Housing Project

Das Housing Project ist ein Geduldspiel von Stewart Coffin und trägt die Nummer STC 181-C. Es geht darum, fünf Pentominos nacheinander in zwei verschiedene Rahmen zu packen. Die Rahmen unterscheiden sich in ihrer Größe nur minimal und haben die Form eines Hauses.

Im Original handelt es sich um ein Austauschpuzzle auf der Internationalen Puzzleparty IPP23 im Jahr 2003. Die zwei Rahmen befanden sich auf Vorder- und Rückseite einer nahezu quadratischen Grundplatte. Die hier vorgestellte Version zum Selberdrucken hat die beiden Rahmen nebeneinander, da sich so die Platte mit zwei Rahmen in einem Stück völlig problemlos drucken lässt.

Bei den fünf unterzubringenden Pentominos handelt es sich um L, N, P, W und Y. Schräge Kanten im 45-Grad-Winkel in den Rahmen sorgen für Leerräume bestehend aus halben Elementarquadraten.

Schwierigkeit: Das Geduldspiel stellt zwei Aufgaben in unterschiedlicher Schwierigkeit: Das linke Haus lässt sich wie zu erwarten nach einigen Versuchen füllen. Aber beim rechten Haus will das nicht so richtig klappen. Eine echte Herausforderung!

Lösungshinweis: Die Grundseite des rechten Hauses ist ein wenig kürzer als sechs Einheiten. Was könnte das bedeuten?

 

Design:  Stewart Coffin

Google: Stewart Coffin "Housing Project"

Shopping: Nicht lieferbar.

3D-Druck: STL-Datei von Aaron Siegel bei Thingiverse.

Bemerkung zum Urheberrecht: Frei zur persönlichen, nicht-kommerziellen Verwendung laut Printable Puzzle Project.

Der 3x3x3-Conway-Würfel alias das Slothouber-Graatsma-Puzzle

Kategorie: Gleiche Klötzer in rechtwinklige Boxen packen

Fangen wir mit dem einfachsten Packproblem einer ganzen Reihe an. In der Tat ist das Geduldspiel so einfach, dass es momentan scheinbar niemand herstellen will. Und der Name ist auch merkwürdig: Eigentlich besitzt das Geduldspiel gar keinen richtigen Namen, solche Geduldspiele werden oft nach ihren Erfindern benannt. Und dieses Geduldspiel wurde gleich zweimal unabhängig voneinander erfunden:

Von dem englischen Mathematiker John Horton Conway und später noch einmal von den niederländischen Architekten Jan Slothouber und William Graatsma. Mehr unten unter Historisches.

Trotzdem ist es ein wichtiges Geduldspiel, weil es erstens bei der Lösung einen Aha-Effekt vermittelt und wir diese Idee noch wiederholt anwenden können. Und zweitens versteckt sich der 3x3x3-Conway-Würfel  / das Slothouber-Graatsma-Puzzle auch noch in einigen anderen Geduldspielen.

Hier die Aufgabe: Sechs Quader der Größe 1x2x2 sollen in einen würfelförmigen Behälter der Größe 3x3x3 gepackt werden. 

Gedruckt mit dem STL-File von https://www.thingiverse.com/thing:2587836

Zählen wir nach, wie viel Platz (gemessen in Elementarwürfeln der Größe 1x1x1)  wir haben: Jeder der Klötzer besteht aus vier Elementarwürfeln, für sechs solche Klötzer benötigen wir also den Platz von 24 Elementarwürfeln. Der würfelförmige Behälter bietet 27 Elementarwürfel Platz. In manchen Varianten des Geduldspiels werden auch drei Elementarwürfel zusätzlich mitgeliefert. Dadurch wird der 3x3x3-Würfel völlig gefüllt, die Schwierigkeit des Geduldspiels ändert sich aber nicht. 

Erste Versuche zu Lösung der Aufgabe schlagen aber erfahrungsgemäß fehl, der letzte Quader will einfach nicht mehr in den Würfel passen. In diesem scheinbar so einfachen Geduldspiel liegt wieder ein Geheimnis, das wir ergründen müssen, bevor wir zur Lösung vordringen können. Also sollten wir nachdenken, was wir immer wieder falsch machen. Eine dankbare Aufgabe ist es zu fragen, wo sich die drei frei bleibenden Elementarwürfel befinden sollten. Sie können nicht überall liegen, und in der Antwort auf die Frage liegt die Lösung des Geduldspiels.

