Nageltrickbox

Ein schmuckes Holzkästchen mit unbekanntem Mechanismus soll geöffnet werden.

Es gibt verschiedene Varianten der Nageltrickbox: Es ist immer eine längliche und relativ hohe Holzkiste mit einem nicht ganz fest sitzenden Deckel. Der Deckel besitzt einen locker sitzenden Holzknauf oder auch zwei. Im Inneren der Kiste klappern bewegliche Teile. Die Kiste ist schmuckvoll verziert, beispielsweise sind an den Seiten umlaufende Streifen aus verschiedenen Harthölzern. Zwischen diesen Streifen einen Zugang zu der Kiste zu finden ist allerdings der falsche Weg, die Kiste lässt sich ohne jede Gewalteinwirkung öffnen.

Übrigens: Warum heißt die Kiste eigentlich Nageltrickbox? Nachdenken hilft momentan nicht weiter und führt auch nicht zur Lösung. Aber zum Schluss kennt man die Antwort.

Schwierigkeit: Die Lösung des Geduldspiels ist einfach, aber nicht naheliegend. Ein einziger Schritt ist nötig, um die Box zu öffnen. Jean Claude Constantin vergibt 4 von 5 möglichen Sternen. Also recht schwierig.

Hersteller:  Jean Claude Constantin

Google: Nageltrickbox 

Shopping: Lieferbar, Preis ca. 40€

Peppermint Stick 5

Fünf spiralförmig (genauer: in Form einer Schraubenlinie) gebogene Stahlstäbe sehen zusammengesteckt wie ein dickes Stahlseil aus.

Man bekommt die Stäbe relativ einfach auseinander und soll sie anschließend wieder zusammenstecken. Das ist etwas schwieriger, aber mit etwas Fingerfertigkeit und Ausdauer nicht unmöglich. Das Geduldspiel ist sehr massiv, die verchromten Stäbe machen das zusammengebaute Geduldspiel zum Hingucker.

Ähnliches Geduldspiel: Sehr ähnlich ist Peppermint Stick 4 mit vier statt fünf Stahlstäben. Funktional besteht zwischen diesen kein Unterschied.

Design:  klassisch

Herstellung / Vertrieb:  Jean Claude Constantin

Google: Peppermint Stick Puzzle

Shopping: Lieferbar, Preis 10-15 €

Dice Box No. 5

Zunächst eine Vorbemerkung zu der Serie der Dice-Box-Puzzles von MiToys. Insgesamt sechs verschiedene Geduldspiele sind in dieser Serie erschienen. Die Aufgabe besteht jeweils darin, eine würfelförmige Box zu füllen, wobei die Aufgaben zu verschiedenen Geduldspieltypen gehören. Die Boxen sind aus Holz, haben eine Seitenlänge von 7cm und sind außen wie Spielwürfel dekoriert, und der Deckel ist mit der Nummer des Geduldspiels in der Serie gekennzeichnet. Die Geduldspiele werden in einer Pappkiste der doppelten Größe geliefert, die das Geduldspiel in ungelöstem Zustand enthalten. Für alle, die es benötigen, liegt auch ein Lösungszettel bei.  

Die Aufgabe bei Dice Box No. 5 besteht darin, insgesamt 18 teilweise eingekerbte Rundhölzer der Länge 3 so in sechs Schichten zu stapeln, dass Rundungen und Einkerbungen passend aufeinander treffen und insgesamt einen gut aussehenden Holzstapel ergeben.  

Bevor wir versuchen, das Geduldspiel zu analysieren, schauen wir uns erst einmal die Hölzer an und stellen fest, dass die Hölzer wiederholt vorkommen: Es gibt nur sechs verschiedene Hölzer, jedes kommt dreimal vor. 

Schwierigkeit: Natürlich versuchen wir zu Beginn, das Geduldspiel ohne großes Nachdenken zu lösen und stellen fest, dass wir mit unserem Holzstapel ziemlich weit kommen. Meist scheitern wir erst in der vorletzten oder der allerletzten Schicht. Das erweckt den Eindruck, dass das Geduldspiel nicht allzu schwierig ist. Nach einigen Versuchen sollte eine Lösung gefunden werden. Versuchen Sie es erst einmal ohne den Lösungshinweis.

Lösungshinweis: Wenn wir beim Zusammenbauen erst relativ spät scheitern, dann ist es eine gute Idee, nicht wieder komplett von vorn zu beginnen. Eine bessere Strategie ist es zu sehen, ob man durch eine Veränderung nur weniger Hölzer eine Lösung finden kann. Dieses Vorgehen funktioniert oft, wenn es verhältnismäßig viele Lösungen gibt und man durch mehr oder weniger planloses Probieren schon in die Nähe einer Lösung kommen kann.

 
 

Einschätzung: Insgesamt ein einfaches, ansprechendes Geduldspiel. Man kann auch als Anfänger durch Probieren eine Lösung in 5-15 Minuten finden. Mathematische Überlegungen helfen nicht weiter. Das Geduldspiel ist logisch äquivalent zu den Stapeln der Grundfläche 3x3 aus Brettern der Größe 3x1. Es funktioniert aber etwas anders als z.B. Golf Putting Green, da hier die Aussparungen sich auf jeweils einer Seite befinden, die Löcher bei Golf Putting Green aber durchgehend waren.

Fragen: Wenn uns wundert, dass die Hölzer mehrfach vorkommen, dann können wir versuchen herauszubekommen, wie viele verschiedenen Hölzer es in diesem Geduldspiel überhaupt geben könnte:

1. Bei jedem Holz gibt es drei Positionen, bei denen sich eine Kerbe befinden kann. Und zwar jeweils oben oder unten. Wir können die Hölzer außerdem in drei Richtungen um jeweils 180 Grad drehen und wollen solche Hölzer als identisch betrachten. Zeigen Sie, dass es dann nur 10 verschiedene Hölzer gibt.
2. Bei sechs Schichten gibt es dazwischen fünf Kontaktflächen, bei denen jeweils (mindestens) neun Aussparungen vorhanden sein müssen, damit an den neun Kreuzungspunkten niemals zwei massive Stellen der Rundhölzer aufeinandertreffen. Die Hölzer verfügen insgesamt über genau die richtige Anzahl Aussparungen. Damit wird auch klar, weshalb keine Hölzer mit nur einer Kerbe oder gar keiner Kerbe verwendet wurden. Oder?

Alternative Namen:  Stäbe mit Kerben / Rod by Rod

Hersteller: MiToys 
Erscheinungsjahr: 2007

Google: MiToys "Rod by Rod" puzzle
Shopping: Hier noch erhältlich für ca. 10€: obchod.hryahlavolamy.cz

Kisten packen mit Y-Pentominos

Bei dem 125er Würfel Y galt es einen 5x5x5-Würfel mit Y-Pentominos zu füllen. Dabei hatten wir auch noch festgestellt, dass sich der etwas flachere 5x5x4-Quader mit Y-Pentominos füllen lässt. Gibt es noch mehr kleinere Kisten, die sich so füllen lassen? Wir benötigen dafür keine neuen Steine, wenn wir bereits über die 25 Y-Pentominos aus dem 125er Würfel Y verfügen. Dieser Post enthält also zusätzliche Aufgaben für den 125er Würfel Y.

Als notwendige Bedingung für die Lösbarkeit solcher Aufgaben muss eine Seitenlänge durch fünf teilbar sein, weil die Gesamtzahl aller Elementarwürfel ein Vielfaches von fünf ist.

