Dieses Haus Nr. 3 ist aus den gleichen Teilen gebaut als das 3x3x3 Haus Nr.2. Die Gaube auf einer Dachseite ist aus technischer Sicht ein Stein wie and den Außenseiten des Dachfirstes.
Schwierigkeit: Durch die Bilder an den Außenseiten wird die Lage und Orientierung fast jedes Steines vorgegeben und wir haben einen fast kompletten 3x3x3-Würfel vor uns.
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Dieses Haus ist etwas komplizierter gebaut als das 3x3x3 Haus Nr.1. Die Gaube auf einer Dachseite ist aus technischer Sicht ein Stein wie and den Außenseiten des Dachfirstes. Mehr Schwierigkeiten bereitet die Bebilderung der Außenseiten des Hauses.
Schwierigkeit: Durch die Bilder an den Außenseiten wird die Lage und Orientierung fast jedes Steines vorgegeben und wir haben einen fast kompletten 3x3x3-Würfel vor uns.
Google: Calvin’s House Cube
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Leichte Formveränderung der Steine des 3x3x3-Zauberwürfels kann man natürlich auch so vornehmen, dass die Form eines einfachen Hauses entsteht. Dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten, die sich fast nur optisch unterscheiden. Das hier abgebildete Haus ist völlig einfarbig, nur die Steine des Daches haben eine andere Form. Es gibt insgesamt zwei Arten von Ecken (je 4 Stück) und drei Arten von Kanten (8, bzw. 2x2 Stück). Bei den Dachsteinen mit abgeschrägten Flächen ist zusätzlich auf die Orientierung zu achten.
Schwierigkeit: Es handelt sich um einen vereinfachten 3x3x3-Würfel. Man sollte eine Lösungsstrategie für den normalen 3x3x3-Würfel kennen, dann ist die Lösung kein Problem.
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In dieser klassischen Form besteht das Geduldspiel aus sechs identischen Teilen, die zu einem Knoten (d.h. einem räumlichen Kreuz) zusammengefügt werden sollen. In dem zusammengebauten Knoten befinden sich keinerlei Hohlräume mehr, so dass es auch unmöglich ist, ein einzelnes Einzelteil zu bewegen.
In der Mitte besitzt jedes Teil eine nach innen gerichtete quadratische Pyramide, deren Höhe gleich der halben Seitenlänge der Grundfläche ist. Sechs solche Pyramiden stoßen im zusammengebauten Zustand aneinander und bilden einen kleinen Würfel.
Lösungshinweis: Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, das Puzzle auseinanderzunehmen bzw. zusammenzubauen. Ein Verfahren zum Lösen der Einzelteile ist simultane Bewegung: Dazu müssen Sie alle sechs Einzelteile simultan nach außen ziehen. Dadurch öffnet sich der Knoten langsam, bis er plötzlich komplett auseinanderfällt. Eine zweite Möglichkeit besteht darin, den Knoten in zwei Teile, bestehend aus je drei Einzelteilen, auseinanderzuziehen. Speziell für den Zusammenbau ist die zweite Version viel einfacher, da sich die zwei zusammenzufügenden Teile sehr gut in zwei Händen halten lassen.
Der diagonale Knoten ist eins der klassischen Puzzles, das es in unzähligen Varianten und auch in abgewandelter Form der Einzelteile gibt. Anders als bei den meisten Knoten liegen die parallelen Bausteine nicht Fläche an Fläche, sondern sind um 45 Grad gedreht, so dass sie Kante an Kante liegen. Es gibt auch diagonale Knoten, deren äußere Form würfelähnlich oder zu runder Formen verändert wurde. Auf die Lösung hat dies keinen Einfluss. Im zusammengebauten Zustand sind die verschiedenen Mechanismen diagonaler Knoten praktisch nicht zu unterscheiden, dazu muss man den genauen Aufbau der Einzelteile sehen.
Entsprechend der Lage der Steine sind die Einkerbungen auch nicht rechtwinklig, sondern „diagonal“. Wir sehen also viele 45-Grad-Winkel statt rechtwinkliger Aussparungen.
Die folgenden Fotos zeigen die Steine für diagonale Knoten aus jeweils sechs Teilen, wobei diese sechs Teile gleich (links) oder verschieden (rechts) sein können.
Schwierigkeit: Wer einen diagonalen Knoten zum ersten Mal zusammenbauen soll, hat aber in jedem Fall Probleme. Aber auch für Fortgeschrittene gibt es herausfordernde Geduldspiele mit unterschiedlichen und ungewöhnlich geformten Teilen.
Handwerkliche Qualität: Es gibt diese Geduldspiele in recht unterschiedlicher Qualität: Sind die Einzelteile sorgfältig und mit nur kleiner Toleranz gefertigt, ist der zusammengebaute Knoten recht stabil. Im Falle größerer Toleranzen erscheint der zusammengebaute Knoten wackelig und fällt schnell auseinander.
Historisches: Erste Patente in den USA gab es 1888 für einen diagonalen Knoten mit Schlüsselstein (Chandler, Pat.-Nr. 393816) und 1905 für eine Variante aus identischen Steinen (Ford, Pat.-Nr. 779121).
Mehr Info:
Sehr schön, dekorativ und extrem schwer: 36 afrikanische Tiere aus Zinn, vom Elefanten über den Löwen bis zum Vogel Strauß müssen in einen hölzernen Rahmen gepackt werden, der als Umriss den Kontinent Afrika hat.
Das Puzzle befindet sich in einer flachen, quadratischen Holzschachtel von ca. 23 cm Seitenlänge. Dazu gibt es eine Halskette, an der fast jedes der Tiere befestigt werden kann. Damit ist das African Puzzle gleichzeitig eine gut gefüllte Schmuckschatulle.
Schwierigkeit: Zwar geben die Umrisse des Kontinents einige Hinweise für Tiere am Rand, aber die große Anzahl der Tiere macht das Geduldspiel extrem schwer. Einfach zu finden ist nur die Lemure, sie füllt Madagaskar völlig aus. Auch sind die Ränder der Tiere oft abgerundet, dass nicht immer ganz klar ist, ob zwei Tiere benachbart sind. Zur Sicherheit wird im Begleitheft die Lösung mitgeliefert.
