Welt der Geduldspiele: Kisten packen mit Y-Pentominos

30.1.21

Kisten packen mit Y-Pentominos

Bei dem 125er Würfel Y galt es einen 5x5x5-Würfel mit Y-Pentominos zu füllen. Dabei hatten wir auch noch festgestellt, dass sich der etwas flachere 5x5x4-Quader mit Y-Pentominos füllen lässt. Gibt es noch mehr kleinere Kisten, die sich so füllen lassen? Wir benötigen dafür keine neuen Steine, wenn wir bereits über die 25 Y-Pentominos aus dem 125er Würfel Y verfügen. Dieser Post enthält also zusätzliche Aufgaben für den 125er Würfel Y.

Als notwendige Bedingung für die Lösbarkeit solcher Aufgaben muss eine Seitenlänge durch fünf teilbar sein, weil die Gesamtzahl aller Elementarwürfel ein Vielfaches von fünf ist.

In der folgenden Liste werden die verschiedenen mit Y-Pentominos zu füllenden Boxen angegeben, für die man maximal 25 Y-Pentominos benötigt, dazu die Anzahl der verschiedenen Lösungen. Eine vollständige Liste, auch für mehr Y-Pentominos und größere Boxen findet sich bei Torsten Sillke in [5] oder bei Michael Reid [6]:

10 Y-Pentominos in einer 1x5x10-Box: Der PolySolver findet 10 Lösungen. Zwei Paare von Steinen bilden jeweils ein H, das jeweils um 180 Grad gedreht werden kann. Außerdem ist noch eine Spiegelung möglich. Bis auf diese trivialen Änderungen ist dies nur eine einzige Lösung. Man findet sie auch einfach, wenn man mit der Lösung in einer Ecke beginnt.
12 Y-Pentominos in einer 2x5x6-Box: Drei verschiedene Lösungen. In der oberen und in der unteren Schicht können je zwei Steine zusammen gedreht werden. Der zweietagige Ring außen kann seinen Drehsinn ändern. All diese Varianten zusammen ergeben 8 Lösungen im Sinne des PolySolvers.
12 Y-Pentominos in einer 3x4x5-Box: Der PolySolver ermittelt 52 verschiedene Lösungen, [2] erkennt darin 9 verschiedene Lösungen. Die Unterschiede zwischen den einzelnen Lösungen sind jedoch gering wie in der 2x5x6-Box.
16 Y-Pentominos in einer 2x4x10-Box: Der PolySolver findet 40 Lösungen.
16 Y-Pentominos in einer 2x5x8-Box: Der PolySolver ermittelt 68 verschiedene Lösungen, die sich nicht sehr unterscheiden.
16 Y-Pentominos in einer 4x4x5-Box: Der PolySolver ermittelt 2.128 verschiedene Lösungen, [3] erkennt darin 141 verschiedene Lösungen.
20 Y-Pentominos in einer 2x5x10-Box: Der PolySolver ermittelt 628 verschiedene Lösungen.
20 Y-Pentominos in einer 4x5x5-Box: Der PolySolver ermittelt 8.032 verschiedene Lösungen, [4] erkennt darin 502 verschiedene Lösungen (Faktor 16).
22 Y-Pentominos in einer 2x5x11-Box: Der PolySolver ermittelt 628 verschiedene Lösungen.
24 Y-Pentominos in einer 2x4x15-Box: Der PolySolver findet 3820 Lösungen.
24 Y-Pentominos in einer 2x5x12-Box: Der PolySolver ermittelt 80 verschiedene Lösungen. Dies bedeutet, dass die meisten Lösungen in zwei Quader der Größe 2x5x6 zerfallen, da es dafür schon 8x8=64 (von insgesamt 89) Möglichkeiten gibt.
24 Y-Pentominos in einer 3x5x8-Box: Der PolySolver ermittelt 2.848 verschiedene Lösungen.
24 Y-Pentominos in einer 4x5x6-Box: Der PolySolver ermittelt 101.844verschiedene Lösungen. Natürlich können wir zwei Boxen der Größe 3x4x5 übereinanderstapeln, um 52x52=2.704 davon zu finden.
25 Y-Pentominos in einer 5x5x5-Box: Der PolySolver ermittelt 60.672 verschiedene Lösungen, [5] erkennt darin 1264 verschiedene Lösungen (Faktor 48).