Dieser Post dient dazu, die Übersicht bei den verschiedenen Polyformen und ihren Namen zu wahren. (Zum Beispiel: Anders als man denken könnte, bestehen Hexiamonds nicht aus Sechsecken.)
Ebene Polyformen
In der Ebene gibt es verschiedene Gitter, die sich aus jeweils gleichen, regelmäßigen N-Ecken zusammensetzen lassen. Das bekannteste ist das quadratische Gitter (N=4), aber es klappt auch mit gleichseitigen Dreiecken (N=3) und regelmäßigen Sechsecken (N=6).
Ebene Polyformen bestehen jeweils aus mehreren benachbarten Gitterzellen, die jeweils eine gemeinsame Gitterkante haben müssen. Anders ausgedrückt besteht eine Polyform aus mehrere identischen regelmäßigen N-Ecken (N=3,4 oder 6), die jeweils an komplette Kanten gemeinsam haben.
Eine zusätzliche Option besteht darin, ob wir die Polyformen bei einem Geduldspiel wenden dürfen (zweiseitige Polyformen) oder nicht (einseitige Polyformen). Sobald es Polyformen gibt, die nicht spiegelsymmetrisch sind, gibt es mehr einseitige als zweiseitige Polyformen.
Quadratisches Gitter: Polyominos
- n=1: Monomino. Es gibt offensichtlich genau ein Monomino in Form eines Elementarquadrates.
- n=2: Domino. Es gibt wieder genau ein Domino bestehend aus zwei Elementarquadraten in der klassischen Form.
- n=3: Triomino (manchmal auch: Tromino). Es gibt zwei verschiedene Triominos, die wegen ihrer Ähnlichkeit zu den entsprechenden Buchstaben mit I und L bezeichnet werden.
- n=4: Tetromino: Die fünf möglichen Tetrominos werden üblicherweise mit den Buchstaben I, L, O, T und Z bezeichnet.
- n=5: Pentomino: Die zwölf möglichen Pentominos werden üblicherweise mit den Buchstaben F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y und Z bezeichnet.
- n=6: Hexomino: Es gibt 35 verschiedene Hexominos.
- n=7: Heptomino: Es gibt 108 verschiedene Heptominos.
- n=8: Oktomino: Es gibt 369 verschiedene Oktominos.
Diese Anzahlen bilden eine Zahlenfolge, und die hat in der Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) die Nummer A000105. Von n=1 bis n=30 geht die Zahlenfolge folgendermaßen:
1, 1, 2, 5, 12, 35, 108, 369, 1285, 4655, 17073, 63600, 238591, 901971, 3426576, 13079255, 50107909, 192622052, 742624232, 2870671950, 11123060678, 43191857688, 168047007728, 654999700403, 2557227044764, 9999088822075, 39153010938487, 153511100594603, ...
Die kompletten Sätze von Heptominos oder Oktominos usw. werden kaum für Geduldspiele verwendet, da die Schwierigkeit, eine von wenigen Lösungen zu finden, extrem steigt. Auch der Computer ist schnell überfordert.
Dreieckgitter: Polyamonds
Analog wie oben bilden wir Polyamonds aus gleichseitigen Dreiecken; n-Iamonds sind Polyamonds aus genau n Dreiecken. Statt Rechtecken kann man diesmal größere gleichseige Dreiecke, Parallelogramme oder Trapeze daraus legen.
Interessant sind vollständige Sätze von n-Iamonds vor allem für n=6 bis n=9:
- n=6: Hexiamond: Es gibt 12 verschiedene Hexiamonds. Damit lassen sich beispielsweise das 4x9- und das 6x6-Parallelogramm füllen.
- n=7: Heptiamond: Es gibt 24 verschiedene Heptiamonds. Damit lassen sich beispielsweise die folgenden Parallelogramme füllen: 7x12, 6x14, 4x21 und 3x28.
- n=8: Oktiamond: Es gibt 66 verschiedene Oktiamonds. Damit lassen sich beispielsweise die folgenden Parallelogramme füllen: 4x66, 6x44, 8x33, 11x24, 12x22.
- n=9: Enneiamonds: Es gibt 160 verschiedene Enneiamonds.
Auch diese Zahlenfolge findet sich in der Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) und trägt die Nummer A000577. Von n=1 bis n=30 geht die Zahlenfolge folgendermaßen:
1, 1, 1, 3, 4, 12, 24, 66, 160, 448, 1186, 3334, 9235, 26166, 73983, 211297, 604107, 1736328, 5000593, 14448984, 41835738, 121419260, 353045291, 1028452717, 3000800627, 8769216722, 25661961898, 75195166667, 220605519559, 647943626796, ...
Sechseckgitter: Polyhexen
Aus Polyhexen lassen sich oft viele Muster legen, was aber bei einer großen Anzahl von Steinen trotzdem kompliziert sein kann.