Design: Paul Gibbs, Anthony PrischlDie Schiebespiele mit quadratischen Steinen auf einem Zylinder sehen vielleicht komplizierter aus als Geduldspiel mit ebener Spielfläche, sind es aber nicht. Die verschiebbaren Quadrate sollen in senkrechten Spalten des Zylinders einfarbig angeordnet werden.
Die waagerechten Scheiben des Zylinders sind drehbar, dabei werden immer alle Steine einer Scheibe um eine Spalte weiterverschoben. Zusätzlich gibt es ein Leerfeld, damit immer in einer Spalte auch Bewegungen nach oben und unten möglich sind. Dabei bewegt sich auch das Leerfeld entsprechend nach unten oder oben. Bei einer Drehung der entsprechenden Scheibe wird das Leerfeld in eine andere Spalte verschoben, so dass das Leerfeld jede Position erreichen kann.
Verschiedene Geduldspiele unterscheiden sich in der Anzahl von Spalten und der Anzahl der Scheiben. Durch größere Anzahlen entstehen keine zusätzlichen Probleme bei der Lösung, die einzelnen Lösungsschritte sind nur öfter zu wiederholen.
Ähnliche Geduldspiele: Mit Kugeln statt Steinen, Parkplatz und Farbverlauf. Siehe beispielsweise den Varikon Tower.
Design: klassisch
Cast Ring II ist (wie der Name schon sagt) der zweite Puzzlering der Firma Hanayama. Er ist wieder größer als ein gewöhnliches Schmuckstück und hat einen Innendurchmesser von 30mm.
Der Ring besteht aus fünf Bändern, auf dem mittleren Ring ist ein Siegel angebracht. Um den Verlauf der Bänder zu erkennen, ist wieder ein Blick von innen angebracht.
Die topologische Struktur ist diesmal anders als bei Cast Ring: Die drei inneren Bänder hängen alle ineinander, die äußeren Bänder jeweils nur mit ihren Nachbarn:
Schwierigkeit: Hanayama vergibt eine als Schwierigkeit 5/6 also sehr schwer, bei Cast Ring war es nur 4/6. Dies gilt wieder nur das Zusammensetzen des Rings aus den Einzelteilen. Sobald man den Ring (ohne die Sicherungsstreifen) bewegt, fällt er auseinander und man verliert die Übersicht. Danach muss die originale Lage der einzelnen Bänder rekonstruiert werden, wobei die ineinander hängenden Ringe sich leider nicht immer wie gewünscht bewegen lassen.
Design: Jose Grant / Nob Yoshigahara
Hersteller: Hanayama
Erscheinungsjahr: 2004
Auch diesmal sind vier Steine aus insgesamt 27 Elementarwürfeln den für die Serie üblichen 3x3x3-Korb zu packen. Diesmal werden im Korb deshalb keine Lücken bleiben.
Der Henkel über dem Korb schränkt die möglichen Bewegungen der Steine wie üblich ein.
Die Steine bestehen aus 9, 7, 6 bzw. 5 Elementarwürfeln. Man sollte solche Geduldspiele erst außerhalb des Körbchens zu einem 3x3x3-Würfel zusammenpacken und danach überlegen, wie man sie in das Körbchen bringt.
Schwierigkeit: Die erste Teilaufgabe ist wie immer lösbar für mithelfende Kinder, aber der zweite Schritt ist anders als sonst: Da es im Inneren keine Hohlräume gibt, sind die Bewegungen der Steine eingeschränkter als sonst. Das hat zur Folge, dass man hier die Steine nicht wie sonst nacheinander einfüllen kann.
Design: Akaki Kuumeri
Diesmal sind vier Steine aus insgesamt 23 Elementarwürfeln den für die Serie üblichen 3x3x3-Korb zu packen.
Wie immer schränkt der Henkel über dem Korb die möglichen Bewegungen der Steine ein, und zum Schluss soll der Korb oben bedeckt sein, die fehlenden Elementarwürfel sich also in den unteren Etagen verstecken.
Die Steine bestehen aus 7, 6, 6 bzw. 4 Elementarwürfeln. Man sollte solche Geduldspiele erst außerhalb des Körbchens zu einem 3x3x3-Würfel (mit Löchern) zusammenpacken und danach überlegen, wie man sie nacheinander in das Körbchen bringt.
Schwierigkeit: Die erste Teilaufgabe ist lösbar für mithelfende Kinder, aber der zweite Schritt ist etwas komplizierter. Es sind Rotationen nötig, und diese sind diesmal sehr elegant.
Achtung: Das Design der Akaki Mushroom Basket Puzzles ist teilweise noch Work in Progress: Gelegentlich wird die Form der Steine minimal geändert, um zusätzliche Lösungen auszuschließen. Vergleichen Sie ggf. die aktuelle Form der Steine mit der Abbildung oben.
Design: Akaki Kuumeri
Erscheinungsjahr: 2021
Kategorie: Boss Puzzle / 15er Spiel
Nur zwei Steine beim 15er-Spiel zu vertauschen, konnte als unlösbar gezeigt werden. Aber manchmal stellen sich unlösbare Probleme doch als lösbar heraus. Das ist dann kein Widerspruch zur Logik der Mathematik, sondern es wird ein wenig geschummelt oder die Regeln werden etwas großzügig ausgelegt. Und man kann darüber streiten, ob dies erlaubt war.
Die erste Lösung ist relativ einfach und nur mit Schummeln möglich: Wir nehmen irgendwann in einer unübersichtlichen Situation die Steine mit den Ziffern 6 und 9 heraus und drehen sie um, so dass aus der 6 eine 9 wird und umgekehrt. Dabei ändern wir nicht die Position der Steine.