In der folgenden Liste werden die verschiedenen mit Y-Pentominos zu füllenden Boxen angegeben, für die man maximal 25 Y-Pentominos benötigt, dazu die Anzahl der verschiedenen Lösungen. Eine vollständige Liste, auch für mehr Y-Pentominos und größere Boxen findet sich bei Torsten Sillke in [5] oder bei Michael Reid [6]:

• 10 Y-Pentominos in einer 1x5x10-Box: Der PolySolver findet 10 Lösungen. Zwei Paare von Steinen bilden jeweils ein H, das jeweils um 180 Grad gedreht werden kann. Außerdem ist noch eine Spiegelung möglich. Bis auf diese trivialen Änderungen ist dies nur eine einzige Lösung. Man findet sie auch einfach, wenn man mit der Lösung in einer Ecke beginnt.
• 12 Y-Pentominos in einer 2x5x6-Box: Drei verschiedene Lösungen. In der oberen und in der unteren Schicht können je zwei Steine zusammen gedreht werden. Der zweietagige Ring außen kann seinen Drehsinn ändern. All diese Varianten zusammen ergeben 8 Lösungen im Sinne des PolySolvers.
• 12 Y-Pentominos in einer 3x4x5-Box: Der PolySolver ermittelt 52 verschiedene Lösungen, [2] erkennt darin 9 verschiedene Lösungen. Die Unterschiede zwischen den einzelnen Lösungen sind jedoch gering wie in der 2x5x6-Box.
• 16 Y-Pentominos in einer 2x4x10-Box: Der PolySolver findet 40 Lösungen. 
• 16 Y-Pentominos in einer 2x5x8-Box: Der PolySolver ermittelt 68 verschiedene Lösungen, die sich nicht sehr unterscheiden.
• 16 Y-Pentominos in einer 4x4x5-Box: Der PolySolver ermittelt 2.128 verschiedene Lösungen, [3] erkennt darin 141 verschiedene Lösungen. 
• 20 Y-Pentominos in einer 2x5x10-Box: Der PolySolver ermittelt 628 verschiedene Lösungen. 
• 20 Y-Pentominos in einer 4x5x5-Box: Der PolySolver ermittelt 8.032 verschiedene Lösungen, [4] erkennt darin 502 verschiedene Lösungen (Faktor 16). 
• 22 Y-Pentominos in einer 2x5x11-Box: Der PolySolver ermittelt 628 verschiedene Lösungen. 
• 24 Y-Pentominos in einer 2x4x15-Box: Der PolySolver findet 3820 Lösungen. 
• 24 Y-Pentominos in einer 2x5x12-Box: Der PolySolver ermittelt 80 verschiedene Lösungen. Dies bedeutet, dass die meisten Lösungen in zwei Quader der Größe 2x5x6 zerfallen, da es dafür schon 8x8=64 (von insgesamt 89) Möglichkeiten gibt. 
• 24 Y-Pentominos in einer 3x5x8-Box: Der PolySolver ermittelt 2.848 verschiedene Lösungen. 
• 24 Y-Pentominos in einer 4x5x6-Box: Der PolySolver ermittelt 101.844verschiedene Lösungen. Natürlich können wir zwei Boxen der Größe 3x4x5 übereinanderstapeln, um 52x52=2.704 davon zu finden.
• 25 Y-Pentominos in einer 5x5x5-Box: Der PolySolver ermittelt 60.672 verschiedene Lösungen, [5] erkennt darin 1264 verschiedene Lösungen (Faktor 48). 

2x5x6-Quader und 3x4x5-Quader aus je 12 Y-Pentominos 

Weitere Informationen:

• [1] http://kociemba.org/themen/125puzzle/5x6x2.html
• [2] http://kociemba.org/themen/125puzzle/4x5x3.html
• [3] http://kociemba.org/themen/125puzzle/4x4x5.html
• [4] http://kociemba.org/themen/125puzzle/5x5x4.html
• [5] https://www.math.uni-bielefeld.de/~sillke/PENTA/qu5-y
• [6] https://cflmath.com/Polyomino/boxes.html 

(Update: 2/2022)

Zahlenlabyrinth

Die folgenden sieben Pentominos sind beidseitig verwendbar und sollen in ein 6x6-Quadrat gelegt werden: I, L, N, P, U, X und Y. Die Pentominos sind aus gelbem Kunststoff (oder auch in einer anderen Farbe) und sollen ein einen recht massiven schwarzen Plastikrahmen untergebracht werden. Dabei bleibt genau ein Elementarquadrat frei. 

Die Elementarquadrate auf dem Spielbrett sind von 1 bis 36 nummeriert, so dass man 36 Aufgabenstellungen vor sich hat, wenn man ein bestimmtes Elementarquadrat frei lassen möchte. Doch wegen der Symmetrie auf dem 6x6-Spielbrett sind es eigentlich nur weniger verschiedene Aufgaben, und zwar nur sechs. 

Und wenn man es sich nicht so kompliziert machen will, bleibt noch die folgende Vereinfachung: Es ist egal, welches Feld frei bleibt. Wir versuchen einfach, die fünf Pentominos unterzubringen und freuen uns über diesen Erfolg. Da wir sozusagen ein „Reservefeld“ zur Verfügung haben, ist es nicht schwer, hierfür eine Lösung zu finden. 

Schwierigkeit: Insgesamt also ein schönes Geduldspiel mit Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen, auch für Anfänger geeignet.

Frage 1: Wieso reduziert sich die Anzahl der Aufgaben unter Berücksichtigung der Symmetrie von 36 auf sechs?

Frage 2: Wie viele Lösungen gibt es für jede der sechs Aufgaben? Hier kann der PolySolver helfen.

Hersteller:  Logika

Google: Zahlenlabyrinth Logika

Shopping: Lieferbar, Preis ca. 10€

Ebene Polyformen (Übersicht)

Dieser Post dient dazu, die Übersicht bei den verschiedenen Polyformen und ihren Namen zu wahren. (Zum Beispiel: Anders als man denken könnte, bestehen Hexiamonds nicht aus Sechsecken.)

Ebene Polyformen

In der Ebene gibt es verschiedene Gitter, die sich aus jeweils gleichen, regelmäßigen N-Ecken zusammensetzen lassen. Das bekannteste ist das quadratische Gitter (N=4), aber es klappt auch mit gleichseitigen Dreiecken (N=3) und regelmäßigen Sechsecken (N=6). 

Ebene Polyformen bestehen jeweils aus mehreren benachbarten Gitterzellen, die jeweils eine gemeinsame Gitterkante haben müssen. Anders ausgedrückt besteht eine Polyform aus mehrere identischen regelmäßigen N-Ecken (N=3,4 oder 6), die jeweils an komplette Kanten gemeinsam haben.

Eine zusätzliche Option besteht darin, ob wir die Polyformen bei einem Geduldspiel wenden dürfen (zweiseitige Polyformen) oder nicht (einseitige Polyformen). Sobald es Polyformen gibt, die nicht spiegelsymmetrisch sind, gibt es mehr einseitige als zweiseitige Polyformen.

Quadratisches Gitter: Polyominos

Polyominos sind eine Verallgemeinerung von Dominos: Ein Polyomino besteht aus mehreren Elementarquadraten, die entlang ganzer Kanten zusammengefügt wurden. Wir sprechen auch von n-Ominos, wenn die betrachteten Polyominos jeweils aus genau n Elementarquadraten bestehen. In Abhängigkeit von n unterscheiden wir die folgenden n-Ominos:

• n=1: Monomino. Es gibt offensichtlich genau ein Monomino in Form eines Elementarquadrates.
n=2: Domino. Es gibt wieder genau ein Domino bestehend aus zwei Elementarquadraten in der klassischen Form.
n=3: Triomino (manchmal auch: Tromino). Es gibt zwei verschiedene Triominos, die wegen ihrer Ähnlichkeit zu den entsprechenden Buchstaben mit I und L bezeichnet werden.
n=4: Tetromino: Die fünf möglichen Tetrominos werden üblicherweise mit den Buchstaben I, L, O, T und Z bezeichnet.
n=5: Pentomino: Die zwölf möglichen Pentominos werden üblicherweise mit den Buchstaben F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y und Z bezeichnet. 
n=6: Hexomino: Es gibt 35 verschiedene Hexominos.
n=7: Heptomino: Es gibt 108 verschiedene Heptominos.
n=8: Oktomino: Es gibt 369 verschiedene Oktominos.

