Welt der Geduldspiele: Acht Elementarwürfel zusammenstecken

17.5.25

Acht Elementarwürfel zusammenstecken

Aus acht Elementarwürfeln kann man neben dem 2x2x2-Würfel noch weitere Formen legen. Im Folgenden soll eine Übersicht über solche Formen gegeben werden, da bei verschiedenen Geduldspielen aus acht Elementarwürfeln immer wieder Aufgaben gestellt werden, solche Figuren zu legen. Hier eine Liste derartiger Geduldspiele aus unserem Blog.

Geduldspiele aus einzelnen Elementarwürfeln. Hier ist jede zusammenhängende Form aus acht Würfeln denkbar, aber natürlich nicht unbedingt lösbar.

Geduldspiele aus verketteten Halbwürfeln. Hier werden immer zwei Steine zu einer Art geschlossener Kette zusammengehängt und der letzte Halbwürfel muss im ersten hängen.

Und noch mehr werden folgen.

Wir wollen hier nur den zweiten Fall der verketteten Halbwürfel betrachten. Welche Formen lassen sich aus acht in einem Ring zusammenhängenden Einzelwürfeln bilden? Dies sind genau die folgenden 11 Möglichkeiten:

Die Formen G, H und I lassen sich nicht durch Rotation in die jeweils gespiegelte Form überführen. Damit müssen die gespiegelten Formen zusätzlich betrachtet werden, falls die Menge der Halbwürfel des entsprechenden Geduldspiels nicht zu jedem Halbwürfel auch sein Spiegelbild enthält.

Aus mathematischer Sicht ist die Lage folgendermaßen: Zunächst konstruieren wir aus der aus acht Würfeln zusammengesetzten Form einen Graphen. Wir betrachten statt der acht Würfel im quadratischen Gitter jeweils nur deren Mittelpunkte und verbinden die Mittelpunkte von je zwei Würfeln, die eine Seitenfläche gemeinsam haben, da diese Würfel in der Kette benachbart sein könnten. In diesem Graphen suchen wir nach einem sogenannten Hamiltonschen Zyklus: Das ist ein geschlossener Weg in dem Graphen, der jeden Knoten genau einmal enthält. Im Bild links finden wir einen solchen Hamiltonschen Zyklus, im rechten Bild nicht.

Finden wir keinen solchen Hamiltonschen Zyklus wie im Bild rechts, dann kann das Geduldspiel mit verketteten Halbwürfeln keine Lösung haben.

Auch sonst lassen sich nicht notwendigerweise alle denkbaren Formen aus den konkret vorgegebenen Halbwürfeln eines Geduldspiels legen. Für die Halfcube-Puzzles von Vinco gibt es die schöne Zusammenstellung aus [1], gezeigt mit freundlicher Genehmigung von Vinco. Für die verschiedenen Geduldspiele aus Halbwürfeln wird gezeigt, wie viele verschiedene Lösungen es für die einzelnen Aufgaben gibt.