Der Einfachheit halber wollen wir das bei dem 14-15-Puzzle auf dem Foto gleich zu Beginn machen:
Wenn das nicht aufgefallen ist, können wir das Geduldspiel jetzt bis zum Ende lösen. Wir haben bei unserer Schummelei die Ziffern 6 und 9 vertauscht und sollen zusätzlich die 14 und 15 vertauschen. Zwei Vertauschungen statt nur einer sind aber mathematisch möglich und das Geduldspiel wird lösbar. Zum Schluss darf allerdings niemand bemerken, dass die Steine mit den Ziffern 6 und 9 plötzlich auf dem Kopf stehen. Genau aus diesem Grund sind 6 und 9 ja gewöhnlich mit einem Punkt markiert, der sich immer unten rechts befinden sollte.
Lösung 2:
Die zweite Lösung ist viel eleganter, setzt aber voraus, dass unsere Steine nicht quadratisch, sondern rund sind. Solche Geduldspiele gab es wirklich:
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| Foto: Jim Storer's puzzle page |
Die "Lösung" funktioniert hier folgendermaßen: Wenn man die runden Steine eine Weile lang entsprechend der Regeln umherschiebt, werden viele der Steine nicht mehr aufrecht, sondern verdreht in der Kiste liegen. Jetzt kommt der Trick: Wir drehen die ganze Kiste um 90 Grad im Uhrzeigersinn und sortieren erst dann die Steine in die "richtige" Reihenfolge. Durch die Drehung kommen die Steine nicht an ihre Ausgangsposition, sondern die 1 kommt beispielsweise an die Ausgangsposition der 13. Insgesamt wird dadurch das Geduldspiel lösbar. Natürlich drehen wir dabei die Steine noch etwas, dass sie zum Schluss alle wieder einigermaßen aufrecht stehen. Dass wir dabei jeden Stein und die ganze Kiste um 90 Grad im Uhrzeigersinn gedreht haben, ist vermutlich niemandem aufgefallen.
Ohne Schummelei und verdrehte Steine bedeutet die Lösung 2, dass wir das folgende Zahlenschema gelegt haben:
Und dieses lässt sich wirklich aus der Anfangskonfiguration mit vertauschter 15 und 14 erzeugen!
DIY-Tipp: Aus 15 gleichfarbigen Damesteinen und einer quadratischen Kiste passender Größe lässt sich solch ein 15er-Spiel mit runden Steinen einfach selbst herstellen.
Kategorie: Boss Puzzle / 15er Spiel
Als kleinere Version des Boss Puzzles kann man 8 Steine in einem 3x3-Quadrat anordnen. Manchmal heißen diese Geduldspiele in Anlehnung an das 15er-Spiel jetzt 8er-Spiel, aber das verwirrt, da es bei anderen Formaten der Rahmen beispielsweise noch 13er-, 24er- und 31er-Spiele geben würde. Und alle solche Geduldspiele funktionieren gleich, deshalb sollen sie hier auch einheitlich als Schiebefax / Boss Puzzle bezeichnet werden.
Die zwei abgebildeten Geduldspiele stammen aus den 1980er Jahren aus Polen und zeigen, dass es auch damals schon 3x3-Versionen des Boss-Puzzles sowohl mit Zahlen wie auch mit Bildern gab. Die jeweils 8 Steine sind im Rahmen auf Schienen beweglich und können nicht herausfallen. Die Leerstelle befindet sich jeweils unten rechts auf der Position des imaginären neunten Steins.
Schwierigkeit: Beim Boss-Puzzle besteht unabhängig von der Größe die Schwierigkeit darin, in den oberen Zeilen (d.h. über den letzten beiden Zeilen) jeweils den letzten Stein einer Zeile einzufügen und dann die letzten beiden Zeilen in Ordnung zu bringen. Das ist bei der 3x3-Version nicht anders als bei der 4x4-Version, es geht nur etwas schneller.
Herkunft: VR Polen, 1980er Jahre
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Kategorie: Boss Puzzle / 15er Spiel
Ein etwas ungewöhnliches Format für ein Boss Puzzle ist die Größe von 2x7. Gerade deshalb macht es Freude, auch wenn es nicht einfacher oder schwieriger als die anderen Formate ist.
Diese Schiebespiele mit Ente, Bär, Krokodil, Vogel und Bär wurden von Pussycat gefertigt und dienten als Werbegeschenke für Lufthansa. Das Foto enthält noch nicht alle solchen Schiebespiele.
Eine kleine Besonderheit ist der zusätzliche "Parkplatz" für einen Stein. Beim gelösten Spiel entsteht ein komplettes rechteckiges Bild. Es bleibt also kein Feld frei, sondern nur der Parkplatz.
Wenn wir einen Stein auf dem Parkplatz geparkt haben, ist die Situation genau so wie beim Boss Puzzle ohne Parkplatz. Und zuletzt müssen wir den Stein vom Parkplatz nur ein Feld nach oben ziehen, um das Bild fertigzustellen. Aber halt: Dazu muss sich ja der richtige Stein auf den Parkplatz befinden. Um das sicherzustellen: Kann sich denn auch ein falscher Stein auf dem Parkplatz befinden?
Schwierigkeit: Einfach
Design: klassisch
Hersteller: Pussycat für Lufthansa
Der unlösbare konkave Schwalbenschwanz ist das Gegenstück zum unlösbaren konvexen Schwalbenschwanz: Beide Aluminiumquader haben die gleiche Größe und die gleiche Aufgabenstellung: Ein grün eloxierter Schwalbenschwanz muss entfernt werden. Doch dies ist nicht so einfach möglich, da der Schwalbenschwanz und die dazugehörige Führungsschiene eine konkave Form haben. Der Schwalbenschwanz ist deutlich sichtbar eingedrückt, dies macht jede größere Bewegung des Schwalbenschwanzes unmöglich. Ganz fest sitzt der Schwalbenschwanz allerdings nicht, er lässt sich um den Bruchteil eines Millimeters bewegen.
Wenn man die Lösung für den unlösbaren konvexen Schwalbenschwanz bereits kennt, dann kann man diese passend für die konkave Variante abwandeln. Beide Geduldspiele nebeneinander lassen jedes Sammlerherz höher schlagen.