Diese Anzahlen bilden eine Zahlenfolge, und die hat in der Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) die Nummer A000105. Von n=1 bis n=30 geht die Zahlenfolge folgendermaßen:
1, 1, 2, 5, 12, 35, 108, 369, 1285, 4655, 17073, 63600, 238591, 901971, 3426576, 13079255, 50107909, 192622052, 742624232, 2870671950, 11123060678, 43191857688, 168047007728, 654999700403, 2557227044764, 9999088822075, 39153010938487, 153511100594603, ...

Die kompletten Sätze von Heptominos oder Oktominos usw. werden kaum für Geduldspiele verwendet, da die Schwierigkeit, eine von wenigen Lösungen zu finden, extrem steigt. Auch der Computer ist schnell überfordert.

Dreieckgitter: Polyamonds

Analog wie oben bilden wir Polyamonds aus gleichseitigen Dreiecken; n-Iamonds sind Polyamonds aus genau n Dreiecken. Statt Rechtecken kann man diesmal größere gleichseige Dreiecke, Parallelogramme oder Trapeze daraus legen.

Interessant sind vollständige Sätze von n-Iamonds vor allem für n=6 bis n=9:

• n=6: Hexiamond: Es gibt 12 verschiedene Hexiamonds. Damit lassen sich beispielsweise das 4x9- und das 6x6-Parallelogramm füllen.
• n=7: Heptiamond: Es gibt 24 verschiedene Heptiamonds. Damit lassen sich beispielsweise die folgenden Parallelogramme füllen: 7x12, 6x14, 4x21 und 3x28.
• n=8: Oktiamond: Es gibt 66 verschiedene Oktiamonds. Damit lassen sich beispielsweise die folgenden Parallelogramme füllen: 4x66, 6x44, 8x33, 11x24, 12x22.
• n=9: Enneiamonds: Es gibt 160 verschiedene Enneiamonds. 

Auch diese Zahlenfolge findet sich in der Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) und trägt die Nummer A000577. Von n=1 bis n=30 geht die Zahlenfolge folgendermaßen:
1, 1, 1, 3, 4, 12, 24, 66, 160, 448, 1186, 3334, 9235, 26166, 73983, 211297, 604107, 1736328, 5000593, 14448984, 41835738, 121419260, 353045291, 1028452717, 3000800627, 8769216722, 25661961898, 75195166667, 220605519559, 647943626796, ...

Sechseckgitter: Polyhexen

Aus Polyhexen lassen sich oft viele Muster legen, was aber bei einer großen Anzahl von Steinen trotzdem kompliziert sein kann.

Diesen Polyhexen ist ein eigenes Post gewidmet.

Mehr Informationen zu Polyformen:

• http://www.recmath.com/PolyPages/indexD.htm
• http://www.mathematische-basteleien.de/pentominos.htm
• https://demonstrations.wolfram.com/PolyformExplorer/
• http://polyominoes.org/count

Philos Seilpuzzle Nr. 8

Das Seilpuzzle Nr. 8 ist im Aufbau recht ähnlich zum Philos Seilpuzzle Nr. 7. Auf einer Grundplatte steht wieder ein Gerüst, es besteht wieder aus drei Stäben, die diesmal einzeln stehen und durch zwei Reifen verbunden sind. Der längste Stab ist über dem oberen Reifen wieder mit einer Kugel verziert.

Zusätzlich ist auf der Bodenplatte eine lange Schlaufe mit beiden Enden befestigt. Auf dem Doppelseil steckt ein roter Ring, den man aber nicht sofort befreien kann, weil die Schlaufe durch das Gerüst gesteckt wurde. Da das Gerüst völlig unbeweglich ist und der rote Ring nirgendwo durch das Gerüst passt, sind Bewegungen des roten Ringes nicht zielführend. Stattdessen sollte man die Seilschlaufe aus dem Gerüst zu befreien versuchen.

Lösungshinweis: Schnell wird klar, dass die Schlaufe irgendwann über die Kugel ganz oben gehoben werden muss. Aber was muss sonst noch getan werden?

 

Hersteller und Artikelnummer:  Philos 6137
Erscheinungsjahr: 2005

Google: Philos 6137
Shopping: Neu oder gebraucht lieferbar, Preis 5-15€

Serpentiles

Bei Serpentiles sollen geschlossene Pfade aus vorgegebenen Steinen gelegt werden.

Gegeben sind 19 Spielteile in Form von Elementarquadraten oder Dominos mit einseitig aufgedrucktem Pfad. Es gibt Pfadstücken in zwei unterschiedlichen Farben und drei quadratische Spielsteine für Farbwechsel des entsprechenden Pfades. Auf Aufgabenkarten werden 40 Aufgaben in vier verschiedenen Schwierigkeitsstufen gestellt: Die Vorderseite enthält die nötigen Spielsteine, aus denen jeweils ein geschlossener Pfad gebildet werden soll. Löcher im Inneren des Pfades sind erlaubt.

Für jede Aufgabe gibt es genau eine Lösung, und diese ist auf der Rückseite abgebildet. Eigentlich sollte man die Lösung nicht benötigen, denn allzu schwer sind die Aufgaben nicht. Ein Tipp aus eigener Erfahrung: Aufpassen sollte man bei der Auswahl der auf der Aufgabenkarte abgebildeten Steine. Wenn man da daneben greift, muss man sich nicht wundern, wenn man keine Lösung findet.

Hersteller:  Thinkfun

Erscheinungsjahr: 2008

Google: Serpentiles Thinkfun
Shopping: Schwer zu finden, neu z.B. bei www.sloyd.fi, ca. 18€

Gebraucht manchmal bei ebay, Preis ca. 10€

P&L Packing

Eigentlich ganz einfach: In eine Kiste soll mit 5 L-Pentominos und 5 P-Pentominos gefüllt werden. Da beide Pentominos zu den gutmütigen Pentominos gehören, geht es sicher schnell. Okay, es gibt zwei Nebenbedingungen, die es vielleicht etwas komplizierter machen: Die Kiste ist zwei Höheneinheiten hoch, aber die untere Schicht ist von der Größe 5x7 und damit größer als die obere Schicht mit 3x5. Und zugänglich ist die Kiste nur durch eine Öffnung von der Größe der oberen Schicht, die darunterliegende, größere Schicht ist zum Teil im massiven Rahmen versteckt. Und noch eine zusätzliche Herausforderung: Eines der L’s ist an einer Stirnseite mit der Zahl 31 beschriftet (dazu gleich mehr), und diese Zahl 31 soll oben in der Mitte des Geduldspiels herausschauen.

P&L Packing war ein Austauschpuzzle von Grant Smith, hergestellt von Mr. Puzzle Australia zu IPP31 im Jahr 2011. Deshalb die 31 auf dem L-Pentomino.

Wie alle Geduldspiele von Mr. Puzzle Australia ist P&L Packing handwerklich sehr ansprechend, die Pentominos sind aus verschiedenen Hölzern gefertigt. Und der Sinn des dicken Rahmens erschließt sich sofort, wenn man die untere Schicht von erweiterter Größe entdeckt hat. Das Puzzle ist von mittlere Schwierigkeit und von einem Typ, dem man nicht so oft begegnet. Dadurch sollte es viele Freunde finden.

Natürlich erschwert die reduzierte Öffnung das Puzzle erheblich, aber wie ist das mit dem beschrifteten L? Und wie schwierig ist das Puzzle, wenn wir die zweite Bedingung einfach ignorieren? Vielleicht können wir P&L Packing in zwei ebene Geduldspiele zerlegen und jede Schicht einzeln lösen? 

Lösungshinweis 1: Damit die aufgedruckte Zahl 31 nach oben schaut, darf dieses L nicht flach liegen, also ragt (mindestens) ein Elementarwürfel aus der unteren Schicht in die obere. Damit muss auch mindestens ein Stein aus der Oberschicht nach unten reichen. Vielleicht können wir das Puzzle so in zwei Teile zerlegen, dass die Schichten wenigstens fast vollständig getrennt sind.

 

Lösungshinweis 2: Für die Oberschicht gibt es gar nicht so viele Möglichkeiten, wenn nur ein Elementarwürfel (oder wenige) in die Unterschicht reichen sollen und das Mittelfeld für die 31 frei bleiben muss.

