Sowohl bei Mini Pins wie auch beim Chocolate Sandwich sollen zwei Lagen von 1x1x3-Brettern zu einem 2x3x3-Stapel zusammengefügt werden. In beiden Fällen gibt es zusätzliche Bedingungen, die aber recht ähnlich sind. Deshalb sollen hier beide Geduldspiele in Polyform-Puzzles umgewandelt werden. Dabei wollen wir annehmen, dass die Dicke der Bretter gleich der halben Seitenlänge ist. Dies ist nur für die Modellierung praktisch, auf das Ergebnis wird dies aber keinen Einfluss haben. Als Elementarwürfel verwenden wir Würfel mit der Dicke der Bretter, ein Brett (ohne Löcher) hat in dieser neuen Maßeinheit die Größe 1x2x6.
Schritt 1 - Analogie der Geduldspiele: Dies ist ein Zwischenschritt auf dem Weg von den Mini Pins zum Chocolate Sandwich. Betrachten wir einmal die Ähnlichkeit der Bretter der Mini Pins mit den Brettern des Chocolate Sachwichs: Die angeklebten "Schokoladen"-Dreiecke decken jeweils die Hälfte eines 2x2-Quadrates ab, und der rechte Winkel des Dreiecks markiert genau eine Ecke dieses Quadrates. Das folgende Bild zeigt die Übereinstimmung zwischen zwei Brettern aus den entsprechenden Geduldspielen:
Die Löcher mit den Aluminiumstiften haben die gleiche Position wie die rechten Winkel der Dreiecke! Wir können also jeweils die Aluminiumstifte durch aufgeklebte Dreiecke ersetzen und umgekehrt. Diese Analogie ist nicht ganz perfekt, da die Schokoladendreiecke auf einer Seite fest angeklebt sind, bei den Mini Pins wir die Bretter aber drehen dürfen. Wären die Stifte in jeweils einem Brett fest verankert, dann wäre die Analogie immer noch nicht perfekt: Stifte müssen immer auf Löcher treffen, und beiden Mini Pins müssen Stift und Loch aufeinander treffen, beim Chocolate Sandwich liegen sie jeweils gegenüber.
Schritt 2 - Modellierung der Mini Pins: Fangen wir mit den Mini Pins an. Wie gesagt betrachten wir jedes Brett als Quader der Größe 1x2x6. An der Stelle der Löcher schneiden wir jeweils einen Elementarwürfel heraus. Statt der 18 herausgeschnittenen Elementarquader nehmen wir neun Biwürfel der Größe 1x1x2 hinzu, welche die Rolle der Aluminiumstifte übernehmen werden. Die neue Aufgabe besteht darin, die sechs Bretter und die neun Biwürfel in eine Kiste der Größe 2x6x6 zu packen. Diese Aufgabe können wir mit Software wie dem PolySolver lösen und so die Anzahl der Lösungen ermitteln lassen.
Schritt 3: Modellierung des Chocolate Sandwichs: Wie in Schritt 1 festgestellt können wir die Bretter des Chocolate Sandwichs ersetzen durch Bretter der Mini Pins, bei denen jeder Aluminiumstift entweder im oberen oder im unteren Brett eingeklebt ist. Damit wir später keines der Bretter umdrehen können, müssen wir zusätzlich fordern, dass in jedem Brett mindestens ein Stift eingeklebt ist. Das entspricht Brettern der Größe 1x2x6 mit zusätzlichen Elementarwürfeln an Stelle der Stifte. Die Biwürfel als Ersatz für die Aluminiumstifte sind jetzt fest mit den Brettern verbunden.
Es fehlt nur noch die Schokoladenschicht: Wir platzieren Schokoladendreiecke mit ihren rechten Winkeln an den Stellen der Bretter, wo sich die Stifte befinden. An den Positionen mit Löchern platzieren wir zusätzlich ein Schokoladendreieck mit dem rechten Winkel gegenüber des Loches, damit die ganze Zwischenschicht gefüllt wird.
Für die Modellierung mit dem PolySolver sorgt die Schokoladenschicht für eine Symmetrisierung. Dies entspricht bei den Mini Pins mit eingeklebten Stiften neun zusätzlichen Löchern jeweils diagonal gegenüber den bisherigen Löchern, wobei die zusätzlichen Stifte jeweils in das andere Brett eingeklebt werden. Diese Ergänzung ändert das Geduldspiel jedoch nicht.
Damit haben beide Geduldspiele die gleiche zugrundeliegende mathematische Struktur, unterscheiden sich aber in wichtigen Details.