Rubik’s Tangle besteht aus 25 quadratischen Kacheln, welche Stücken von vier verschiedenfarbigen Seilen enthalten. Vernachlässigt man die Farben, dann haben alle Karten dasselbe Muster von Seilen. Die vier Farben lassen sich auf 4!=24 Arten den vier Seilstücken zuordnen. Weil das Geduldspiel aber aus 25 Karten besteht, ist eine Karte doppelt vorhanden.
An jeder Kante enden jeweils zwei verschiedenfarbige Seilstücken. Daraus ist ein 5x5-Quadrat zu legen, so dass jeweils gleichfarbige Seilenden zusammenstoßen. Wenn wir die Bilder auf den Karten ignorieren und uns nur die Kanten ansehen, dann gibt es 4*3=12 verschiedene Möglichkeiten für die Kanten. Aus dem Geduldspiel wird ein reines Edge-Matching Puzzle, bei dem benachbarte Kanten zusammenpassen müssen.
Schwierigkeit: Edge-Matching Puzzles können schon in der Größe 3x3 kompliziert sein, deshalb wird sich Rubik‘s Tangle als anspruchsvoll erweisen. „Unglaublich schwierig“ steht auf der Verpackung. Zum Aufwärmen können wir natürlich auch einfachere Aufgabenstellungen formulieren und mit Teilrechtecken des 5x5-Quadrats beginnen: Legen Sie entsprechend Quadrate bzw. Rechtecke der Größen
so dass jeweils gleichfarbige Seilenden aufeinandertreffen. Hier eine Lösung der Größe 2x2:
Damit sich die Kacheln benennen lassen und dadurch die Lösungen einfach beschrieben werden können, trägt jede Kachel einen Buchstaben als Namen, diesen findet man jeweils auf der Rückseite.
Insgesamt gibt es vier derartige Geduldspiele mit den Namen Rubik’s Tangle 1 bis Tangle 4, welche auch auf der Rückseite der Kacheln vermerkt sind. Die Problemstellung ist jeweils dieselbe, aber die jeweils doppelten Kacheln sind jeweils verschieden.
Wenn man die vier Karten aus dem Bild oben wendet, sieht man, dass es sich um die Karten M, V U und Y von Rubik’s Tangle 4 handelt.
Außerdem kann man die Kacheln aus allen vier Tangles zusammen benutzen und größere Probleme lösen. Eine Originalaufgabe bestand darin, aus den 100 Kacheln aus allen vier Tangles insgesamt ein 10x10-Quadrat zu legen. Aber diese Aufgabe gehört in die Kategorie der unlösbaren Geduldspiele und soll auch dort behandelt werden.
Zwölf Polykuben, die jeweils aus zehn Elementarwürfeln bestehen (sollen sie Dekomino heißen?), müssen in einen 5x5x5-Würfel gepackt werden. Die fünf verbleibenden Elementarwürfel sollen ein Loch von der Mitte einer Seite zur gegenüberliegenden Seitenmitte bilden, dies ist das namensgebende Wurmloch. Zusätzlich haben die Elementarwürfel zwei verschiedene Farben, die Kantenwürfel des 5x5x5-Würfels sind dunkler als die Seitenwürfel; die Innenwürfel sind scheinbar zufällig gefärbt.
Schwierigkeit: Die Polykuben sind groß im Vergleich zu anderen Geduldspielen. Das freibleibende Wurmloch sorgt zusätzlich für Schwierigkeiten, zusammenpassende Steine zu finden. Das schränkt die Anzahl der möglichen Lösungen ein, macht es aber nicht einfacher, sie zu finden. Es wurde berichtet, dass dieses Geduldspiel noch von keinem Menschen ohne Zuhilfenahme eines Computers gelöst wurde [1].
PolySolver-Info: Der PolySolver kann natürlich helfen. Wir haben mindestens drei Möglichkeiten.
Variante 1: Wir können die fünf Elementarwürfel frei lassen. Dann müssen wir bei den gefundenen Lösungen schauen, ob die fünf Elementarwürfel das verlangte Wurmloch bilden.
Variante 2: Alternativ können wir einen zusätzlichen stabförmigen Stein aus fünf Elementarwürfeln hinzunehmen und bei Lösungen schauen, wo sich das Wurmloch befindet.
Variante 3: Schließlich könnte auch der 5x5x5-Würfel um das Wurmloch verkleinert werden.
Bevor wir uns für eine der Varianten entscheiden, können wir vorher darüber nachdenken, welche der drei Methoden die Lösungen am schnellsten findet. In der oben angegebenen Reihenfolge wird der PolySolver jeweils merklich schneller, weil er weniger Optionen durchprobieren muss: Bei Variante 1 wird zusätzlich nach Lösungen mit einzelnen leeren Elementarwürfeln gesucht. Dadurch entstehen viel mehr Teillösungen, die erst später wieder verworfen werden. Bei Variante 2 wird versucht, das Wurmloch auch an anderer Stelle zuzulassen, aber immerhin als zusammenhängendes, stabförmiges Loch. Das sind weniger Optionen als bei Variante 1, aber immer noch mehr als nötig: Variante 3 lässt das Wurmloch nur an der gewünschten Stelle zu.
In jedem der drei Fälle gibt es bis auf Symmetrie nur eine einzige Lösung, die Methoden 1 und 2 finden keine zusätzlichen Lösungen, suchen aber länger. Dies entspricht jeweils 24 PolySolver-Lösungen.
PolySolver-Dateien: Hier sind die PolySolver-Dateien für die drei oben angegebenen Modellierungsvarianten zusammen mit der Laufzeit auf einem normalen PC.
Wie erfindet man ein solches Geduldspiel? Genau wissen wir es nicht, aber wir bekommen einen Hinweis, wenn wir uns die Polykuben genauer ansehen: Jeder dieser Steine ist zusammengesetzt aus zwei ebenen Pentominos. Wir könnten zunächst ein einfacheres Geduldspiel mit den entsprechenden Pentominos lösen und danach jeweils zwei benachbarte Pentominos zusammenkleben. Allerdings können wir uns so nicht sicher sein, wie schwierig es ist, eine Lösung unserer Variante von Watson's Wormhole zu finden. Auch kann es mehrere Lösungen geben.