 

Lösungshinweis 3: Wenn die 31 oben aus dem Puzzle herausschaut, dann wissen wir, wie das entsprechende L-Pentomino liegen muss. Vielleicht haben wir nach Lösungshinweis 2 eine Idee, wo in der Unterschicht ein Loch bleiben soll. Dann müssen wir die Pentominos nur noch passend anordnen und darauf achten, dass der Rahmen uns das Einfüllen erlaubt.

 

PolySolver-Hilfe: Der PolySolver hilft, aber wir müssen aufpassen: Als Lösungen erhalten wir mögliche Anordnungen der Pentominos, aber keine Garantie, dass wir sie entsprechend dem Bauplan durch die reduzierte Öffnung einfüllen können. Hier benötigen wir andere Software, und zwar BurrTools, aber darauf soll ein andermal eingegangen werden. Aber auch der PolySolver kann uns noch weiter helfen. Hier die dazugehörige PolySolver-Datei.

PolySolver-Info: Beim PolySolver besteht die Option, einzelne Steine an voregebenen Stellen fest zu platzieren. Dies findet man im Menü unter dem Reiter "Place". Wenn wir beim PolySolver das L-Pentomino mit der 31 an der richtigen Stelle befestigen, findet der PolySolver bis auf kleine Unterscheidungen nur eine Lösung. Das wiederum sagt uns, dass es auch die Lösung sein muss, welche durch die reduzierte Öffnung passt.

 

Insgesamt ist die zusätzliche Forderung mit der herausschauenden Zahl 31 also eher eine Hilfe: Die Anzahl der Möglichkeiten wird durch die fixierte Lage des beschrifteten L-Pentominos drastisch reduziert. Das merkt man auch bei der Lösung des Geduldspiels von Hand.

Jetzt bleibt noch die selbst gestellte zweite Aufgabe, die Schichten einzeln zu lösen. Für die kleine obere Schicht gibt es praktisch nur eine Lösung, deshalb verrät auch das Foto oben nicht zu viel. Also wissen wir, welche Steine für die untere Schicht übrig bleiben. Auch hier finden wir schnell mehrere Lösungen, aber problematisch wird es, wenn die Pentominos durch die reduzierte Öffnung eingeführt werden sollen. Hier benötigen wir eine zusätzliche Eigenschaft für die Lösung, mit deren Hilfe man durch einfaches Draufschauen entscheiden lässt, ob sich eine gegebene Lösung für das 5x7-Rechteck durch die reduzierte Öffnung füllen lässt.

Neue, ähnliche Geduldspiele: Praktisch alle Kistenpackprobleme sind mit reduzierter Öffnung möglich. Unter welchen Umständen werden sie durch die reduzierte Öffnung schwieriger (d.h. wann gibt es weniger Lösungen)?

Speziell bei Pentomino-Problemen mit mehreren Schichten sieht man an diesem Beispiel: Die Schichten müssen nicht gleich groß sein.

Design:  Junichi Yananose
Hersteller:  Mr. Puzzle Australia
Erscheinungsjahr: 2011

Google: P&L Packing Mr. Puzzle Australia
Shopping: Kaum lieferbar.

Pik und Herz

Das Geduldspiel besteht aus vier Teilen aus rauchschwarzem Plexiglas, aus denen nacheinander zwei Formen gelegt werden sollen, und zwar die zwei aus dem Kartenspiel bekannten Symbole Pik und Herz (engl. Spade & Heart). Beide Formen sind ähnlich, der größte Unterschied ist der Stiel des Blattes bei Pik. Ohne Stil sind Pik und Herz nach einer Drehung um 180 Grad recht ähnlich. Der Stiel bei Pik muss also irgendwie in die verbleibende herzähnliche Figur „hineinfließen“. Dafür darf man die verbleibenden drei Teile natürlich umlegen, aber dafür sollte es eigentlich gar nicht so viele Möglichkeiten geben.

Dass es für die zwei Figuren Pik und Herz keine Rahmen gibt, erhöht die Schwierigkeit des Geduldspiels ein wenig. Trotzdem ist es nicht zu schwer. Verblüffend ist die Tatsache, dass der keilförmige Stiel tatsächlich in dem Herz verschwinden kann.

Spade & Heart war im Jahr 2008 in der Auswahl der Puzzle Design Competition zu IPP2008 in Prag.

Name im Original: Spade & Heart
Design:  Mineyuki Uyematsu (MINE)

Erscheinungsjahr: 2006

Google: MINE "Spade & Heart" Puzzle
Shopping: Kaum lieferbar.

Mehr Information:

• 2008 Puzzle Design Competition

Tetraeder aus zwei Teilen

Ein Tetraeder soll aus zwei identischen Steinen zusammengesetzt werden. Diese haben als Seitenflächen jeweils zwei gleichseitige Dreiecke, zwei Trapeze und ein Quadrat.

Dieses Geduldspiel wird gegenwärtig von verschiedenen Herstellern und aus verschiedenen Materialien wie Kunststoff oder Holz angeboten, auch unter so vielversprechenden Namen wie Cheops Matches.

Cheops Matches und Double-Pyramide

Schwierigkeit: Die Lösung ist wirklich so einfach, dass wir sie hier abbilden können: Hier im Blog wird einfach von jedem erwartet, dass man es auch ohne Bild sofort herausbekommen hätte. Aber für die frühkindliche Geduldspielbildung ist es durchaus geeignet.

Im Jahr 1940 erhielt Edward T. Johnson das U.S. Patent 2216915 für das Geduldspiel. 

Design:  Edward T. Johnson, 1940
Hersteller: z.B. Pussycat

Google: Double-Pyramide Puzzle

Shopping: Lieferbar, Preis 1-3€

Körper aus mehreren gleichen Teilen (Übersicht)

Es ist wirklich kein Kunststück, einen großen Würfel in acht gleiche Teile zu zerlegen und daraus wieder den großen Würfel zusammenzusetzen. Vermutlich ist Ihnen sofort die Möglichkeit eingefallen, den großen Würfel in acht Würfel der halben Seitenlänge zu zerschneiden. Gibt es noch weitere Möglichkeiten? Jawohl: Wir können den Würfel in acht Scheiben gleicher Dicke schneiden. Aber das sind noch keine Geduldspiele. Gibt es noch andere Möglichkeiten? Ja, auch die gibt es, und man kann daraus Geduldspiele machen. Diese sind dann unterschiedlich schwer und manchmal durchaus verblüffend.

Die einfachsten Körper, die man zerlegen kann, sind Tetraeder und Würfel. Aber auch andere Körper sind möglich. Folgende Zerlegungen gibt es als Geduldspiele, für manche gibt es auch mehrere Möglichkeiten:

• Zerlegung des Tetraeders in zwei kongruente Teile,
• Zerlegung des Tetraeders in drei kongruente Teile,
• Zerlegung des Tetraeders in vier kongruente Teile,
• Zerlegung des Würfels in drei kongruente Teile,
• Zerlegung des Würfels in vier kongruente Teile,
• Zerlegung eines zylinderähnlichen Körpers in vier oder fünf kongruente Teile.

Frage: Können Sie jetzt schon, ohne die Geduldspiele gesehen haben, solche Zerlegungen angeben?

Lösungshinweis: Es wird nicht verlangt, dass die Einzelteile irgendwelche Ähnlichkeit mit dem Ausgangskörper haben. Möglicherweise sind auch nicht-ebene Schnittflächen erlaubt.

 

Bogey Ball

Ein Golfball in Originalgröße besteht aus acht Teilen, die durch verzahnte Schnitte zusammengehalten werden. Dabei wurde natürlich nicht ein echter Golfball zerschnitten, sondern die Kunststoffteile wurden einzeln gefertigt. Die Schnitte sind auch nicht ganz parallel, so dass Verschiebungen jeweils nur in einer von zwei Richtungen möglich sind. Dies verändert das Puzzle aber nicht konzeptionell, so dass das Label parallele Schnitte angebracht ist.  

Qualität: Das Puzzle ist sehr dekorativ und hochwertig. Es ist auf den ersten Blick kaum von einem echten Golfball zu unterscheiden

Schwierigkeit: Einfach, der Golfball bereitet nur wenige Schwierigkeiten.

