Schachbrett-Puzzle

Kategorie: Pentominos in rechteckige und andere Rahmen packen

Nachdem wir bereits ein 8x8-Quadrat mit Pentominos und einem zusätzlichen 2x2-Quadrat gefüllt haben, können wir als zusätzliche Schwierigkeit das Schachbrettmuster hinzunehmen. Wir können uns vorstellen, dass die Steine durch das Zersägen eines Schachbretts (entlang der Feldgrenzen) entstanden sind und wir das Schachbrett wieder zusammensetzen sollen. Damit wäre zumindest die Lösbarkeit gesichert.

Das Schachbrett-Puzzle steckt in einer flachen Holzbox, die auf dem Deckel mit einem Schachbrett verziert ist. Die Steine sind aus Elementarwürfeln abwechselnd aus hellem und dunklen Holz zusammengesetzt. 

Also nehmen wir alle Steine aus der Box, vermischen diese und versuchen, sie wieder hineinzulegen. Wie vielleicht schon befürchtet ist dies schwieriger als gedacht. Als Vereinfachung können wir natürlich das Schachbrettmuster ignorieren und erst einmal alle Steine zurück in die Box legen. Das ist ein vergleichsweise einfaches Geduldspiel, dafür gibt es viele tausend Möglichkeiten. Wenn wir das Schachbrettmuster berücksichtigen, wird es kompliziert. Das Maximum an Kompliziertheit ist noch nicht ganz erreicht: Wir können zusätzlich fordern dass das eigentlich nicht zugehörige 2x2-Quadrat genau in der Mitte liegt. Dann gibt es (bis auf Symmetrie) nur noch genau eine Lösung.

Wenn wir den zusätzlichen 2x2-Stein jetzt beiseitegelegt haben, können wir natürlich fragen, ob andere Aufgaben für Pentominos unter zusätzlicher Berücksichtigung des Schachbrettmusters lösbar sind. Die Standard-Aufgabe ist das 6x10-Rechteck, ähnlich einfach ist ohne Schachbrettmuster das 5x12-Rechteck. Beide sind lösbar, aber wieder schwierig. Ebenso das 8x8-Quadrat mit ausgeschnittenen Ecken.

Frage: Und dann sind da natürlich noch die Quader der Größen 3x4x5 und 2x5x6. Sind diese Aufgaben auch lösbar?

Lösungshinweise: Falls uns eine der Aufgaben zu schwierig wird, können wir automatische Hilfe mit dem PolySolver suchen. Um das Schachbrettmuster zu modellieren, können wir zu dem Gitter Octagon (4,8,8) greifen. Wenn man es um 45 Grad gedreht betrachtet, dann besteht abwechselnd aus großen und kleinen Quadraten als Modell für die schwarzen und weißen Schachbrettfelder Dabei wurden den großen Quadraten noch die Ecken abgeschnitten, so dass es sich eigentlich um Achtecke handelt. Eine Lösung für das Schachbrett gefüllt mit den Steinen von oben sieht dann folgendermaßen aus:

Erkennen Sie die verschiedenen Pentominos wieder?

Hier finden Sie die PolySolver-Dateien für die verschiedenen oben genannten Aufgaben und dazu die Anzahl der vom PolySolver berechneten Anzahl von Lösungen. Dabei ist Symmetrie nicht berücksichtigt:

• Polysolver-Datei für Schachbrett mit Muster füllen aus den Steinen oben: Pentominoes_plus2x2_checkerboard_WdG.psv: 340 PolySolver-Lösungen
• Polysolver-Datei für zusätzliche Forderung: Der 2x2-Stein befindet sich im Zentrum: Pentomino_checkerboard_in_8x8_minus2x2_center_WdG.psv: 4 PolySolver-Lösungen
• Polysolver-Datei für ein 6x10-Rechteck mit den Pentominos gefüllt (also ohne den 2x2-Stein): Pentomino_checkerboard_in_6x10_WdG.psv: 6 PolySolver-Lösungen
• Polysolver-Datei für ein 5x12-Rechteck mit den Pentominos gefüllt (also ohne den 2x2-Stein): Pentomino_checkerboard_in_5x12_WdG.psv: 8 PolySolver-Lösungen
• Polysolver-Datei für Schachbrett mit ausgeschnittenen Ecken mit den Pentominos gefüllt (also ohne den 2x2-Stein): Pentomino_checkerboard_in_8x8_minus_corners_WdG.psv: 28 PolySolver-Lösungen