Sowohl bei Mini Pins wie auch beim Chocolate Sandwich sollen zwei Lagen von 1x1x3-Brettern zu einem 2x3x3-Stapel zusammengefügt werden. In beiden Fällen gibt es zusätzliche Bedingungen, die aber recht ähnlich sind. Deshalb sollen hier beide Geduldspiele in Polyform-Puzzles umgewandelt werden. Dabei wollen wir annehmen, dass die Dicke der Bretter gleich der halben Seitenlänge ist. Dies ist nur für die Modellierung praktisch, auf das Ergebnis wird dies aber keinen Einfluss haben. Als Elementarwürfel verwenden wir Würfel mit der Dicke der Bretter, ein Brett (ohne Löcher) hat in dieser neuen Maßeinheit die Größe 1x2x6.
Schritt 1 - Analogie der Geduldspiele: Dies ist ein Zwischenschritt auf dem Weg von den Mini Pins zum Chocolate Sandwich. Betrachten wir einmal die Ähnlichkeit der Bretter der Mini Pins mit den Brettern des Chocolate Sachwichs: Die angeklebten "Schokoladen"-Dreiecke decken jeweils die Hälfte eines 2x2-Quadrates ab, und der rechte Winkel des Dreiecks markiert genau eine Ecke dieses Quadrates. Das folgende Bild zeigt die Übereinstimmung zwischen zwei Brettern aus den entsprechenden Geduldspielen:
Die Löcher mit den Aluminiumstiften haben die gleiche Position wie die rechten Winkel der Dreiecke! Wir können also jeweils die Aluminiumstifte durch aufgeklebte Dreiecke ersetzen und umgekehrt. Diese Analogie ist nicht ganz perfekt, da die Schokoladendreiecke auf einer Seite fest angeklebt sind, bei den Mini Pins wir die Bretter aber drehen dürfen. Wären die Stifte in jeweils einem Brett fest verankert, dann wäre die Analogie immer noch nicht perfekt: Stifte müssen immer auf Löcher treffen, und beiden Mini Pins müssen Stift und Loch aufeinander treffen, beim Chocolate Sandwich liegen sie jeweils gegenüber.
Schritt 2 - Modellierung der Mini Pins: Fangen wir mit den Mini Pins an. Wie gesagt betrachten wir jedes Brett als Quader der Größe 1x2x6. An der Stelle der Löcher schneiden wir jeweils einen Elementarwürfel heraus. Statt der 18 herausgeschnittenen Elementarquader nehmen wir neun Biwürfel der Größe 1x1x2 hinzu, welche die Rolle der Aluminiumstifte übernehmen werden. Die neue Aufgabe besteht darin, die sechs Bretter und die neun Biwürfel in eine Kiste der Größe 2x6x6 zu packen. Diese Aufgabe können wir mit Software wie dem PolySolver lösen und so die Anzahl der Lösungen ermitteln lassen.
Schritt 3: Modellierung des Chocolate Sandwichs: Wie in Schritt 1 festgestellt können wir die Bretter des Chocolate Sandwichs ersetzen durch Bretter der Mini Pins, bei denen jeder Aluminiumstift entweder im oberen oder im unteren Brett eingeklebt ist. Damit wir später keines der Bretter umdrehen können, müssen wir zusätzlich fordern, dass in jedem Brett mindestens ein Stift eingeklebt ist. Das entspricht Brettern der Größe 1x2x6 mit zusätzlichen Elementarwürfeln an Stelle der Stifte. Die Biwürfel als Ersatz für die Aluminiumstifte sind jetzt fest mit den Brettern verbunden.
Es fehlt nur noch die Schokoladenschicht: Wir platzieren Schokoladendreiecke mit ihren rechten Winkeln an den Stellen der Bretter, wo sich die Stifte befinden. An den Positionen mit Löchern platzieren wir zusätzlich ein Schokoladendreieck mit dem rechten Winkel gegenüber des Loches, damit die ganze Zwischenschicht gefüllt wird.
Für die Modellierung mit dem PolySolver sorgt die Schokoladenschicht für eine Symmetrisierung. Dies entspricht bei den Mini Pins mit eingeklebten Stiften neun zusätzlichen Löchern jeweils diagonal gegenüber den bisherigen Löchern, wobei die zusätzlichen Stifte jeweils in das andere Brett eingeklebt werden. Diese Ergänzung ändert das Geduldspiel jedoch nicht.
Damit haben beide Geduldspiele die gleiche zugrundeliegende mathematische Struktur, unterscheiden sich aber in wichtigen Details.
Wieder einmal soll aus sechs Brettern der Größe 3x1 ein Stapel der Höhe zwei mit Grundfläche 3x3 gebaut werden. Die Schwierigkeit wird diesmal durch Löcher und Stifte erzeugt: Jedes Brett enthält drei Löcher, und im fertigen Stapel müssen jeweils zwei Löcher übereinanderliegen, damit man zum Schluss die 12 mitgelieferten Aluminiumstifte in die 12 Löcher stecken kann.
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| MPEG von Robert Dalloz |
Die Bretter bestehen aus drei verschiedenen Harthölzern (Paduak, Wenge und Difou). Dazu ein Rahmen aus Paduak. Leider sind im vorliegenden Exemplar die Löcher nicht ganz exakt gebohrt, so dass die Stifte bei einigen Kombinationen physisch nicht passen, obwohl sie logisch passen sollten. Die Löcher befinden sich an den folgenden Positionen:
Betrachtet man jedes Brett als 6x2-Rechteck, welches wieder aus drei 2x2-Quadraten besteht, so befindet sich jedes Loch in einem der 2x2-Quadrate, und zwar in der Mitte eines 1x1-Quadrates.
Schwierigkeit: Das Geduldspiel ist mittelschwer, weil es viele Möglichkeiten gibt, zumindest einige Löcher übereinanderzulegen. Durch die Lage der Löcher kann man die Bretter beliebig drehen und wenden.