Schwierigkeit: Profis sollten das Geduldspiel kennen (oder sich daran erinnern können). Wer es nicht kennt, hat eine extrem einfach aussehendes Geduldspiel vor sich, das es in sich hat. Mittelschwer.

Aufgabe: Hier noch eine Aufgabe zum Nachdenken: Beweisen Sie, dass es nur eine Möglichkeit gibt, die drei freibleibenden Elementarwürfeln anzuordnen. 

DIY mit 3D-Druck: Wenn solch ein älteres und interessantes Geduldspiel nicht  erhältlich ist, hat es doch sicher schon jemand für seinen 3D-Drucker modelliert und stellt uns die STL-Dateien zur Verfügung. Beispielsweise finden wir das Geduldspiel auf Thingiverse. Das Foto oben zeigt die Steine. Die Steine haben angenehm abgerundete Kanten. Und dazu gibt es noch eine würfelförmige Aufbewahrungsbox.

Lösungshinweis 1: Betrachten wir nur eine Etage des Würfels: Egal ob er steht oder liegt, ein 1x2x2-Klotz füllt entweder zwei oder vier Elementarwürfel dieser Etage, in jedem Fall also eine grade Anzahl. Da eine Etage aus neun Elementarwürfeln besteht, bleibt also in jeder Etage mindestens ein Elementarwürfel frei. Da es drei Etagen gibt und zum Schluss genau drei Elementarwürfel frei bleiben, muss es in jeder Etage genau einer sein. Und dies gilt nicht nur für die horizontalen Etagen, sondern auch für die vertikalen Schichten: Immer muss genau ein Elementarwürfel frei bleiben. Das heißt, dass niemals zwei freibleibende Elementarwürfel direkt nebeneinander liegen dürfen, wenn wir erfolgreich sein wollen.

 

Lösungshinweis 2: Eine Lösungsidee ist es nun, die drei freibleibenden Elementarwürfel entlang einer Raumdiagonale des Würfels zu platzieren. Wenn man dieses Ziel vor Augen hat, sind die Klötzer schnell erfolgreich im 3x3x3-Würfel untergebracht.

 

Historisches: David Singmaster schreibt in [3]:

Because of the attribution to Slothouber & Graatsma and not knowing the date of Conway's work, I had generally attributed the 3x3x3 puzzle to them and Stewart Coffin followed this in his book. However, it now seems that it really is Conway's invention and I must apologize for misleading people.

[Wegen der Zuschreibung an Slothouber & Graatsma und da ich das Datum von Conways Arbeit nicht kannte, hatte ich ihnen das 3x3x3 Puzzle zugeschrieben und Stewart Coffin folgte dem in seinem Buch. Allerdings scheint es jetzt wirklich Conways Erfindung zu sein und ich muss mich für die Irreführung entschuldigen.]

Erscheinungsjahr: ca. 1970

Google: Slothouber Graatsma Puzzle
Shopping: Scheinbar nicht lieferbar.

Weiterführende Informationen:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Slothouber%E2%80%93Graatsma_puzzle
[2] https://demonstrations.wolfram.com/PackingTheSlothouberGraatsmaCube/
[3] https://www.puzzlemuseum.com/singma/singma5/SOURCES/SOURCE2.DOC

3D-Druck von Geduldspielen

Mit einem 3D-Drucker eröffnen sich völlig neue Möglichkeiten, Geduldspiele selber zu drucken und damit zu experimentieren. Auch die Qualität der 3D-Drucke ist so gut, dass 3D-gedruckte Geduldspiele mittlerweile in Online-Shops angeboten werden. Aber selber machen ist natürlich interessanter. Und es ist einfacher als man zunächst denkt: Man benötigt zunächst die technische Ausrüstung:

• Einen 3D-Drucker und so genanntes Filament als Verbrauchsmaterial, aus welchem die gedruckten Objekte entstehen. Filament aus PLA ist zunächst die einfachste Wahl.
• Dann benötigt man die Beschreibung des zu druckenden Objekts als sog. STL-Datei. Es gibt eine Menge solcher Dateien im Internet zum Herunterladen und man kann sich mit CAD-Software auch eigene Objekte modellieren und daraus eigene STL-Dateien erstellen.
• Und dann benötigt der 3D-Drucker ausreichend Zeit zum Drucken: Wird mit hoher Auflösung gedruckt, dann sehen die Oberflächen des gedruckten Objekts besser aus und Sie müssen seltener mit Feile oder Sandpapier nacharbeiten. Wenn Sie nacheinander verschiedene Geduldspiele drucken, werden Sie zunächst kaum mehr als 1-2 Stück pro Tag schaffen.