Hersteller: Upswing

Google: Bogey Ball Puzzle, Bogey Ball Upswing

Shopping: Kaum noch lieferbar, gelegentlich gebraucht bei ebay. Preis ca. 10-20€.

Ei / Les Jeux du Roy

Ein hölzernes Ei mit einer Höhe von ca. 11,5cm ist durch verzahnte Schnitte in sechs Teile zerlegt: Zunächst teilt ein senkrechter Schnitt das Ei in zwei zusammenhängende Teile, danach wird jedes dieser Teile durch zwei weitere „waagerechte“ Schnitte in je drei Teile geteilt.

Qualität: Das Puzzle ist sehr dekorativ und handwerklich hochwertig. Die Sägeschnitte sind dünn und sauber, die Oberfläche ist hell lackiert.

Schwierigkeit: Natürlich bereitet es keinerlei Probleme, das Ei auseinanderzunehmen oder wieder zusammenzusetzen. 

Hersteller und Artikelnummer:  SMIR JR2630

Erscheinungsjahr: ca. 1990er

Shopping: Nicht lieferbar.

Lonpos Cosmic Creature

Zwölf eigenartig geformte, flache Bausteine sollen in einen nahezu rechteckigen Rahmen passender Größe lückenlos untergebracht werden. Die Bausteine stellen die außerirdischen Kreaturen dar, und vielleicht ist das Spielfeld das Raumschiff, in welches sie alle hineingepfercht werden sollen. 

Das Spielfeld befindet sich in einer Kiste mit Deckel, welche außer den Steinen auch noch ein kleines Heft mit 107 Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsgraden gibt. Bei jeder der Aufgaben sind einige Steine bereits auf dem Spielfeld platziert, die restlichen müssen noch eingefügt werden. Die einfachsten Aufgaben starten mit elf vorgegebenen Steinen (okay, das ist nur zum Warmmachen), bei den schwierigsten Aufgaben sind nur zwei Steine vorab platziert. Dazu gibt es die Information, dass es für jede Aufgabe nur genau eine Lösung gibt.

Jetzt wollen wir sehen, was dieses Puzzle mit Polyominos zu tun hat. Entfernt man alle Spielsteine, so sieht man ein rechteckiges Grundmuster der Größe 12x18 mit einigen Ausbuchtungen von jeweils einem Elementarquadrat nach außen oder innen in regelmäßigen Abständen. 

Und wenn man von den abgerundeten Ecken absieht, sind die „außerirdischen“ Spielsteine Polyominos mit einer zusätzlichen, abweichenden Eigenschaft: Einzelne Quadrate können diagonal an eine Ecke angewachsen sein, so dass bei einer Polyform die Elementarquadrate nicht immer an Kanten der Quadrate zusammenhängen müssen, sondern manchmal auch nur an Ecken. Die abgerundete Form der Spielsteine macht es möglich, daraus zusammenhängende Spielsteine zu erzeugen. Im englischen Sprachraum heißen solche Polyominos Rounded oder Bridged, siehe [1]. Sechs der zwölf Spielsteine sind spiegelsymmetrisch, die anderen sechs ändern beim Umwenden ihre Form. Die Spielsteine unterscheiden sich nicht sehr in ihrer Größe, so dass es sogar Lösungen gibt (eine davon ist im Deckel abgebildet) mit jeweils sechs aufrecht nebeneinanderstehenden Polyominos.

Das englischsprachige Begleitheft informiert uns noch, dass das Puzzle ein Ergebnis von 21 Jahre langer Entwicklungsarbeit ist. Dabei werden auch drei ältere Entwicklungsstadien abgebildet. Diese verwendeten nicht nur abweichende Spielsteine, sondern ihre Darstellung als Außerirdische hat sich im Laufe der Zeit auch verbessert. 

Die deutsche Version heißt seit einigen Jahren Lonpos Abstrakt und die Spielsteine repräsentieren Farbkleckse statt Außerirdischer.

Schwierigkeit: Die relative geringe Anzahl von Lösungen bei zwölf Spielsteinen macht das Einpacken aller Spielsteine sehr schwierig. Allerdings enthält das Aufgabenheft genug einfache Aufgaben, so dass wirklich für jeden etwas dabei sein sollte. 

PolySolver-Hilfe: Der PolySolver erlaubt auch Spielsteine, die nur an Ecken zusammenhängen. Damit können wir das Puzzle mit dem PolySolver analysieren: Es werden insgesamt 928 Lösungen gefunden. Wegen der Rechts-Links-Spiegelsymmetrie des Rahmens wird jede Lösung doppelt gezählt. Hier die dazugehörige PolySolver-Datei.

PolySolver-Info:

Hier eine Lösung in der PolySolver-Codierung.

Die Spielsteine sind noch deutlich zu erkennen.

 

Andere Titel: Lonpos Abstrakt, Lonpos QC 600

Hersteller: Lonpos
Erscheinungsjahr: 2010

Google: Lonpos Abstrakt
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 10€

Mehr Information:

[1] http://abarothsworld.com/

T-Teufelei / 54 T Puzzle

Die Aufgabe ist einfach, aber wir müssen mit vielen Steinen arbeiten: 54 identische T-Tetrominos (bestehend aus je vier Elementarwürfeln) sollen in eine 6x6x6-Kiste gepackt werden. 

Schwierigkeit: Das Geduldspiel ist knifflig, obwohl es aus lauter gleichen Bausteinen besteht: Es kommt beim Packen nicht auf die Reihenfolge an. Trotzdem sollte man planvoll vorgehen. Man könnte es schichtenweise versuchen und zunächst eine 1x6x6-Schicht zusammenfügen, um dann sechs solche Schichten übereinander zu legen. Aber das ist leider eine unlösbare Aufgabe. Dass die Idee aber trotzdem nicht ganz falsch ist, sehen Sie bei Bedarf im Lösungshinweis unten.

Handwerkliche Ausführung: Eins der Tetrominos trägt ein rotes Haba-Logo. Die Holzkiste ist für die Steine etwas groß geschnitten. Die T-Tetrominos wurden auf Grund ihrer relativ geringen Größe nicht aus je vier Einzelwürfeln zusammengeklebt, sondern im Ganzen aus einer Leiste mit T-förmigen Querschnitt gesägt. Damit werden Menschen mit hohen handwerklichen Ansprüchen nicht ganz glücklich, aber dies schmälert die Herausforderung als Geduldspiel nicht. 

Lösungshinweis:

Lässt sich eine 2x6x6-Kiste mit 18 T-Stücken füllen?

Der Vollständigkeit halber sollten wir noch darüber nachdenken, ob man Kisten der Größen 3x6x6, 4x6x6, 5x6x6 packen kann. Welche von diesen Aufgaben sind wirklich verschieden?

 

Lösungshinweis:

Hier die Lösung für 2x6x6:

 

Mit den vielen T-Steinen können wir uns auch weitere Aufgaben stellen.

Aufgabe 1: Setzen Sie die folgenden Quader zusammen (siehe die Liste [1] von Michael Reid)!

• aus 12 T-Stücken einen 2x4x6-Quader, 
• aus 18 T-Stücken einen 2x4x9-Quader, 
• aus 18 T-Stücken einen 2x6x6-Quader, 
• aus 18 T-Stücken einen 3x3x8-Quader,
• aus 18 T-Stücken einen 3x4x6-Quader,
• aus 22 T-Stücken einen 2x4x11-Quader, 
• aus 28 T-Stücken einen 2x7x8-Quader, 
• aus 30 T-Stücken einen 2x5x12-Quader, 
• aus 40 T-Stücken einen 2x5x16-Quader, 
• aus 42 T-Stücken einen 2x7x12-Quader,
• aus 50 T-Stücken einen 2x5x20-Quader.

Aufgabe 2: Zeigen Sie, dass sich aus 9 T-Stücken kein 3x3x4-Quader zusammensetzen lässt. 

