Kategorie: Gleiche Klötzer in rechtwinklige Boxen packen
Wenn man nur die Menge an Elementarquadrate betrachtet, dann sollte es doch möglich sein, ein 10x10-Quadrat mit 25 Stäben der Größe 1x4 zu füllen. Wenn man es probiert, klappt es aber nicht. Der letzte Stab lässt sich nicht mehr einfügen, und man erhält beispielsweise die abgebildete Situation mit einem freibleibenden 2x2-Quadrat:
Wenn es nach genügend vielen Versuchen nicht klappt, dann sollte man über die Lösbarkeit nachdenken. Ein Beispiel für eine unmögliche Überdeckung mit Dominos (also von der Größe 1x2 statt 1x4) ist die unlösbare Schachbrettaufgabe. Für den Unmöglichkeitsbeweis wurde die abwechselnde Färbung der Elementarquadrate mit den zwei Farben des Schachbretts benutzt. Wichtig war, das jeder Dominostein gleichviel Felder beider Farben (nämlich jeweils eins) überdeckt.
Das gleiche Vorgehen mit einem 10x10-Schachbrett funktioniert diesmal nicht, da zwar jeder 1x4-Stab genau zwei Felder jeder Farbe überdeckt, aber das freibleibende 2x2-Quadrat besitzt auch je zwei Felder jeder Farbe. Aber wir können dieses Vorgehen besser an den 1x4-Stab anpassen und die folgende schachbrettartige Färbung mit vier Farben vornehmen. Dazu bringen wir die vier Farben in eine beliebige, aber feste Reihenfolge und ordnen die Farben so an, dass sie sowohl von rechts nach links wie von unten nach oben immer in dieser Reihenfolge vorkommen:
Wieder überdeckt ein Stab der Größe 1x4 stets vier Felder verschiedener Farbe, egal ob wir ihn waagerecht oder senkrecht platzieren. Und jetzt hilft wieder derselbe Trick wie bei der unlösbaren Schachbrettaufgabe: Einfaches Nachzählen ergibt, dass das vierfarbig eingefärbte 10x10-Quadrat nicht 25 Elementarquadrate von jeder Farbe enthält, sondern nur 24 rote und dafür 26 gelbe. Bei einer vollständigen Überdeckung mit 25 Stäben würden aber 25 rote und dafür 25 gelbe Elementarquadrate überdeckt werden. Also ist das Problem unlösbar. Noch ausführlicher wird dies in der Quelle [1] unten erklärt.
Wenn wir jetzt unser großes Quadrat entsprechend der Stabgröße mit vier Farben eingefärbt haben, stellt sich die Frage, ob sich dieses Vorgehen verallgemeinern lässt. Die Antwort darauf ist positiv und wird durch das Theorem von D.A. Klarner gegeben.
Frage: Haben Sie eine Idee, wie diese Verallgemeinerung aussehen könnte?
Quelle: [1] Erlebnisland-Mathematik