Welche Geduldspiele lassen sich besonders einfach selber drucken? 

Einfach zu drucken bedeutet 

• einfach zu beschreiben (also z.B. ebenflächig begrenzt, zusammengesetzt aus einfachen Teilen wie Quadern, aber auch Kugeln).
• einfach für den 3D-Drucker: Große Auflageflächen auf dem Druckbett und kaum überhängende Teile.
• einfarbige Teile.

Hier einige Einzelteile 

sowie fertig gedruckte Geduldspiele:

All die genannten Einschränkungen kann man umgehen, aber als Anfänger ist das keine gute Idee. Die Menge der Geduldspiele, die trotz dieser Einschränkungen gedruckt werden können, ist enorm. Hier einige größere Klassen:

• 2D-Packprobleme: Spielsteine wie Polyominos sollen in einen Rahmen gepackt werden. Sowohl die Steine wie der Rahmen sind einfach zu drucken.
• 3D-Packprobleme: Spielsteine wie Polykuben sollen in eine Kiste gepackt werden. Sowohl die Steine wie die Kiste (mit Deckel und Beschriftung) sind einfach zu drucken.
• Kugelpyramiden: Wenn man die Teile zunächst aus Halbkugeln druckt, sind auch diese einfach zu drucken.

Es sind aber auch so komplizierte Oberflächenformen möglich, die sich beispielsweise aus Holz (mit vertretbarem Aufwand)  praktisch nicht realisieren lassen. Dazu gehören spiralförmige Schnitte und Schnitte entlang anderer komplexer mathematischer Funktionen. Auch übertrifft die Genauigkeit beim 3D-Druck oft die Möglichkeiten der Holzbearbeitung, so dass manche Geduldspiele erstmals mittels 3D-Druck herstellbar sind.

Übersicht über Geduldspiele für den 3D-Druck

Die hier im Blog vorgestellten Geduldspiele für den 3D-Druck sind alle einfach zu drucken.

Lohnt sich ein 3D-Drucker finanziell allein für Geduldspiele? 

Alles hängt natürlich von der Frage ab, wie viel Geld Sie für Geduldspiele auch ohne 3D-Drucker ausgeben würden. Wenn Sie diese jetzt nicht mehr kaufen, können Sie das Geld in 3D-Druck investieren. Für dieses Blog ergibt sich folgende Rechnung: Gedruckt werden die Geduldspiele mit einem Prusa Mini (neu ca. 400€) mit PLA als Verbrauchsmaterial. Die Materialkosten liegen bei deutlich unter 2€ pro Geduldspiel (auch bei mehreren Fehldrucken). Bei einem hypothetischen Anschaffungspreis von 10€ pro Geduldspiel bei Kauf statt 3D-Druck hat sich der Drucker nach 50 gedruckten Geduldspielen bezahlt gemacht.

Die Qualität der Geduldspiele ist in den meisten Fällen besser als erwartet. Und handwerklich hochwertige Geduldspiele sind in der Regel ohnehin viel teurer als die angenommenen 10€.

Damit könnte sich der 3D-Drucker binnen eines Monats amortisieren.

Darf man das? 

Es bleibt die Frage, was man denn einfach so drucken darf, ohne gegen geltendes Recht zu verstoßen. Darüber gibt es viele Informationen im Netz (Suche: 3D-Druck rechtssicher), die kurze Zusammenfassung (von Nicht-Juristen für Nicht-Juristen) ist wie folgt:

• Designer und Hersteller von Geduldspielen erwerben durch ihre Tätigkeit Schutzrechte, die das jeweilige Werk schützen. Wir dürfen also nicht einfach alles drucken und dann auch noch weiterverkaufen.
• Nach längerer Zeit erlöschen diese Schutzrechte automatisch. Patentschutz und Designschutz enden meist nach 20-25 Jahren.
• Auch bei bestehenden Schutzrechten ist es in Deutschland erlaubt, für sich selbst eine Privatkopie (oft findet man: maximal 7 Stück) anzufertigen. Diese dürfen an Freunde oder Verwandte unentgeltlich weitergegeben, aber nicht verkauft werden. Damit ist das private Drucken von STL-Dateien aus dem Internet abgedeckt.
• Trotzdem ist bei Druckvorlagen aus dem Internet oft nicht klar, ob diese Vorlagen mit oder ohne Zustimmung des Urhebers ins Netz gestellt wurden. Hier in diesem Blog bemühen wir uns sicherzustellen, dass der Druck aus den STL-Dateien entweder wegen des Alters des entsprechenden Geduldspiels rechtefrei möglich ist oder mit Zustimmung des Urhebers erfolgt. Dabei werden mögliche Einschränkungen des Urhebers berücksichtigt.