Englischer Name: 54 T Puzzle
Hersteller:  Haba
Identische Geduldspiele: Solche gab es von verschiedenen Herstellern. Einfache Versionen kommen direkt aus China.

Google: T-Teufelei
Shopping: Schlecht lieferbar, Preis 5-10€.

Mehr Infos:

[1] Michael Reid: cflmath.com/Polyomino

Update: 01/23

Bi-Cycle

Aus 12 Kugeln lässt sich ein Quader der Größe 2x2x3 bilden. Schwieriger wird es, weil einige der Kugeln durch Stäbe verbunden sind: Das Puzzle besteht aus zwei identischen Teilen. 

Jedes davon besteht aus zwei ineinander hängenden Einzelteilen von je drei mit Stäben verbundenen Kugeln. Eines der Einzelteile ist ein gleichseitiges Dreieck, das andere besteht aus drei Kugeln, die nur durch zwei Stäbe im rechten Winkel verbunden sind. Allerdings kann es nicht aus dem Dreieck gelöst werden. Nachdem man eine Weile hilflos mit den beiden Teilen hantiert hat, muss eine Lösungsstrategie her.

Schwierigkeit: Vinco, der Designer des Geduldspiels, vergibt 5/5 Sternen, also sehr schwer. Gutes räumliches Vorstellungsvermögen ist hilfreich, dann ist es nur noch mittelschwer.

Handwerkliche Ausführung: Die Qualität des Geduldspiels ist wie bei allen Vinco-Puzzles exzellent. das fertig montierte Geduldspiel hält stabil zusammen und ist wegen seiner Regelmäßigkeit ein Hingucker.

Maße: 5x5x8 cm 
Durchmesser der Kugeln: 26.7mm

Material: erhältlich in Kirsche oder Pflaume

Lösungshinweis: Überlegen Sie sich, wie die einzelnen Teile liegen könnten. Speziell: Wo befinden sich die Einzelteile in Form der gleichseitigen Dreiecke in dem 2x2x3-Quader?

 

Design und Herstellung:  Vinco

Artikelnummer:  #400

Google: Vinco "Bi-Cycle"
Shopping: Lieferbar im Vinco-Shop, Preis 12-20 €

Gopher Holes / 9-Loch-Puzzle

Das Geduldspiel wurde benannt nach den Löchern, die amerikanische Taschenratten (Gopher) graben. Es ist funktional identisch zu Golf Putting Green. Es ist komplett aus Holz, statt Golfbällen gibt es hölzerne Höcker und eine hölzerne Kiste. Außerdem wird dasselbe Geduldspiel unter dem Namen 9-Loch-Puzzle bzw. Golf Puzzle vertrieben. Im Unterschied zu Golf Putting Green ist es noch erhältlich.

Etwas Hilfe zur Lösung finden Sie unter Golf Putting Green. Die sechs Bretter haben insgesamt fünf Löcher und 13 Höcker und sind völlig identisch zu Golf Putting Green.

Google: 9-Loch-Puzzle, Golf Puzzle Holz, Gopher Holes Stacking Puzzle

Shopping: Lieferbar, Preis je nach Qualität und Anbieter zwischen 10€ und 20€.

Golf Putting Green – Stacking Puzzle

Das Geduldspiel zum Thema Golf besteht abgesehen von der Bodenplatte und der Deckplatte der Größe 3x3 aus sechs Brettern der Größe 3x1, die in zwei Lagen übereinander angeordnet werden sollen Die Bretter in beiden Lagen sollen zusätzlich senkrecht aufeinander liegen. Jedes Elementarquadrat der Größe 1x1 kann zusätzlich auf jeder Seite mit einem Höcker bestückt sein oder als Gegenstück ein Loch enthalten. Die Bretter liegen nur dann passend aufeinander, wenn der Höcker eines Bretts auf ein Loch des darüberliegenden oder darunterliegenden Brettes liegt. Damit unser fertiger Stapel ohne zu Wackeln auf dem Tisch liegt, gibt es für das Geduldspiel noch je eine Bodenplatte und eine Deckplatte mit je neun Löchern. Die Höcker erinnern an kleine Golfbälle, die zur Hälfte im grünen Gras, d.h. den grünen Plastikbrettern, versunken sind.

Die sechs Bretter tragen 13 Höcker und haben fünf durchgehende Löcher, in die je ein Höcker passt, egal von welcher Seite. Wenn man ein wenig herumprobiert, kann man relativ schnell eine Lösung finden. Dafür gibt es zwei Gründe: Einmal ist die Gesamtzahl der zu untersuchenden Möglichkeiten gar nicht so groß, wie die nachfolgende Analyse zeigt. Und dann gibt es noch eine Erkenntnis, die im Lösungshinweis zu finden ist.

Analyse: Wir zählen die Gesamtzahl der zu untersuchende Möglichkeiten folgendermaßen: Wir legen die sechs Bretter in einer festen Reihenfolge und Orientierung vor uns hin und versuchen dann, aus den Brettern in der gegebenen Reihenfolge und Orientierung den Stapel zu bauen.

Für die Reihenfolge der sechs Bretter gibt nur 6!/2=360 Möglichkeiten, da zwei der Bretter identisch sind. Und jedes Brett können wir auf vier Arten verbauen: Wir können oben und unten vertauschen sowie das Brett in der Ebene um 180 Grad drehen. Das ergibt noch einmal 4⁶=4096 Möglichkeiten. Doch halt, wir müssen noch beachten, dass zwei der Bretter sich bei jeweils einer der Drehungen nicht ändern. Außerdem können wir noch den ganzen Stapel um 180 Grad in der Ebene drehen und auf den Kopf stellen, dass verringert die Gesamtanzahl der zu untersuchenden Kombinationen noch einmal um den Faktor 4. Es bleiben 6!/2 * 4⁴ = 92.160 zu untersuchende Möglichkeiten. Das ist nicht viel verglichen mit anderen Geduldspiels, speziell da man viele Möglichkeiten schnell ausschließen kann, wenn die Bretter an einer Stelle nicht aufeinander passen.

Frage: Da beim mehrmaligen Lösen des Geduldspiels jeweils dieselbe Lösung entsteht, scheint es nur eine Lösung zu geben. Wie kann man das beweisen?

Bemerkung: Das ist übrigens nicht das einzige Geduldspiel zum Thema Golf, siehe z.B. Bogey Ball (Post erscheint am 20.1.21).

Lösungshinweis: Die sechs Bretter verfügen insgesamt über fünf Löcher. Sie besitzen weiterhin 13 Höcker, von denen also nur maximal fünf in den inneren Löchern liegen können, die anderen müssen in Grund- oder Deckplatte verschwinden. Drei der Bretter haben jeweils oben und unten genau einen Höcker, diese benötigen also schon drei der fünf inneren Löcher. Zwei weitere Bretter besitzen auf der einen Seite ein und der anderen Seite zwei Höcker. Da wir nur noch zwei innere Löcher übrig haben, kennen wir die Orientierung bezüglich oben/unten für diese Bretter schon: Die Bretter müssen mit jeweils zwei Höckern in der Grund- bzw. Deckplatte liegen. Und da jetzt alle fünf inneren Löcher ausgefüllt sind, muss der einzelne Höcker des letzten Brettes ebenfalls in die Grund- oder Deckplatte. Dadurch verringert sich die Anzahl der Möglichkeiten noch einmal um den Faktor acht.

 

Design:  klassisch
Hersteller:  Binary Arts
Erscheinungsjahr: 1998

Google: Golf Putting Green Stacking Puzzle
Shopping: Schwer lieferbar, Preis ca. 10€

Osterinsel-Dominos

Dies ist das Austauschpuzzle von Pavel Curtis auf der 27. Internationalen Puzzle Party im Jahr 2007 in Australien.

Zwölf Dominosteine sollen in einen 4x6-Rahmen gepackt werden. Die Dominosteine sind aus klarem Plexiglas und können also gewendet werden. An jedem Teilquadrat eines Dominos ist eine der drei äußeren Kanten abgeschrägt, damit die Dominos nicht einfach so aneinanderpassen.  Es gibt genau 12 verschiedene solche Dominos, und diese werden alle für das Geduldspiel verwendet. Aus diesen lässt sich allerdings kein 4x6-Rechteck mit glattem Rand legen, deshalb sind im Rahmen die notwendigen Aussparungen als Hilfe angegeben.