Einschätzung: Das Geduldspiel ist konzeptionell ansprechend. Es ist verwandt zum Chocolate-Sandwich, erlaubt aber zusätzlich das Umwenden der Bretter.
Wenn man mit dem 3D-Drucker nicht nur STL-Dateien aus dem Internet ausdrucken will, muss man eigene Modelle gestalten und dafür eigene STL-Dateien erzeugen.
OpenSCAD ist eine bewährte CAD-Software, die sich natürlich auch für die Modellierung von Geduldspielen eignet. Aber mit PuzzleCAD, einer zusätzlichen Programmbibliothek für OpenSCAD von Aaron Siegel, wird es wirklich kinderleicht. PuzzleCAD eignet sich speziell für die Modellierung von drei- aber auch zweidimensionalen Geduldspielen mit folgenden Eigenschaften:
Eine besonders nützliche Eigenschaft sind die sog. Connectors (Steckverbinder): Polykuben haben oft überhängende Stücken, und diese lassen sich meist nur mit Hilfe von zusätzlichen Stützen drucken.
Durch die Steckverbinder wird es möglich, ein sonst nicht ohne Stützen druckbares Teil in zwei (jeweils ohne Stützen druckbare) Teile zu teilen, diese einzeln zu drucken und danach zusammenzustecken. Dadurch werden Fehldrucke vermieden und die Nachbearbeitung der Oberflächen mit den Stützen wird überflüssig.
Codierung von Polykuben:
Polykuben werden reihenweise durch Zeichenketten bestehend aus "." und "x" beschrieben. Ein "x" steht jeweils für einen Elementarwürfel, ein "." für eine freie Zelle. Jede Ebene eines Polykuben wird durch mehrere durch "|" getrennte reihen beschrieben. Das T-Tetromino besteht nur aus einer Ebene und wird durch die folgende Zeichenkette beschrieben:
["xxx|.x."]
Die vordere Reihe enthält drei Elementarwürfel, die hintere Reihe enthält nur an der zweiten Position einen Elementarwürfel, daneben je eine Leerstelle.
Das rechts daneben liegende Teil besteht aus fünf Elementarwürfeln besteht aus zwei Ebenen und wird folgendermaßen beschrieben:
["xxx|..x", "...|..x"]
Mehr muss man nicht tun, wenn man ansonsten die Standardeinstellungen verwenden will. Damit lassen sich die Bausteine für Geduldspiele aus Polykuben mit minimalem Programmieraufwand erzeugen. Zusätzlich lassen sich Steine beschriften und Rahmen oder passende Boxen modellieren.
Mehr Informationen:
Das Printable Puzzle Project (ebenfalls von Aaron Siegel) beschreibt noch einmal ausführlich den 3D-Druck von Geduldspielen, die Verwendung von PuzzleCAD und enthält eine Sammlung sehr schöner unter der Verwendung von PuzzleCAD gedruckten Geduldspiele sowie die die entsprechenden Links zu Thingiverse.
Downloads:
OpenSCAD: https://www.openscad.org/
PuzzleCAD: https://www.thingiverse.com/thing:3198014
Installation unter Windows:
Die Installationen beider Programme sind einfach und verlaufen völlig problemlos.
Diesmal sind vier Steine aus insgesamt 25 Elementarwürfeln den für die Serie üblichen 3x3x3-Korb zu packen.
Der Henkel über dem Korb schränkt die möglichen Bewegungen der Steine ein, und der Korb soll oben bedeckt sein, die fehlenden Elementarwürfel sich also in den unteren Etagen verstecken.
Die Steine bestehen aus 9, 7, 5 bzw. 4 Elementarwürfeln. Man sollte solche Geduldspiele erst außerhalb des Körbchens zu einem 3x3x3-Würfel (mit Löchern) zusammenpacken und danach überlegen, wie man sie nacheinander in das Körbchen bringt.
Schwierigkeit: Die erste Teilaufgabe ist lösbar für mithelfende Kinder, aber der zweite Schritt ist etwas komplizierter, aber nicht viel. Vermutlich wird einer der großen Steine oben liegen, der andere unten. In der Tat gibt es hier (mindestens) zwei Lösungsmöglichkeiten. Für beide Lösungen sind keine Rotationen erforderlich. Damit ist das Basket Puzzle Nr.2 vergleichsweise einfach.
Achtung: Das Design der Akaki Mushroom Basket Puzzles ist teilweise noch Work in Progress: Gelegentlich wird die Form der Steine minimal geändert, um zusätzliche Lösungen auszuschließen. Vergleichen Sie ggf. die aktuelle Form der Steine mit der Abbildung oben.
Vier Steine aus insgesamt 26 Elementarwürfeln sind den für die Serie üblichen 3x3x3-Korb zu packen.
Der Henkel über dem Korb schränkt die möglichen Bewegungen der Steine ein, und der Korb soll oben bedeckt sein, der fehlende Elementarwürfel sich also in einer der unteren Etagen verstecken.
Die Steine bestehen aus 8, 7, 7 bzw. 4 Elementarwürfeln. Man sollte solche Geduldspiele erst außerhalb des Körbchens zu einem 3x3x3-Würfel (mit einem Loch) zusammenpacken und danach überlegen, wie man sie nacheinander in das Körbchen bringt.
Schwierigkeit: Die erste Teilaufgabe ist lösbar für mithelfende Kinder, aber der zweite Schritt ist etwas komplizierter. Falls Sie ein Gefühl haben, welches die Oberseite sein wird, dann liegen Sie wahrscheinlich richtig. Akaki Kuumeri verrät, dass achsenparallele Bewegungen nicht ausreichen werden, sondern dass Rotationen erforderlich sind.
Achtung: Das Design der Akaki Mushroom Basket Puzzles ist teilweise noch Work in Progress: Gelegentlich wird die Form der Steine minimal geändert, um zusätzliche Lösungen auszuschließen. Vergleichen Sie ggf. die aktuelle Form der Steine mit der Abbildung oben.
