Bei Symmetriepuzzles müssen einige wenige Teile (meist 2-4) so aneinandergelegt werden, dass sich insgesamt eine symmetrische Form ergibt. Dabei müssen alle Teile flach auf dem Tisch liegen und dürfen sich nicht überlappen. Wir wollen hier solche Symmetriepuzzles auf dem quadratischen Gitter untersuchen. Dabei bestehen die Teile aus mehreren Elementarquadraten und diese sollen entlang des quadratischen Gitters liegen.
Damit dürfen alle Teile gespiegelt oder um Vielfache von 90 Grad gedreht werden. Wir wollen hier die verschiedenen Lagen der Symmetrieachse bzw. des Mittelpunktes der Drehung betrachten und dazu jeweils Beispiele für entsprechende Symmetriepuzzles aus Pentominos betrachten.
Wenn Sie Pentominos zur Hand haben oder mit 3D-Druck selber drucken wollen (Sie finden die STL-Files für Pentominos und Hexominos in der Sammlung zum Blog auf Thingiverse sowie bei Printables), können Sie die Beispiele unten als zu lösende Symmetriepuzzles verwenden.
Spiegelsymmetrie
Die Symmetrieachse kann entweder parallel oder in einem Winkel von 45 Grad zu einer Gitterlinie verlaufen. Betrachten wir zunächst die Spiegelung parallel zu einer Gitterlinie. Wir müssen nur Spiegelsymmetrie entlang einer senkrechten Symmetrieachse betrachten, im Fall einer waagerechten Symmetrieachse können wir das ganze Gitter um 90 Grad drehen.
Im einfachsten Fall ist die Symmetrieachse gleich einer Gitterlinie, dann ist die breite der Figur geradzahlig:
Die Symmetrieachse kann aber auch um eine halbe Gitterbreite verschoben sein, dann ist die breite der Figur ungerade:
Verläuft die Symmetrieachse schräg, so muss dies in einem Winkel von 45 Grad sein und die Symmetrieachse muss durch Gitterpunkte verlaufen. Höhe und Breite der Figur sind gleich.
Rotationssymmetrie
Wie wollen uns nur für Rotationssymmetrie bei Drehung um 180 Grad interessieren. Zwar würde das Quadratgitter in einigen Fällen auch Drehungen um 90 Grad zulassen, aber da zweimalige Drehung um 90 Grad einer Drehung um 180 Grad entspricht, besitzen alle rotationssymmetrischen Lösungen automatisch eine 180-Grad-Symmetrie.
Auch hier ist es nur der einfachste Fall, dass der Mittelpunkt der Drehung in einem Gitterpunkt liegt. Höhe und Breite der Figur sind dann geradzahlig.
Als zweite Möglichkeit kann der Mittelpunkt der Drehung auch in der Mitte eines Gitterquadrates liegen. Höhe und Breite der Figur sind beide ungerade.
Es gibt noch eine dritte Möglichkeit, nämlich dass der Mittelpunkt der Drehung in der Mitte einer Gitterkante liegt. Dann sind von Höhe und Breite eine geradzahlig, die andere ungerade.
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