Durch die in diesem Blog verlinkten Druckvorlagen und die dazugehörigen Abbildungen sollten also keine Rechte Dritter verletzt werden. Falls das irrtümlicherweise doch passiert, werden die entsprechenden Links und Abbildungen auf Verlangen entfernt.

Nageltrickbox

Kategorie: Trickboxen

Ein schmuckes Holzkästchen mit unbekanntem Mechanismus soll geöffnet werden.

Es gibt verschiedene Varianten der Nageltrickbox: Es ist immer eine längliche und relativ hohe Holzkiste mit einem nicht ganz fest sitzenden Deckel. Der Deckel besitzt einen locker sitzenden Holzknauf oder auch zwei. Im Inneren der Kiste klappern bewegliche Teile. Die Kiste ist schmuckvoll verziert, beispielsweise sind an den Seiten umlaufende Streifen aus verschiedenen Harthölzern. Zwischen diesen Streifen einen Zugang zu der Kiste zu finden ist allerdings der falsche Weg, die Kiste lässt sich ohne jede Gewalteinwirkung öffnen.

Übrigens: Warum heißt die Kiste eigentlich Nageltrickbox? Nachdenken hilft momentan nicht weiter und führt auch nicht zur Lösung. Aber zum Schluss kennt man die Antwort.

Schwierigkeit: Die Lösung des Geduldspiels ist einfach, aber nicht naheliegend. Ein einziger Schritt ist nötig, um die Box zu öffnen. Jean Claude Constantin vergibt 4 von 5 möglichen Sternen. Also recht schwierig.

Hersteller:  Jean Claude Constantin

Google: Nageltrickbox 

Shopping: Lieferbar, Preis ca. 40€

Peppermint Stick 5

Fünf spiralförmig (genauer: in Form einer Schraubenlinie) gebogene Stahlstäbe sehen zusammengesteckt wie ein dickes Stahlseil aus.

Man bekommt die Stäbe relativ einfach auseinander und soll sie anschließend wieder zusammenstecken. Das ist etwas schwieriger, aber mit etwas Fingerfertigkeit und Ausdauer nicht unmöglich. Das Geduldspiel ist sehr massiv, die verchromten Stäbe machen das zusammengebaute Geduldspiel zum Hingucker.

Ähnliches Geduldspiel: Sehr ähnlich ist Peppermint Stick 4 mit vier statt fünf Stahlstäben. Funktional besteht zwischen diesen kein Unterschied.

Design:  klassisch

Herstellung / Vertrieb:  Jean Claude Constantin

Google: Peppermint Stick Puzzle

Shopping: Lieferbar, Preis 10-15 €

Dice Box No. 5

Zunächst eine Vorbemerkung zu der Serie der Dice-Box-Puzzles von MiToys. Insgesamt sechs verschiedene Geduldspiele sind in dieser Serie erschienen. Die Aufgabe besteht jeweils darin, eine würfelförmige Box zu füllen, wobei die Aufgaben zu verschiedenen Geduldspieltypen gehören. Die Boxen sind aus Holz, haben eine Seitenlänge von 7cm und sind außen wie Spielwürfel dekoriert, und der Deckel ist mit der Nummer des Geduldspiels in der Serie gekennzeichnet. Die Geduldspiele werden in einer Pappkiste der doppelten Größe geliefert, die das Geduldspiel in ungelöstem Zustand enthalten. Für alle, die es benötigen, liegt auch ein Lösungszettel bei.  

Die Aufgabe bei Dice Box No. 5 besteht darin, insgesamt 18 teilweise eingekerbte Rundhölzer der Länge 3 so in sechs Schichten zu stapeln, dass Rundungen und Einkerbungen passend aufeinander treffen und insgesamt einen gut aussehenden Holzstapel ergeben.  

Bevor wir versuchen, das Geduldspiel zu analysieren, schauen wir uns erst einmal die Hölzer an und stellen fest, dass die Hölzer wiederholt vorkommen: Es gibt nur sechs verschiedene Hölzer, jedes kommt dreimal vor. 