Die Reihe der Mushroom Basket Puzzles von Akaki Kuumeri ist benannt nach den Körbchen, in die jeweils mehrere Polyominos so gepackt werden sollen, dass alle vorgegebenen Steine so eingepackt werden, dass
In den Schichten weiter unten können sich durchaus Leerstellen befinden, da die Steine manchmal weniger als 27 Elementarwürfel enthalten.
Dazu gibt es noch eine zusätzliche Schwierigkeit, welche die Geduldspiele zu etwas Besonderem machen: Der Bügel über dem Korb ist über der mittleren Reihe von Steinen fest montiert, so dass man gerade noch genug Platz hat, eine Schicht Elementarwürfel unter dem Bügel durchzuschieben. Durch diese reduzierte Öffnung ist es nicht so einfach möglich. speziell die großen Steine in den Korb zu packen.
In der Regel reichen achsenparallele Bewegungen nicht, das Geduldspiel zu lösen, sondern die Rotation einzelner Steine während der Lösung ist notwendig. Das Lösen der Mushroom Basket Puzzles bereitet aus mehreren Gründen Freude: Erstens sind die Körbchen liebevoll gestaltet und man hantiert gern mit ihnen. Auch mehrere solche Körbchen nebeneinander mit verschiedenen Geduldspielen aus der Reihe sehen nett aus. Und zweitens sind die Geduldspiele der Reihe so angelegt, dass man gleich mehrere hintereinander lösen kann, ohne dass es langweilig wird.
Schwierigkeit: Die Mushroom Basket Puzzles sind von unterschiedlicher Schwierigkeit von relativ einfach bis mittelschwer, wobei die Schwierigkeit nicht mit der Nummerierung wächst. Im ersten Schritt kann man die Steine außerhalb des Körbchens zu einem (möglicherweise nicht ganz vollständigen) 3x3x3-Würfel zusammensetzten. In nachfolgenden zweiten Schritt muss man herausbekommen, ob und ggf. wie man dies innerhalb des Körbchens wiederholen kann.
Ausgangspunkt für diese Serie von Geduldspielen waren die drei Mushroom Basket Puzzles von Andrey Ustjuzhanin aus dem Jahr 2019.
Design: Akaki Kuumeri
Erscheinungsjahr: 2020, 2021
Nachdem wir bereits ein 8x8-Quadrat mit Pentominos und einem zusätzlichen 2x2-Quadrat gefüllt haben, können wir als zusätzliche Schwierigkeit das Schachbrettmuster hinzunehmen. Wir können uns vorstellen, dass die Steine durch das Zersägen eines Schachbretts (entlang der Feldgrenzen) entstanden sind und wir das Schachbrett wieder zusammensetzen sollen. Damit wäre zumindest die Lösbarkeit gesichert.
Das Schachbrett-Puzzle steckt in einer flachen Holzbox, die auf dem Deckel mit einem Schachbrett verziert ist. Die Steine sind aus Elementarwürfeln abwechselnd aus hellem und dunklen Holz zusammengesetzt.
Also nehmen wir alle Steine aus der Box, vermischen diese und versuchen, sie wieder hineinzulegen. Wie vielleicht schon befürchtet ist dies schwieriger als gedacht. Als Vereinfachung können wir natürlich das Schachbrettmuster ignorieren und erst einmal alle Steine zurück in die Box legen. Das ist ein vergleichsweise einfaches Geduldspiel, dafür gibt es viele tausend Möglichkeiten. Wenn wir das Schachbrettmuster berücksichtigen, wird es kompliziert. Das Maximum an Kompliziertheit ist noch nicht ganz erreicht: Wir können zusätzlich fordern dass das eigentlich nicht zugehörige 2x2-Quadrat genau in der Mitte liegt. Dann gibt es (bis auf Symmetrie) nur noch genau eine Lösung.
Wenn wir den zusätzlichen 2x2-Stein jetzt beiseitegelegt haben, können wir natürlich fragen, ob andere Aufgaben für Pentominos unter zusätzlicher Berücksichtigung des Schachbrettmusters lösbar sind. Die Standard-Aufgabe ist das 6x10-Rechteck, ähnlich einfach ist ohne Schachbrettmuster das 5x12-Rechteck. Beide sind lösbar, aber wieder schwierig. Ebenso das 8x8-Quadrat mit ausgeschnittenen Ecken.
Frage: Und dann sind da natürlich noch die Quader der Größen 3x4x5 und 2x5x6. Sind diese Aufgaben auch lösbar?
Polyominos und Polykuben lassen sich mit einem Schachbrettmuster versehen, indem man benachbarte Elementarquadrate bzw. Elementarkuben mit zwei Farben jeweils abwechselnd färbt.
Da es bei den Polyominos bei fehlender Symmetrie jeweils zwei verschiedene Möglichkeiten gibt, dieses Muster aufzutragen, entstehen bei verschieden gemusterten Steinen auch verschiedene Geduldspiele. Und diese können unterschiedlich kompliziert sein. Um überhaupt die Lösbarkeit eines solchen Geduldspiels sicherzustellen, können wir folgendermaßen vorgehen: Wir lösen das zugrundeliegende Geduldspiel zunächst ohne ein Schachbrettmuster auf den Steinen. Haben wir eine Lösung gefunden, dann denken wir uns die gesamte Lösungsfigur schachbrettartig gefärbt und färben wir die Steine entsprechend ihrer Lage in dieser Lösung. Als Ergebnis haben wir ein garantiert lösbares Geduldspiel.
Im Falle von zweidimensionalen Aufgaben mit Polyominos haben unsere Steine jeweils eine Ober- und eine Unterseite. Auf der Oberseite ist das Schachbrettmuster, und für die Unterseite gibt es drei Möglichkeiten:
PolySolver-Info: Zweidimensionale Aufgaben mit Schachbrett-Polyominos lassen sich mit dem PolySolver lösen. Und zwar mit dem Gitter vom Typ Octagon (4,8,8). Um 45 Grad gedreht besteht es abwechselnd aus großen und kleinen Quadraten, welche die Rolle der schwarzen und weißen Felder übernehmen können.
