Unlösbar: Ein 10x10 - Quadrat mit L-Tetrominos füllen

Ein 10x10 - Quadrat besteht aus 100 Elementarquadraten un lässt sich deshalb vielleicht mit 25 L-Tetrominos füllen. 

 

Kann das klappen? Man kann sich nun 25 L-Tetrominos besorgen (z.B. aus Pappe ausschneiden oder den 3D-Drucker einsetzen), aber die Versuche werden unbefriedigend verlaufen: Man findet so schnell keine Lösung.

Also suchen wir nach einem Unmöglichkeitsbeweis. Aber die bekannten Tricks helfen nicht weiter: Weder eine Schachbrettfärbung (für Quadrate der Größen   6x6, 8x8 oder  10x10) noch Zählung der Randfelder (für das gezackte Rechteck). Also benötigen wir einen weiteren Trick: Er funktioniert wieder mit Färbung, und zwar müssen wir das 10x10-Quadrat wie im Bild oben mit Streifen versehen.

Wird Ihnen jetzt schon klar, wie es weitergeht? Die Details finden Sie in dem folgenden Lösungshinweis.

Lösungshinweis: Egal, wie man ein L-Tetromino auf das Schachbrett legt, überdeckt es entweder drei helle und ein dunkles Elementargquadrat oder ein helles und drei dunkle Qelementarquadrate. Auf alle Fälle sind diese Anzahlen immer ungerade. 25 solche Steine überdecken damit auch eine ungerade Anzahl heller (und auch dunkler) Felder, sie müssten aber gerade 50 der 100 Felder überdecken. Damit ist die Argumentation analog zu den T-Tetrominos auf dem 6x6-Brett, verwendet aber eine andere Färbung.

 

Historisches: Diese Aufgabe ist auch schon lange bekannt. Michael Reid [1] hat den Ansatz mit Färbungen verallgemeinert und kann damit viele ähnliche Aufgaben bearbeiten.

Mehr Infos: 

[1] Michael Reid: Tile Homotopy Groups, L’Enseignement Mathématique 49 (2003), no. 1–2, pp. 123–155.