Schwierigkeit: Natürlich versuchen wir zu Beginn, das Geduldspiel ohne großes Nachdenken zu lösen und stellen fest, dass wir mit unserem Holzstapel ziemlich weit kommen. Meist scheitern wir erst in der vorletzten oder der allerletzten Schicht. Das erweckt den Eindruck, dass das Geduldspiel nicht allzu schwierig ist. Nach einigen Versuchen sollte eine Lösung gefunden werden. Versuchen Sie es erst einmal ohne den Lösungshinweis.

Lösungshinweis: Wenn wir beim Zusammenbauen erst relativ spät scheitern, dann ist es eine gute Idee, nicht wieder komplett von vorn zu beginnen. Eine bessere Strategie ist es zu sehen, ob man durch eine Veränderung nur weniger Hölzer eine Lösung finden kann. Dieses Vorgehen funktioniert oft, wenn es verhältnismäßig viele Lösungen gibt und man durch mehr oder weniger planloses Probieren schon in die Nähe einer Lösung kommen kann.

 
 

Einschätzung: Insgesamt ein einfaches, ansprechendes Geduldspiel. Man kann auch als Anfänger durch Probieren eine Lösung in 5-15 Minuten finden. Mathematische Überlegungen helfen nicht weiter. Das Geduldspiel ist logisch äquivalent zu den Stapeln der Grundfläche 3x3 aus Brettern der Größe 3x1. Es funktioniert aber etwas anders als z.B. Golf Putting Green, da hier die Aussparungen sich auf jeweils einer Seite befinden, die Löcher bei Golf Putting Green aber durchgehend waren.

Fragen: Wenn uns wundert, dass die Hölzer mehrfach vorkommen, dann können wir versuchen herauszubekommen, wie viele verschiedenen Hölzer es in diesem Geduldspiel überhaupt geben könnte:

1. Bei jedem Holz gibt es drei Positionen, bei denen sich eine Kerbe befinden kann. Und zwar jeweils oben oder unten. Wir können die Hölzer außerdem in drei Richtungen um jeweils 180 Grad drehen und wollen solche Hölzer als identisch betrachten. Zeigen Sie, dass es dann nur 10 verschiedene Hölzer gibt.
2. Bei sechs Schichten gibt es dazwischen fünf Kontaktflächen, bei denen jeweils (mindestens) neun Aussparungen vorhanden sein müssen, damit an den neun Kreuzungspunkten niemals zwei massive Stellen der Rundhölzer aufeinandertreffen. Die Hölzer verfügen insgesamt über genau die richtige Anzahl Aussparungen. Damit wird auch klar, weshalb keine Hölzer mit nur einer Kerbe oder gar keiner Kerbe verwendet wurden. Oder?

Alternative Namen:  Stäbe mit Kerben / Rod by Rod

Hersteller: MiToys 
Erscheinungsjahr: 2007

Google: MiToys "Rod by Rod" puzzle
Shopping: Kaum noch erhältlich.

Kisten packen mit Y-Pentominos

Bei dem 125er Würfel Y galt es einen 5x5x5-Würfel mit Y-Pentominos zu füllen. Dabei hatten wir auch noch festgestellt, dass sich der etwas flachere 5x5x4-Quader mit Y-Pentominos füllen lässt. Gibt es noch mehr kleinere Kisten, die sich so füllen lassen? Wir benötigen dafür keine neuen Steine, wenn wir bereits über die 25 Y-Pentominos aus dem 125er Würfel Y verfügen. Dieser Post enthält also zusätzliche Aufgaben für den 125er Würfel Y.

Als notwendige Bedingung für die Lösbarkeit solcher Aufgaben muss eine Seitenlänge durch fünf teilbar sein, weil die Gesamtzahl aller Elementarwürfel ein Vielfaches von fünf ist.

In der folgenden Liste werden die verschiedenen mit Y-Pentominos zu füllenden Boxen angegeben, für die man maximal 25 Y-Pentominos benötigt, dazu die Anzahl der verschiedenen Lösungen. Eine vollständige Liste, auch für mehr Y-Pentominos und größere Boxen findet sich bei Torsten Sillke in [5] oder bei Michael Reid [6]:

• 10 Y-Pentominos in einer 1x5x10-Box: Der PolySolver findet 10 Lösungen. Zwei Paare von Steinen bilden jeweils ein H, das jeweils um 180 Grad gedreht werden kann. Außerdem ist noch eine Spiegelung möglich. Bis auf diese trivialen Änderungen ist dies nur eine einzige Lösung. Man findet sie auch einfach, wenn man mit der Lösung in einer Ecke beginnt.
• 12 Y-Pentominos in einer 2x5x6-Box: Drei verschiedene Lösungen. In der oberen und in der unteren Schicht können je zwei Steine zusammen gedreht werden. Der zweietagige Ring außen kann seinen Drehsinn ändern. All diese Varianten zusammen ergeben 8 Lösungen im Sinne des PolySolvers.
• 12 Y-Pentominos in einer 3x4x5-Box: Der PolySolver ermittelt 52 verschiedene Lösungen, [2] erkennt darin 9 verschiedene Lösungen. Die Unterschiede zwischen den einzelnen Lösungen sind jedoch gering wie in der 2x5x6-Box.
• 16 Y-Pentominos in einer 2x4x10-Box: Der PolySolver findet 40 Lösungen. 
• 16 Y-Pentominos in einer 2x5x8-Box: Der PolySolver ermittelt 68 verschiedene Lösungen, die sich nicht sehr unterscheiden.
• 16 Y-Pentominos in einer 4x4x5-Box: Der PolySolver ermittelt 2.128 verschiedene Lösungen, [3] erkennt darin 141 verschiedene Lösungen. 
• 20 Y-Pentominos in einer 2x5x10-Box: Der PolySolver ermittelt 628 verschiedene Lösungen. 
• 20 Y-Pentominos in einer 4x5x5-Box: Der PolySolver ermittelt 8.032 verschiedene Lösungen, [4] erkennt darin 502 verschiedene Lösungen (Faktor 16). 
• 22 Y-Pentominos in einer 2x5x11-Box: Der PolySolver ermittelt 628 verschiedene Lösungen. 
• 24 Y-Pentominos in einer 2x4x15-Box: Der PolySolver findet 3820 Lösungen. 
• 24 Y-Pentominos in einer 2x5x12-Box: Der PolySolver ermittelt 80 verschiedene Lösungen. Dies bedeutet, dass die meisten Lösungen in zwei Quader der Größe 2x5x6 zerfallen, da es dafür schon 8x8=64 (von insgesamt 89) Möglichkeiten gibt. 
• 24 Y-Pentominos in einer 3x5x8-Box: Der PolySolver ermittelt 2.848 verschiedene Lösungen. 
• 24 Y-Pentominos in einer 4x5x6-Box: Der PolySolver ermittelt 101.844verschiedene Lösungen. Natürlich können wir zwei Boxen der Größe 3x4x5 übereinanderstapeln, um 52x52=2.704 davon zu finden.
• 25 Y-Pentominos in einer 5x5x5-Box: Der PolySolver ermittelt 60.672 verschiedene Lösungen, [5] erkennt darin 1264 verschiedene Lösungen (Faktor 48). 

2x5x6-Quader und 3x4x5-Quader aus je 12 Y-Pentominos 

Weitere Informationen:

• [1] http://kociemba.org/themen/125puzzle/5x6x2.html
• [2] http://kociemba.org/themen/125puzzle/4x5x3.html
• [3] http://kociemba.org/themen/125puzzle/4x4x5.html
• [4] http://kociemba.org/themen/125puzzle/5x5x4.html
• [5] https://www.math.uni-bielefeld.de/~sillke/PENTA/qu5-y
• [6] https://cflmath.com/Polyomino/boxes.html 

(Update: 2/2022)

Zahlenlabyrinth

Die folgenden sieben Pentominos sind beidseitig verwendbar und sollen in ein 6x6-Quadrat gelegt werden: I, L, N, P, U, X und Y. Die Pentominos sind aus gelbem Kunststoff (oder auch in einer anderen Farbe) und sollen ein einen recht massiven schwarzen Plastikrahmen untergebracht werden. Dabei bleibt genau ein Elementarquadrat frei. 

Die Elementarquadrate auf dem Spielbrett sind von 1 bis 36 nummeriert, so dass man 36 Aufgabenstellungen vor sich hat, wenn man ein bestimmtes Elementarquadrat frei lassen möchte. Doch wegen der Symmetrie auf dem 6x6-Spielbrett sind es eigentlich nur weniger verschiedene Aufgaben, und zwar nur sechs. 

Und wenn man es sich nicht so kompliziert machen will, bleibt noch die folgende Vereinfachung: Es ist egal, welches Feld frei bleibt. Wir versuchen einfach, die fünf Pentominos unterzubringen und freuen uns über diesen Erfolg. Da wir sozusagen ein „Reservefeld“ zur Verfügung haben, ist es nicht schwer, hierfür eine Lösung zu finden. 

