Dass man eine Fläche mit Quadraten und regelmäßigen Sechsecken pflastern und daraus Geduldspiele machen kann, haben wir bereits oft genug gesehen. Wie ist es aber mit Fünfecken? Mit regelmäßigen Fünfecken klappt dies leider nicht, aber wenn man von der regelmäßigen Form leicht abweicht, gelingt die Parkettierung. Der dazugehörige Name Cairo stammt übrigens von Mosaiken mit derartig geformten Kacheln aus der Stadt Kairo (siehe [1]). Und aus mehreren solchen Fünfecken lassen sich die Teile für Geduldspiele zusammenfügen. Im Bild sehen Sie ein Monocairo, zwei Dicairos und die fünf möglichen Tricairos.
Außerdem gibt es 17 verschiedene Tetracairos:
Die drei Tetracairos in der unteren Reihe spielen eine besondere Rolle: Sie besitzen eine abweichende Eigenschaft bezüglich der Symmetrie und werden uns Schwierigkeiten machen, Rechtecke ausschließlich mit den 17 Tetracairos zu füllen. Deshalb benutzen Tetracairo-Puzzles meist nur 16 der 17 Tetracairos.
Für Polycairos aus mehr als vier Cairos wächst die Anzahl schnell: Es gibt 55 Pentacairos, 206 Hexacairos, 781 Heptacairos. Danach wachen die Zahlen schnell weiter: 3099, 12421, 50725, 108870, 868238, ... (siehe [2]).
Das zur Parkettierung verwendete elementare Fünfeck enthält zwei rechte Winkel, dazwischen einen stumpfen Winkel. Die vier Kanten neben den rechten Winkeln haben alle die Seitenlänge eins, für die fünfte Seite sind alle Seitenlängen zwischen 0 und 2√2 möglich (siehe [3]). Daraus und der nötigen Spiegelsymmetrie ergibt sich die Größe der zwei gleichgroßen verbleibenden Winkel. Häufig verwendet zwei Varianten, die ästhetisch als besonders ansprechend gelten:
Das Fünfeck ist gleichseitig, auch die fünfte Seite hat also die Länge 1. Die Größe der nicht-rechten Winkel ist dann 131.4 Grad und zweimal 114.3 Grad.
Die zweite Variante verwendet als Ausgang ein Fünfeck mit ganzzahligen Koordinaten für die Ecken, nämlich (±2,0), (±3,3) und (0,4). Die nicht-normierte Seitenlänge für vier der fünf Seiten beträgt dann √10, die fünfte Seite hat die Länge 4:
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