Hier die Aufgabe: Ein 6x6-Quadrat ist völlig mit T-Tetrominos überdecken.
Man kann eine ganze Weile mit neun T-Tetrominos herumprobieren, aber es klappt nicht. Das ist natürlich kein Beweis für die Unlösbarkeit.
Alternativ kann man die Aufgabe mit Software wie dem PolySolver lösen lassen. Auch hier wird keine Lösung gefunden. Wenn wir der Software vertrauen, dann können wir das als Unmöglichkeitsbeweis akzeptieren, denn mittels vollständiger Fallunterscheidung wurden alle verschiedenen Möglichkeiten durchprobiert. Aber solch ein Beweis mittels vollständiger Fallunterscheidung ist immer etwas unbefriedigend und man fragt sich, ob es nicht einen mathematisch ansprechenden Beweis gibt.
Ja, hier ist der Unmöglichkeitsbeweis.
Auch hier ist es eine gute Idee, das 6x6-Quadrat wie ein (kleineres) Schachbrett einzufärben, es besteht dann aus jeweils 18 weißen und 18 schwarzen Feldern. Jedes verwendete T-Stück besteht aus vier Feldern, und zwar entweder aus drei schwarzen und einem weißen Feld, oder umgekehrt. Auf jeden Fall besteht jedes T-Stück aus einer ungeraden Anzahl schwarzer Felder und einer ungeraden Anzahl weißer Felder. Zur Überdeckung des großen Quadrates aus 36 Feldern benötigen wir 9 T-Stücke, schon wieder eine ungerade Anzahl. Egal wie man sie anordnet, überdecken eine ungerade Anzahl T-Stücken auch immer eine ungerade Anzahl weißer (und ebenso schwarzer) Felder. Damit können die zu überdeckenden 18 weißen Felder niemals mit 9 T-Stücken überdeckt werden.