Schwierigkeit: Insgesamt also ein schönes Geduldspiel mit Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen, auch für Anfänger geeignet.

Frage 1: Wieso reduziert sich die Anzahl der Aufgaben unter Berücksichtigung der Symmetrie von 36 auf sechs?

Frage 2: Wie viele Lösungen gibt es für jede der sechs Aufgaben? Hier kann der PolySolver helfen.

Hersteller:  Logika

Google: Zahlenlabyrinth Logika

Shopping: Lieferbar, Preis ca. 10€

Ebene Polyformen (Übersicht)

Dieser Post dient dazu, die Übersicht bei den verschiedenen Polyformen und ihren Namen zu wahren. (Zum Beispiel: Anders als man denken könnte, bestehen Hexiamonds nicht aus Sechsecken.)

Ebene Polyformen

In der Ebene gibt es verschiedene Gitter, die sich aus jeweils gleichen, regelmäßigen N-Ecken zusammensetzen lassen. Das bekannteste ist das quadratische Gitter (N=4), aber es klappt auch mit gleichseitigen Dreiecken (N=3) und regelmäßigen Sechsecken (N=6). 

Ebene Polyformen bestehen jeweils aus mehreren benachbarten Gitterzellen, die jeweils eine gemeinsame Gitterkante haben müssen. Anders ausgedrückt besteht eine Polyform aus mehrere identischen regelmäßigen N-Ecken (N=3,4 oder 6), die jeweils an komplette Kanten gemeinsam haben.

Eine zusätzliche Option besteht darin, ob wir die Polyformen bei einem Geduldspiel wenden dürfen (zweiseitige Polyformen) oder nicht (einseitige Polyformen). Sobald es Polyformen gibt, die nicht spiegelsymmetrisch sind, gibt es mehr einseitige als zweiseitige Polyformen.

Quadratisches Gitter: Polyominos

Polyominos sind eine Verallgemeinerung von Dominos: Ein Polyomino besteht aus mehreren Elementarquadraten, die entlang ganzer Kanten zusammengefügt wurden. Wir sprechen auch von n-Ominos, wenn die betrachteten Polyominos jeweils aus genau n Elementarquadraten bestehen. In Abhängigkeit von n unterscheiden wir die folgenden n-Ominos:

• n=1: Monomino. Es gibt offensichtlich genau ein Monomino in Form eines Elementarquadrates.
n=2: Domino. Es gibt wieder genau ein Domino bestehend aus zwei Elementarquadraten in der klassischen Form.
n=3: Triomino (manchmal auch: Tromino). Es gibt zwei verschiedene Triominos, die wegen ihrer Ähnlichkeit zu den entsprechenden Buchstaben mit I und L bezeichnet werden.
n=4: Tetromino: Die fünf möglichen Tetrominos werden üblicherweise mit den Buchstaben I, L, O, T und Z bezeichnet.
n=5: Pentomino: Die zwölf möglichen Pentominos werden üblicherweise mit den Buchstaben F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y und Z bezeichnet. 
n=6: Hexomino: Es gibt 35 verschiedene Hexominos.
n=7: Heptomino: Es gibt 108 verschiedene Heptominos.
n=8: Oktomino: Es gibt 369 verschiedene Oktominos.
n=9: Enneominos: Es gibt 1285 verschiedene Enneominos.

Diese Anzahlen bilden eine Zahlenfolge, und die hat in der Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) die Nummer A000105. Von n=1 bis n=30 geht die Zahlenfolge folgendermaßen:
1, 1, 2, 5, 12, 35, 108, 369, 1285, 4655, 17073, 63600, 238591, 901971, 3426576, 13079255, 50107909, 192622052, 742624232, 2870671950, 11123060678, 43191857688, 168047007728, 654999700403, 2557227044764, 9999088822075, 39153010938487, 153511100594603, ...

Die kompletten Sätze von Heptominos oder Oktominos usw. werden kaum für Geduldspiele verwendet, da die Schwierigkeit, eine von wenigen Lösungen zu finden, extrem steigt. Auch der Computer ist schnell überfordert.

Dreieckgitter: Polyamonds

Analog wie oben bilden wir Polyamonds aus gleichseitigen Dreiecken; n-Iamonds sind Polyamonds aus genau n Dreiecken. Statt Rechtecken kann man diesmal größere gleichseige Dreiecke, Parallelogramme oder Trapeze daraus legen.