Ähnliche Geduldspiele: Schach-Puzzle (Logoplay)

Design:  Ili Kaufmann
Hersteller und Artikelnummer:  Rombol 6230
Erscheinungsjahr: 1999

Google: Rombol 6230, Pentomino Schachpuzzle

Shopping: Lieferbar, Preis ca. 15€

Kisten packen mit Y-Pentominos

Bei dem 125er Würfel Y galt es einen 5x5x5-Würfel mit Y-Pentominos zu füllen. Dabei hatten wir auch noch festgestellt, dass sich der etwas flachere 5x5x4-Quader mit Y-Pentominos füllen lässt. Gibt es noch mehr kleinere Kisten, die sich so füllen lassen? Wir benötigen dafür keine neuen Steine, wenn wir bereits über die 25 Y-Pentominos aus dem 125er Würfel Y verfügen. Dieser Post enthält also zusätzliche Aufgaben für den 125er Würfel Y.

Als notwendige Bedingung für die Lösbarkeit solcher Aufgaben muss eine Seitenlänge durch fünf teilbar sein, weil die Gesamtzahl aller Elementarwürfel ein Vielfaches von fünf ist.

In der folgenden Liste werden die verschiedenen mit Y-Pentominos zu füllenden Boxen angegeben, für die man maximal 25 Y-Pentominos benötigt, dazu die Anzahl der verschiedenen Lösungen. Eine vollständige Liste, auch für mehr Y-Pentominos und größere Boxen findet sich bei Torsten Sillke in [5] oder bei Michael Reid [6]:

• 10 Y-Pentominos in einer 1x5x10-Box: Der PolySolver findet 10 Lösungen. Zwei Paare von Steinen bilden jeweils ein H, das jeweils um 180 Grad gedreht werden kann. Außerdem ist noch eine Spiegelung möglich. Bis auf diese trivialen Änderungen ist dies nur eine einzige Lösung. Man findet sie auch einfach, wenn man mit der Lösung in einer Ecke beginnt.
• 12 Y-Pentominos in einer 2x5x6-Box: Drei verschiedene Lösungen. In der oberen und in der unteren Schicht können je zwei Steine zusammen gedreht werden. Der zweietagige Ring außen kann seinen Drehsinn ändern. All diese Varianten zusammen ergeben 8 Lösungen im Sinne des PolySolvers.
• 12 Y-Pentominos in einer 3x4x5-Box: Der PolySolver ermittelt 52 verschiedene Lösungen, [2] erkennt darin 9 verschiedene Lösungen. Die Unterschiede zwischen den einzelnen Lösungen sind jedoch gering wie in der 2x5x6-Box.
• 16 Y-Pentominos in einer 2x4x10-Box: Der PolySolver findet 40 Lösungen. 
• 16 Y-Pentominos in einer 2x5x8-Box: Der PolySolver ermittelt 68 verschiedene Lösungen, die sich nicht sehr unterscheiden.
• 16 Y-Pentominos in einer 4x4x5-Box: Der PolySolver ermittelt 2.128 verschiedene Lösungen, [3] erkennt darin 141 verschiedene Lösungen. 
• 20 Y-Pentominos in einer 2x5x10-Box: Der PolySolver ermittelt 628 verschiedene Lösungen. 
• 20 Y-Pentominos in einer 4x5x5-Box: Der PolySolver ermittelt 8.032 verschiedene Lösungen, [4] erkennt darin 502 verschiedene Lösungen (Faktor 16). 
• 22 Y-Pentominos in einer 2x5x11-Box: Der PolySolver ermittelt 628 verschiedene Lösungen. 
• 24 Y-Pentominos in einer 2x4x15-Box: Der PolySolver findet 3820 Lösungen. 
• 24 Y-Pentominos in einer 2x5x12-Box: Der PolySolver ermittelt 80 verschiedene Lösungen. Dies bedeutet, dass die meisten Lösungen in zwei Quader der Größe 2x5x6 zerfallen, da es dafür schon 8x8=64 (von insgesamt 89) Möglichkeiten gibt. 
• 24 Y-Pentominos in einer 3x5x8-Box: Der PolySolver ermittelt 2.848 verschiedene Lösungen. 
• 24 Y-Pentominos in einer 4x5x6-Box: Der PolySolver ermittelt 101.844verschiedene Lösungen. Natürlich können wir zwei Boxen der Größe 3x4x5 übereinanderstapeln, um 52x52=2.704 davon zu finden.
• 25 Y-Pentominos in einer 5x5x5-Box: Der PolySolver ermittelt 60.672 verschiedene Lösungen, [5] erkennt darin 1264 verschiedene Lösungen (Faktor 48). 

