Schmale Rechtecke mit Polyominos zu füllen, ist oft schwierig oder unmöglich. Falls nötig, wollen wir auch einige wenige Löcher im Inneren zulassen. Wir interessieren uns für Rechtecke der Breite 3.
Tetrominos: Hier ist es ausnahmsweise einfach: Die 5 verschiedenen Tetrominos benötigen 20 Elementarquadrate, das nächstgrößere Rechteck der Breite 3 hat die Größe 7x3. Es gibt nur eine Position für ein Loch in der mittleren Reihe, so dass die Aufgabe lösbar ist. Das Loch befindet sich leider nicht im Zentrum. Diese Aufgabe müssen Sie wirklich selber lösen, wir zeigen keine Lösung.
Pentominos: Der Klassiker unter diesen Aufgaben ist das Füllen des 20x3-Rechtecks mit Pentominos, Siehe Aufgabe 4 der Aufgaben für Pentominos (Nr. 1-20) mit einer Lösung. Insgesamt gibt es nur zwei Lösungen, die sich nicht sehr unterscheiden. Ohne Computer sehr schwer zu lösen.
Hexominos: Die 35 Hexominos belegen 210 Elementarquadrate. Da man mit ihnen aus Paritätsgründen überhaupt kein Rechteck legen lässt, klappt es auch nicht mit dem 70x3-Rechteck.
Wir können diese Unmöglichkeit aber auch anders beweisen, und dieser Beweis lässt sich auch anwenden, wenn beispielsweise Löcher vorhanden sind und deshalb die Parität nicht mehr verletzt sein muss. Wir zählen die oberen und unteren Randfelder: In einem Rechteck der Größe nx3 gibt es 2n obere und untere Randfelder. Im Vergleich dazu zählen wir für jeden Stein die maximale Anzahl der oberen und unteren Randfelder, die er überdecken kann. Wir werden sehen, dass alle Steine zusammen nicht die oberen und unteren Randfelder überdecken können, also können wir das Rechteck auch nicht füllen. Dieses Vorgehen wollen wir auf verschiedene Aufgaben für Hexominos anwenden.
Hier für jedes Hexomino (in der Nummerierung von mops.exe) die Maximalzahl der überdeckten oberen und unteren Randfelder (in Rot):
(Bemerkung: Diese Anzahlen entspricht nur näherungsweise der Zahl Number of Bordersqares bei mops.exe)
Die Hexominos überdecken zusammen also maximal 130 obere und untere Randfelder. Dies wollen wir auf einige Aufgaben mit Hexominos anwenden, auch wenn wir es im ersten Fall schon wissen:
Hexominos im 70x3-Rechteck: Die 35 Hexominos überdecken maximal 130 obere und untere Randfelder. Da das 70x3-Rechteck über 140 solche Randfelder verfügt, können wir es nicht füllen. Es bleibt ein Defizit 10 Randfeldern.
Hexominos in einem größeren (70+n)x3-Rechteck mit 3n inneren Löchern: Gegenüber dem 70x3-Rechteck vergrößert sich die Anzahl der oberen und unteren Randfelder, diese können erst recht nicht überdeckt werden, da sich das Defizit nur vergrößert.
Hexominos + Trominos in 72x3-Rechteck: Die Steinmenge aus Hexominos und Trominos hat sich schon einmal als nützlich erwiesen, si kann sechs 6x6-Quadrate füllen. Aber beim 72x3-Rechteck klappt es nicht: Die zwei Trominos überdecken maximal fünf obere und untere Randfelder, so dass sich das Defizit nur um eins auf 9 verringert.
Hexominos + Pentominos in 90x3-Rechteck: Auch diese Steinmenge hat sich als nützlich und gutmütig erwiesen, um viele Formen zu legen. Aber klappt es mit einem 90x3-Rechteck? Lewis Patterson hat schon 2019 vermutet, dass dieses Problem unlösbar ist [1]. Um das zu beweisen, zählen wir wie viele obere und untere Randfelder durch die Pentominos belegt werden können (im folgenden Bild in Rot):
Es sind maximal 43. Davon werden 40 für die zusätzlichen Pentominos benötigt (denn ihre Gesamtfläche beträgt 60), das Defizit verringert sich also nur um drei auf 7.
Falls wir bei den letzten beiden Aufgaben zusätzliche Leerfelder in der mittleren Reihe einfügen wollen, bessert sich die Situation auch nicht. Die Argumentation ist exakt wie beim (70+n)x3-Rechteck mit 3n inneren Löchern.
Aus einem kompletten Satz Heptominos lässt sich auch kein Rechteck der Breite drei füllen, da der folgende Stein mindestens ein Fläche von 4x4 benötigt:
Für alle vollständigen Sätze von größeren Polyominos gilt dies analog
Mehr Infos
[1] https://polyominoes.blogspot.com/2019/09/combining-pentominoes-and-hexominoes.html