Einschätzung: Ein konzeptionell schönes Geduldspiel, da alle entsprechend den Regeln möglichen Dominos für das Geduldspiel verwendet werden. (Für Theoretiker: Beweisen Sie die Aussage, dass es genau 12 solche Dominos gibt!)

Schwierigkeit: Zwölf solche Dominos machen das Geduldspiel recht schwierig. Trotzdem wird die Schwierigkeit nur mit 3/5 (challenging) angegeben.

Wem das noch zu leicht erscheint, für den gibt es noch die folgenden drei Zusatzaufgaben. Eine von Ihnen gefundene Lösung hat möglicherweise die folgenden beiden Mängel:

Mangel A: Sie enthält ein perfektes 2x2-Quadrat (wie links unten im Bild).
Mangel B: Sie enthält eine gerade Bruchlinie (ohne Zacken), welche das gelöste Geduldspiel in zwei Tele teilt, entweder senkrecht oder waagerecht.

Die drei Zusatzaufgaben sind:

1. Gesucht ist eine Lösung ohne Mangel A.
2. Gesucht ist eine Lösung ohne Mangel B.

3. Gesucht ist eine Lösung, die weder mit Mangel A noch mit Mangel B behaftet ist.

PolySolver-Info: Wie lässt sich das Geduldspiel mit vorhandener Software wie dem PolySolver, lösen? Hier die dazugehörige PolySolver-Datei. Die schrägen Kanten müssen mit Elementarquadraten modelliert werden. Stellt man sich die abgeschrägten Kanten in einem Winkel von 45 Grad vor (das Geduldspiel wird dadurch nicht verändert, nur einer der Steine droht in der Mitte auseinanderzubrechen), dann kann man die Dominosteine durch Rechtecke der Größe 2x4 darstellen und bei den abgeschrägten Kanten zwei Elementarquadrate austauschen. Danach hat man ein äquivalentes Geduldspiel aus Polyquadraten

PolySolver-Info:

Der PolySolver berechnet blitzartig die im Begleittext versprochenen 250 Lösungen. Hier eine der Lösungen.

Sie soll hier angezeigt werden, weil sie sehr abstrakt aussieht und sich optisch stark von den tatsächlichen Formen unterscheidet. Trotzdem deutlich sichtbar sind die oben genannten Mängel A (links unten) und B (waagerecht). Interessant ist auch der in der Mitte nur an einem Punkt zusammenhängende rote Stein rechts unten: Wir vermuten sofort, dass der PolySolver auch mit nichtzusammenhängenden Steinen arbeiten kann. Ein sehr interessantes Feature, dass in der Beschreibung nicht erwähnt wird.

 

Englischer Titel: Easter Island Dominoes

Design:  Pavel Curtis
Hersteller: Joe Pelonio
Erscheinungsjahr: 2007

Google: "Easter Island Dominoes"
Shopping: Im Ausland lieferbar, Preis ca. 30€

Quadromino

Gegeben sind neun quadratische Kacheln. Auf der Oberseite befinden sich in machen Ecken ein roter Punkt. Die neun Quadrate sollen so zu einem 3x3-Quadrat zusammengesetzt werden, dass an den Kanten jeweils Paare roter Punkte gegenüberliegen. Damit liegen Kantenstücken ohne solche Punkte automatische andere Kantenstücken ohne Punkte gegenüber. Auch wenn diese Beschreibung an ein Edge-Matching-Puzzle erinnert, handelt es sich doch um ein Corner-Matching-Puzzle: Ein Punkt in einer Ecke sorgt dafür, dass alle vier in dieser Ecke zusammenstoßenden Quadrate einen Punkt tragen müssen. In dem zu legenden 3x3-Quadrat gibt es die vier Ecken des inneren Quadrates, die so funktionieren.

Von den neun Quadraten des Geduldspiels tragen je eines null bzw. vier Punkte. Zwei Quadrate tragen je einen bzw. drei Punkte. Und drei Quadrate tragen jeweils zwei Punkte, zwei davon nebeneinander und einer diagonal. Diese Menge von Kacheln ist symmetrisch in der Lage der Punkte und der freien Positionen: Tauscht man Punkte gegen freie Positionen, so erhält man wieder dieselbe Menge von Steinen.

Schwierigkeit: Das Geduldspiel ist durchaus nach einigen Versuchen lösbar. 

PolySolver-Info: Für die automatische Unterstützung durch den PolySolver muss man die farbliche Kodierung einer Ecke in ein Muster für die benachbarten Kanten übertragen, damit sich der PolySolver anwenden lässt. Das lässt sich mit Kacheln der Größe 6x6 realisieren, die jeweils ein Loch der Größe 2x2 in der Mitte haben und als Rand ein (nicht notwendig zusammenhängendes) Muster aus Elementarquadraten. Das folgende Bild zeigt die zwei Steine am linken Rand aus dem Bild oben in der PolySolver-Kodierung. Der Rahmen hat Löcher an den Stellen passend zur Lage der neun Steine, so dass der PolySolver nur Steine an die erlaubten Plätze legen kann. Anderenfalls wären auch Verschiebungen um einzelne Elementarquadrate möglich. Hier die dazugehörige PolySolver-Datei.

Frage: Wieso können das völlig leere Quadrat und das Quadrat mit den vier Punkten niemals zusammenstoßen? Oder anders formuliert: Kann das völlig leere Quadrat in der Mitte liegen? Oder das Quadrat mit den vier Punkten?

Zusatzaufgaben: Statt des 3x3-Quadrates lässt sich auch die folgenden Spielfelder aus neun Elementarquadraten entsprechend der gegebenen Regeln füllen.

DIY-Tipp: Einfach selbst herzustellen aus neun quadratischen Kacheln (Holz oder Pappe) und einigen einfarbigen Klebepunkten.

Lösungshinweis: Die Einschränkung durch das Corner-Matching wirkt in voller Stärke nur am den zentralen vier Kreuzungspunkten, weniger an den Kantenschnittpunkten am Rand (weil hier nur zwei Steine aufeinandertreffen) und gar nicht an den äußeren Ecken. Dadurch bleibt relativ viel Freiheit und es entsteht eine große Anzahl Lösungen. Mit der Lösung geht man deshalb am besten von Innen nach außen vor: Zuerst das Mittelteil, ann die Außenkanten, zum Schluss die Ecken.

 

Hersteller und Artikelnummer:  Haba 2453

Google: Haba Quadromino

Shopping: Gebraucht bei ebay, Preis ca. 5€

Tetraeder im Würfel

In einem würfelförmigen Käfig mit Bodenplatte und eng stehenden Gitterstäben an den Seiten befindet sich ein regelmäßiges Tetraeder. Der Käfig hat oben eine relativ große quadratische Öffnung, aber so ohne weiteres passt das Tetraeder dort auch nicht hindurch. Wie kann das Tetraeder befreit werden?

Analyse: Das kleine Holzpuzzle verlangt keine aufwändigen Schritte zur Manipulation des gefangenen Tetraeders, sondern eher etwas mathematisches Grundwissen.

Komplikation: Mit Hilfe von 3D-Druck könnte man das Puzzle ein wenig abwandeln und dadurch verkomplizieren, dass man statt eines regelmäßigen Tetraeders ein leicht unregelmäßiges Tetraeder verwendet, so dass vier der sechs Kanten ein wenig länger sind als üblich. Auch von der quadratischen Form der Öffnung könnte man minimal abweichen. Vielleicht gibt es später dazu nochmal einen Extra-Post.

Lösungshinweis 1: Auf welche Art kann ein möglichst großes regelmäßiges Tetraeder in einen Würfel gepackt werden? Vielleicht ist dies ja die Lage, in der das Tetraeder gerade noch durch die quadratische Öffnung passt.

 

Lösungshinweis 2: Hier noch ein unkommentierter Link zu der Kugelpyramide im Acrylwürfel.