Ein Tetraeder aus zwei gleichen Teilen zusammensetzen, das gab es doch schon einmal. Aber diesmal ist es nicht so einfach: Die beiden Teile sind nicht ebenflächig begrenzt, sondern die Schnittfläche ist eine Schraubenfläche.
An jedem Teil erkennt man zwei der Ecken des Tetraeders, aber es ist auf den ersten Blick nicht klar, wie die zwei Teile zusammenpassen sollen.
Schwierigkeit: Nur zwei Teile, trotzdem knifflig. Auch wenn man die Achse der Schraubenfläche an der richtigen Stelle vermutet, müssen die beiden Teile passend bewegt werden, damit sie ineinandergreifen.
Das geschraubte Tetraeder war unter dem Originalnamen Fire das Austauschpuzzle von George Hart auf IPP-28. Es gehört zusammen mit dem geschraubten Würfel in eine Serie: Der Designer George Hart hat das entsprechende STL-File schon 2013 auf Thingiverse für die nicht-kommerzielle Nutzung zur Verfügung gestellt.
Ein 3x3x3-Würfel soll zusammengesetzt werden aus einem 1x1x3-Quader und zwölf 1x1x2-Quadern. Diese Quader sind jeweils aus einfarbigen Elementarwürfeln zusammengesetzt, wobei jede der 9 Farben dreimal vorkommt. Die Schwierigkeit besteht in der Zusatzbedingung, dass beim zusammengesetzten 3x3x3-Würfel jede Farbe auf jeder Seite genau einmal sichtbar sein muss.
Die Verteilung der Farben auf die Quader verrät erst einmal nichts, so dass man probieren muss. Einige Überlegungen helfen, aber ohne Probieren geht es kaum. Es besteht eine große Verwandtschaft mit Gram's Cube: Farben und Bedingungen waren identisch, nur gab es bei diesem Geduldspiel 27 einzelne Elementarwürfel. Kokolores entsteht aus Gram's Cube, indem man immer geeignete Paare von Würfeln zusammenklebt.
Einige der folgenden Lösungshinweise sind die gleichen wie bei Gram’s Cube, beziehen sich also nur auf Einzelwürfel. Außerdem kann man noch über die mögliche Lage des 1x1x3-Quaders nachdenken.
Aus acht Brettern soll ein zweietagiger Stapel aus jeweils vier 1x4-Brettern zusammengesteckt werden. Dazu enthalten die 1x4-Bretter in den Mittelpunkten der 1x1-Quadrate jeweils Löcher oder Stifte. Die Bretter sind bei diesem Geduldspiel vergleichsweise dick, so dass man eigentlich von Balken sprechen sollte, aber um die Terminologie einheitlich zu halten, soll weiter von Brettern gesprochen werden. Die Bretter bestehen aus zwei verschiedenen Harthölzern (hell und dunkel), so dass sich verschiedene Aufgaben formulieren lassen: Beispielsweise kann eine Schicht aus den hellen Brettern bestehen, die andere aus den dunklen. Oder es sollen immer verschiedenfarbige Bretter nebeneinander liegen. Insgesamt enthält der Begleitzettel 45 derartige Aufgaben.
Wir wollen uns die verwendeten Bretter näher ansehen: Wir beschreiben dazu jedes Brett einer Folge von mit vier Buchstaben, bestehend aus x und o. Dabei steht x für einen Stift, o für ein Loch. Das Brett „xoox“ hat also außen jeweils einen Stift, dazwischen zwei Löcher. Da jedes Brett vier Positionen hat, an denen sich entweder Löcher oder Stifte befinden, gibt es dafür 2⁴=16 verschiedene Möglichkeiten. Wenn wir beachten, dass wir die Bretter um 180 Grad drehen können, fallen einige Möglichkeiten (z.B. xxoo und ooxx) zusammen. Zusätzlich erscheinen uns die Bretter mit vier Löchern bzw. mit vier Stiften als nicht sinnvoll, dann bleiben genau acht verschiedene Bretter. Und zwar xooo, oxoo, xxoo, xoxo, xoox, oxxo, xxxo und xxox. Wurden genau diese verwendet? Nein, das Brett xoxo fehlt, dafür ist xxoo doppelt vorhanden.
Das Geduldspiel war das IPP-Austauschpuzzle von Mike Hawthorne im Jahr 2000.
Schwierigkeit: Wenn man sich die einfachste Aufgabe stellt und nur den gesuchten Stapel ohne Berücksichtigung der Farbkombinationen zusammenzustecken, dann ist das Geduldspiel relativ einfach lösbar. Auch Anfänger sollten das hinbekommen.
Frage: Lässt sich das Geduldspiel auch mit den acht verschiedenen Steinen lösen, die oben genannt sind?
Ähnliches Geduldspiel: Eine ähnliche Funktionalität (allerdings bei anderer Form) finden wir bei der Dice Box No. 5. Die Löcher entsprechen den Einkerbungen, Stifte den nicht eingekerbten Stellen.
Bei diesem Packproblem müssen wieder Polykuben in einen 3x3x3-Würfel gepackt werden.
Der Knossos-Cube gehört zu der Reihe der sogenannten „Griechischen Reihe“, die 1996/97 von Bernhard Schweitzer entwickelt wurde. Die Aufgabe besteht darin, jeweils drei Tetrakuben und drei Pentakuben zu einem 3x3x3-Würfel zusammenzubauen. Dabei handelt es sich um die abgebildeten Polykuben:
Schwierigkeit: Mit einem Schwierigkeitsgrad von 6/12 ist dies einer der schwierigsten Packwürfel von Bernhard Schweizer. Nur der Megaron-Cube ist mit 7/12 noch schwieriger.
Hier beim Knossos-Cube ist nur eines der Polykuben flach (nämlich das T-Tetromino), alle anderen Steine sind echt dreidimensional. Diese ragen dann immer in mehrere Etagen und der verbleibende Raum enthält schnell kleine abgeschlossenen Bereiche, die sich später nicht mehr füllen lassen.
Der Begleittext verrät, dass es genau zwei verschiedene Lösungen gibt.