Es gibt 108 verschiedene Heptominos, die aus insgesamt 756 Elementarquadraten bestehen. Mit diesen Steinen kann man kein Rechteck komplett füllen, da eines der Heptominos ein Loch enthält, welches niemals gefüllt werden kann. Aber viele andere Formen sind möglich, welche ein oder auch mehrere Löcher enthalten.
Schwierigkeit: Für sehr ambitionierte Puzzler sind diese Geduldspiele von Hand lösbar. Es gibt jeweils sehr viele verschiedene Lösungen. Hier soll jeweils eine Lösung angegeben werden, da es praktisch unmöglich ist, sich eine solche Lösung schnell einzuprägen. Man wird also automatisch nach einer anderen Lösung suchen.
3D-Druck: Ein Satz Heptominos lässt sich mit 3D-Druck herstellen: Im Post Heptominos in 8x8-Box finden Sie die Links zur Sammlung zum Blog auf Thingiverse sowie zu Printables.
Lösung mit Computer: Die hier vorgestellten Aufgaben bereiten auch bei der automatischen Lösung erste Schwierigkeiten. Für die ersten Lösungen benötigt Polycube [1] Minuten bis Stunden. Die hier gezeigten Lösungen wurden mit mit Polycube Vers. 1.2.1 ermittelt, dazu wurde die Standard-Kommandozeile
polycube.exe -V -p -- Eingabedatei > Ausgabedatei
verwendet. Von den vielen weiteren möglichen Parametern wurde kein Gebrauch gemacht. Das werden wir erst tun, wenn die Standardeinstellungen nicht mehr ausreichen, um eine Lösung zu finden.
Die Struktur der Eingabedatei ist einfach, Beispiele gibt es zusammen mit dem Programm bei [1].
Viele der unten gefüllten Rahmen sind (mit anderen Lösungen) bereits länger bekannt und finden sich bei [2] (Nr. 7, 8, 9) und [3] (Nr. 12). Die Aufgaben Nr. 13 wurde bereits 1965 von David Bird gelöst [4].
Mehr Infos:
[1] www.mattbusche.org
[2] https://www.facebook.com/groups/puzzlefun/posts/10160101155890152/
[3] https://polyominoes.blogspot.com/2021/03/some-assorted-solutions.html
[4] http://www.recmath.com/PolyPages/PolyPages/index.htm?Polyominoes.html
Beginnen wir mit Rechtecken. Diese müssen mindestens ein Loch enthalten und also mindestens eine Fläche von 757 besitzen. Allerdings ist 757 eine Primzahl und die folgende Zahl 758=2*379 auch ungeeignet, da es Steine mit Breite 3 gibt. Als nächstes sind Rechtecke mit drei zusätzlichen Löchern möglich: 759=3*11*23. Wir können also auf Rechtecke der Größe 33x23 und 69x11 mit jeweils drei Löchern hoffen. Für die Lage der drei Löcher haben wir jeweils viele Optionen und werden einige auswählen.
Aufgabe 1: Rechteck 33x23 mit drei Löchern eng stehend
Aufgabe 2: Rechteck 33x23 mit drei Löchern weit stehend
Dieser Rahmen wird uns noch einmal beschäftigen, da er sich durch zwei senkrechte Schnitte in drei gleiche Teile (mit jeweils einem Loch in der Mitte) zerlegen lässt. Das ist spannend, aber auch echt kompliziert und einen extra Post wert.
Aufgabe 3: Rechteck 69x11 mit drei Löchern im Abstand 2
Vergrößern wir die Fläche der Steine um 9 Elementarquadrate, dann beträgt sie 765=3*3*5*17. Das Rechteck mit der größten Breite ist hier 45x17.
Aufgabe 5: Rechteck 45x17 mit neun Löchern im Quadrat
Aufgabe 6: Rechteck 45x17 mit neun Löchern in einer langen Reihe
Eine weitere Möglichkeit ist ein Quadrat der Seitenlänge 28 mit 28 Löchern: 756 = 28*27 = 28*28 - 28. Hier bieten sich wirklich viele Möglichkeiten für die Platzierung der 28 Löcher an.
Aufgabe 7: Quadrat 28x28 mit 28 Löchern (Variante a)
Aufgabe 8: Quadrat 28x28 mit 28 Löchern (Variante c)
Aufgabe 9: Quadrat 28x28 mit 28 Löchern (Variante d)
Aufgabe 10: Quadrat 28x28 mit 28 Löchern (Variante f)
Aufgabe 11: Quadrat 29x29 mit abgerundeten Ecken und einem Loch in der Mitte
Wenn wir den zugrunde liegenden Rahmen von 28x28 auf 29x29 vergrößern, benötigen wir mehr Leerfelder. Diese können wir nutzen, um die Ecken abzurunden.
Schließlich können wir uns noch Rhomben betrachten: Ein Rhombus mit einer Diagonale aus 39 Elementarquadraten besteht aus 761 Elementarquadraten, wir haben also fünf Löcher zu vergeben.
Aufgabe 12: Rhombus mit Diagonale 39 und fünf Löchern
Aufgabe 13: Rhombus mit Diagonale 39 mit abgerundeten Ecken und einem zentralen Loch
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