 

Google: "pyramid in cube cage"

Shopping: Momentan erhältlich bei AliExpress für etwa 4€.

Ein ähnliches Geduldspiel gibt es bei Creative Crafthouse für ca. 13US$. Zwar ist bei gleichem Aussehen nicht klar, ob es sich um das gleiche Geduldspiel handelt, aber der Begleittext legt dies nahe.

Unlösbar: Ein 6x6-Quadrat mit T-Stücken überdecken

Hier die Aufgabe: Ein 6x6-Quadrat ist völlig mit T-Tetrominos überdecken.

Man kann eine ganze Weile mit neun T-Tetrominos herumprobieren, aber es klappt nicht. Das ist natürlich kein Beweis für die Unlösbarkeit.

Alternativ kann man die Aufgabe mit Software wie dem PolySolver lösen lassen.  Auch hier wird keine Lösung gefunden. Wenn wir der Software vertrauen, dann können wir das als Unmöglichkeitsbeweis akzeptieren, denn mittels vollständiger Fallunterscheidung wurden alle verschiedenen Möglichkeiten durchprobiert. Aber solch ein Beweis mittels vollständiger Fallunterscheidung ist immer etwas unbefriedigend und man fragt sich, ob es nicht einen mathematisch ansprechenden Beweis gibt.

Ja, hier ist der Unmöglichkeitsbeweis.

Auch hier ist es eine gute Idee, das 6x6-Quadrat wie ein (kleineres) Schachbrett einzufärben, es besteht dann aus jeweils 18 weißen und 18 schwarzen Feldern. Jedes verwendete T-Stück besteht aus vier Feldern, und zwar entweder aus drei schwarzen und einem weißen Feld, oder umgekehrt. Auf jeden Fall besteht jedes T-Stück aus einer ungeraden Anzahl schwarzer Felder und einer ungeraden Anzahl weißer Felder. Zur Überdeckung des großen Quadrates aus 36 Feldern benötigen wir 9 T-Stücke, schon wieder eine ungerade Anzahl. Egal wie man sie anordnet, überdecken eine ungerade Anzahl T-Stücken auch immer eine ungerade Anzahl weißer (und ebenso schwarzer) Felder. Damit können die zu überdeckenden 18 weißen Felder niemals mit 9 T-Stücken überdeckt werden. 

Lösbare Aufgabe: Schaffen Sie es, wenigstens acht statt neun T-Tetrominos im 6x6-Quadrat unterzubringen? Falls diese Aufgabe immer noch schwierig erscheint, hier noch eine "halb so schwere" Aufgabe: Packen Sie vier T-Tetrominos in ein 3x6-Rechteck. Das ist extrem einfach und hilft auch, das 6x6-Rechteck mit acht T-Stücken zu packen.

Cheese Puzzle

Insgesamt zehn Scheiben Schweizer Käse von gleicher äußerer Form sollen übereinandergelegt werden, so dass sich insgesamt ein Käse in Form eines Tortenstücks ergibt. Statt aus Käse sind die Scheiben aus massivem gelben Kunststoff und aufeinanderliegende Scheiben müssen an insgesamt 13 Positionen übereinstimmen, damit alles passt. 

Wegen Ihrer dreieckigen Form kann man die Scheiben nur in ihrer Reihenfolge vertauschen und um 180 Grad wenden. Das ergibt insgesamt 10!*2⁹= 1.857.945.600 Möglichkeiten der Anordnung für die 10 Scheiben. Die eine scheinbar fehlende Zweierpotenz folgt daraus, dass es zu jeder Lösung auch den umgedrehten Käsestapel als Lösung gibt.

Damit zwei Käsescheiben übereinander liegen können, müssen mehrere Kriterien erfüllt sein:

• Der Käse ist an drei Stellen nach oben oder unten gewellt. Diese Wellen müssen zusammenpassen.
• Am Rand gibt es halbrunde Aussparungen, halbrunde Erhöhungen oder glatten Rand an sechs Positionen an den langen Kanten. Diese müssen bei übereinanderliegenden Scheiben zusammenpassen. Wenn auf eine Erhöhung eine Aussparung trifft, dann passt dies perfekt. Außerdem erlaubt ist das Aufeinandertreffen zweier halbrunder Aussparungen, dann ergibt dich ein rundes Loch an der Schnittfläche unseres Käsestücks. Halbe Löcher im Käse sind wie bei richtigem Schweizer Käse nicht erlaubt.
• Schließlich gibt es um Inneren jeder Käsescheibe noch drei Positionen, an denen sich ein halbes Loch befinden kann. Auch hier müssen beim Übereinanderlegen jeweils zwei halbe Löcher ein ganzes ergeben. 

Das Käse-Puzzle ist aus mehreren Gründen gut gelungen: Es ist von der Schwierigkeit her lösbar, und man kann die Lösung in Teilaufgaben zerlegen. Beispielsweise erst die Scheiben in eine stabile Reihenfolge bringen, so dass die Wellen in den Scheiben zueinander passen. Und dann kann man überlegen, wie man durch Vertauschungen halbe Löcher im Käse los wird. Oder man beginnt mit weniger als Scheiben und hat so ein einfacheres Puzzle.

Diese Geduldspiel ist nicht das einzige Geduldspiel zum Thema Käse (siehe z.B. Alles Käse und Quattro Formaggi), aber wahrscheinlich ist hier das Thema am besten umgesetzt.

Hersteller:  Beverly

Google: Beverly "Cheese Puzzle"

Shopping: Lieferbar aus von Beverly aus Japan, sonst schwierig, Preis 10-15€

IcoSoKu

IcoSoKu ist ein Corner-Matching-Puzzle. Dies bedeutet, dass die zu erfüllenden Kriterien nicht (wie oft) an den Kanten, sondern an den benachbarten Ecken erfüllt sein müssen. Zusätzlich werden die fünfeckigen Steine nicht auf einem Gitter in der Ebene angeordnet, sondern auf der Oberfläche eines Ikosaeders. Dort treffen immer fünf Steine in einer Ecke zusammen.

Dieses Plastikpuzzle besteht aus einem blauen Ikosaeder von rund 12cm Durchmesser, auf den mehrere Steine gesteckt werden müssen: Zunächst gib es zwölf gelbe Stifte mit den Zahlen 1-12 für die zwölf Ecken des Ikosaeders. Diese müssen zuerst in einer beliebigen Reihenfolge angesteckt werden. Dann wird es knifflig: Für die 20 Seitenflächen gibt es dreieckige weiße Steine, die in jeder Ecke keinen, einen, zwei oder drei Punkte enthalten. Diese sind nun so auf dem Ikosaeder anzubringen, dass in jeder Ecke die Anzahl der Punkte auf den angrenzenden fünf Steinen gleich der Zahl auf dem Stift in der entsprechenden Ecke ist. Dazu gibt es noch eine gute Nachricht: Egal, wie im ersten Schritt die gelben Stifte auf das Ikosaeder gesteckt wurden, gibt es immer mindestens eine Lösung für die weißen Dreiecke.

Einschätzung: Das Geduldspiel ist nicht besonders schwierig, aber bei einer Wiederholung auch nicht besonders abwechslungsreich, auch wenn man die gelben Stifte anders verteilt. Leider gibt es keine Informationen über die Schwierigkeit des Geduldspiels bei verschiedenen Anordnungen der gelben Stifte. 

Frage: Welche Anordnung der gelben Stifte hat die wenigsten Lösungen? Dies sollte das schwierigste Geduldspiel sein.

Lösungshinweis: Wenn man in der Umgebung der gelben Stifte mit den kleinen Zahlen (1,2,..) oder der großen Zahlen (12, 11, ..) beginnt, gibt es vergleichsweise wenig Möglichkeiten für benachbarte weiße Dreiecke.

 

Einfachere Version: IcoSoKu Junior
Hersteller:  Recent Toys
Erscheinungsjahr: ca. 2011

Google: IcoSoKu
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 20€

Mehr Informationen 

• Ein JavaScript-Programm zur Lösung und etwas Analyse gibt es auf www.nearly42.org.