Geduldspiel so alt ist, gibt es unzählige Versionen. Zunächst waren die Steine aus Holz und befanden sich in einer Pappschachtel der passenden Größe, die gleichzeitig als Rahmen diente. Später erschienen auch Versionen aus Kunststoff und anderen Materialien. Ebenso variieren die Namen [1].

Foto: Jim Storer's puzzle page

Variationen: Variationen von Dad's Puzzler sind Schiebespiele, bei denen mit den gleichen Steinen (die 2x1-Rechtecke auch in der gleichen Orientierung) in dem gleichen Rahmen gespielt werden soll. Solche Variationen können sich also nur in der Anordnung der Steine bei der Start- oder Zielkonfiguration unterscheiden. 

• Eine triviale Variation ist das Humdinger Puzzle. Hier wurde Dad's Puzzler nur um 180 Grad gedreht.
• Eine Variation mit einem abweichenden Ziel ist Dad's Puzzler Diagonal.
• Ein wenig komplizierter wird Dad's Puzzler, wenn man die Position für mehr Steine in der Zielkonfiguration angibt. Im folgenden Beispiel sollen das rote Quadrat und mit den beiden senkrechten Dominos die Plätze tauschen. Das Geduldspiel heißt dann Dad's Puzzler Exchange.

Start                                 Ziel

Design:  L. W. Hardy (1909) und andere
Hersteller: Viele verschiedene
Erscheinungsjahr: 1909

Google: Dads Puzzler
Shopping: Lieferbar.

	Technischer Steckbrief für 4x5 Schiebespiel Dad's Puzzler
Größe	4x5
Aufgabe	2x2-Quadrat ans Ziel bewegen
Art der Bewegung	Schieben
Gesamtanzahl Steine	9
Alle Steine konvex?	ja
Anzahl Steine 2x2	1
Anzahl Steine 1x2 (senkrecht)	2
Anzahl Steine 2x1 (waagerecht)	4
Anzahl Steine 1x1	2
Anzahl Leerfelder	2
optimale Lösung (geradlinige Züge)	62
optimale Lösung (rektilineare Züge)	59

Mehr Infos: 

[1] Jim Storer Puzzle Pages