Interessant sind vollständige Sätze von n-Iamonds vor allem für n=6 bis n=9:

• n=6: Hexiamond: Es gibt 12 verschiedene Hexiamonds. Damit lassen sich beispielsweise das 4x9- und das 6x6-Parallelogramm füllen.
• n=7: Heptiamond: Es gibt 24 verschiedene Heptiamonds. Damit lassen sich beispielsweise die folgenden Parallelogramme füllen: 7x12, 6x14, 4x21 und 3x28.
• n=8: Oktiamond: Es gibt 66 verschiedene Oktiamonds. Damit lassen sich beispielsweise die folgenden Parallelogramme füllen: 4x66, 6x44, 8x33, 11x24, 12x22.
• n=9: Enneiamonds: Es gibt 160 verschiedene Enneiamonds. 

Auch diese Zahlenfolge findet sich in der Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) und trägt die Nummer A000577. Von n=1 bis n=30 geht die Zahlenfolge folgendermaßen:
1, 1, 1, 3, 4, 12, 24, 66, 160, 448, 1186, 3334, 9235, 26166, 73983, 211297, 604107, 1736328, 5000593, 14448984, 41835738, 121419260, 353045291, 1028452717, 3000800627, 8769216722, 25661961898, 75195166667, 220605519559, 647943626796, ...

Sechseckgitter: Polyhexen

Aus Polyhexen lassen sich oft viele Muster legen, was aber bei einer großen Anzahl von Steinen trotzdem kompliziert sein kann.

Diesen Polyhexen ist ein eigenes Post gewidmet.

Mehr Informationen zu Polyformen:

• http://www.recmath.com/PolyPages/indexD.htm
• http://www.mathematische-basteleien.de/pentominos.htm
• https://demonstrations.wolfram.com/PolyformExplorer/
• http://polyominoes.org/count

Philos Seilpuzzle Nr. 8

Das Seilpuzzle Nr. 8 ist im Aufbau recht ähnlich zum Philos Seilpuzzle Nr. 7. Auf einer Grundplatte steht wieder ein Gerüst, es besteht wieder aus drei Stäben, die diesmal einzeln stehen und durch zwei Reifen verbunden sind. Der längste Stab ist über dem oberen Reifen wieder mit einer Kugel verziert.

Zusätzlich ist auf der Bodenplatte eine lange Schlaufe mit beiden Enden befestigt. Auf dem Doppelseil steckt ein roter Ring, den man aber nicht sofort befreien kann, weil die Schlaufe durch das Gerüst gesteckt wurde. Da das Gerüst völlig unbeweglich ist und der rote Ring nirgendwo durch das Gerüst passt, sind Bewegungen des roten Ringes nicht zielführend. Stattdessen sollte man die Seilschlaufe aus dem Gerüst zu befreien versuchen.

Lösungshinweis: Schnell wird klar, dass die Schlaufe irgendwann über die Kugel ganz oben gehoben werden muss. Aber was muss sonst noch getan werden?

 

Hersteller und Artikelnummer:  Philos 6137
Erscheinungsjahr: 2005

Google: Philos 6137
Shopping: Neu oder gebraucht lieferbar, Preis 5-15€

Serpentiles

Bei Serpentiles sollen geschlossene Pfade aus vorgegebenen Steinen gelegt werden.

Gegeben sind 19 Spielteile in Form von Elementarquadraten oder Dominos mit einseitig aufgedrucktem Pfad. Es gibt Pfadstücken in zwei unterschiedlichen Farben und drei quadratische Spielsteine für Farbwechsel des entsprechenden Pfades. Auf Aufgabenkarten werden 40 Aufgaben in vier verschiedenen Schwierigkeitsstufen gestellt: Die Vorderseite enthält die nötigen Spielsteine, aus denen jeweils ein geschlossener Pfad gebildet werden soll. Löcher im Inneren des Pfades sind erlaubt.

Für jede Aufgabe gibt es genau eine Lösung, und diese ist auf der Rückseite abgebildet. Eigentlich sollte man die Lösung nicht benötigen, denn allzu schwer sind die Aufgaben nicht. Ein Tipp aus eigener Erfahrung: Aufpassen sollte man bei der Auswahl der auf der Aufgabenkarte abgebildeten Steine. Wenn man da daneben greift, muss man sich nicht wundern, wenn man keine Lösung findet.

Hersteller:  Thinkfun

Erscheinungsjahr: 2008

Google: Serpentiles Thinkfun
Shopping: Schwer zu finden, neu z.B. bei www.sloyd.fi, ca. 18€

Gebraucht manchmal bei ebay, Preis ca. 10€