Kategorie: Polyominos in rechtwinklige Rahmen packen
Hexominos sind Steine, die aus jeweils sechs Elementarquadraten zusammengefügt wurden, so dass jeweils ganze Kanten der Elementarquadrate zusammenstoßen. Sie sind damit die Verallgemeinerung von Tetrominos (bestehend aus jeweils vier Elementarquadraten) und Pentominos (aus je fünf Elementarquadraten). Aus mehr Elementarquadraten kann man eine größere Zahl verschiedener Tetrominos zusammensetzen; insgesamt gibt es 35 verschiedene Hexominos. Um diese mit Namen zu versehen, kann man wieder Assoziationen zu Buchstaben herstellen (wir brauchen dann außer den üblichen Großbuchstaben noch einige Kleinbuchstaben). Hier die Hexominos mit Namen, die in der Sammlung von Michael Keller [1] verwendet werden:
Oder wir nummerieren die 35 Steine einfach mit den Zahlen von 1 bis 35 durch, dann müssen wir uns auf eine Reihenfolge einigen. Das Vorgehen bei verschiedenen Autoren ist hier leider nicht einheitlich. Andere Namen findet man beispielsweise bei [2], eine Nummerierung in [3] oder eine andere Nummerierung in [8].
Aufgaben für Hexominos
Als erstes fällt uns die Aufgabenstellung ein, aus den Hexominos regelmäßige Figuren zu legen. Aus Pentominos haben wir beispielsweise mehrere Rechtecke legen können. Alle Hexominos zusammen bestehen aus 35*6=210 Elementarquadraten.
Frage: Lässt sich daraus ein Rechteck der Größe 14x15 oder 10x21 legen? Oder ein anderes Rechteck?
Antwort: Das klappt leider nicht: Um das einzusehen, hilft wieder eine schachbrettartige Färbung des zu füllenden Rechtecks: Dieses enthält insgesamt 210 Felder, also 105 weiße und 105 schwarze Felder. Wenn wir nun die Steine schachbrettartig färben wollen, dann gibt es stets 11 Steine mit einer geraden Anzahl schwarzer Felder (jeweils 2 oder 4) und 24 Steine mit einer ungeraden Anzahl (jeweils 3) schwarzer Felder. Insgesamt ergibt dies eine gerade Anzahl schwarzer Felder, aber die verlangte Anzahl von 105 ist ungerade.
Wenn wir keine Rechtecke legen können, müssen wir nach anderen Figuren schauen. Hier bieten sich z.B. größere Rechtecke mit Löchern an.
Aus der Gleichung 210 = 15*15 - 3*5 ergibt sich die Aufgabenstellung [4]:
Und aus 210 = 15*17 - 5* 3*3 kann man die folgende Aufgabe bilden [5]:
Auch wenn keine vollständig gefüllten Rechtecke möglich sind, können wir z.B. das 14x15-Parallelogramm [5] füllen:
Eine große Sammlung von Aufgaben wurde von Michael Keller in [1] gesammelt. Noch mehr Aufgaben gibt es bei [6] [7] und [9].