2x5x6-Quader und 3x4x5-Quader aus je 12 Y-Pentominos 

Weitere Informationen:

• [1] http://kociemba.org/themen/125puzzle/5x6x2.html
• [2] http://kociemba.org/themen/125puzzle/4x5x3.html
• [3] http://kociemba.org/themen/125puzzle/4x4x5.html
• [4] http://kociemba.org/themen/125puzzle/5x5x4.html
• [5] https://www.math.uni-bielefeld.de/~sillke/PENTA/qu5-y
• [6] https://cflmath.com/Polyomino/boxes.html 

(Update: 2/2022)

PolySolver (Software)

PolySolver (kurz für PolyForm Puzzle Solver) ist ein frei verfügbares Java-Programm von Jaap Scherphuis und löst eine große Klasse von Polyform-Geduldspielen für uns. Der PolySolver ist einfach zu bedienen und man kann die Konfigurationen für einzelne Geduldspiele abspeichern oder auch fertig downloaden.

Verschiedene zugrundeliegende Bausteine für Polyformen sind möglich: Diese sog. Gitter können nicht nur aus Quadraten bestehen, sondern auch Dreiecke (wie im Bild), Sechsecke und andere Gitter sind möglich. Auch dreidimensionale Polyformen sind möglich, bei der aktuellen Version 3.30 können diese allerdings nur aus Würfeln bestehen.

Anwendung: 

Wir können den PolySolver verwenden, wenn wir aufgegeben haben, weil wir ein Geduldspiel nicht ohne Hilfe lösen können. Oder wenn wir die genaue Anzahl von Lösungen wissen wollen. Da der Aufwand für die vollständige Analyse eines Geduldspiels exponenziell mit der Anzahl der verwendeten Spielsteine steigt, sind auch mit dem PolySolver nur Geduldspiele bis zu einer gewissen Größe lösbar. Für die üblichen Geduldspiele reicht die Leistungsfähigkeit allemal.

Mit zusätzlichen Tricks lassen sich auch andere Geduldspiele äquivalent in automatisch lösbare Polyform-Puzzles umwandeln, denen man das zunächst nicht ansieht.

Download:

Jar-File (sofort lauffähig auf fast allen Plattformen) und Kurzanleitung (in Englisch):  https://www.jaapsch.net/puzzles/polysolver.htm. Das Programm kann PolySolver-Dateien aus dem Internet herunterladen und Nutzer können ihre eigenen Dateien hochladen.

Verwendung im Blog:

Da mit Hilfe des PolySolvers gewonnene Erkenntnisse die Lösung eines Geduldspiels vereinfachen können (neben dem Bild mit einer Lösung auch Informationen über eine große oder kleine Anzahl von Lösungen oder die Zeitdauer, die der PolySolver benötigt hat), sollen diese Ergebnisse dem Leser nicht unvorbereitet ins Auge fallen. Deshalb werden sie wie die Lösungshinweise hinter einem Button versteckt. 

Lösungshinweis:

Zehn Y-Pentominos in einem 5x10-Rechteck

 

Dahinter verstecken sich möglicherweise folgende Informationen:

• Anzahl der gefundene Lösungen;
• die dafür benötigte Zeit;
• die Abbildung einer Lösung (nur wenn es viele Lösungen gibt und durch das Anzeigen einer einzigen Lösung nicht die gesamte Freude an einer eigenen Lösung genommen wird);
• die PolySolver-Datei für das Geduldspiel zum Download.

Es gibt bereits in vielen Blogposts fertige PolySolver-Dateien oder andere PolySolver-Informationen.

Entwicklung:  Jaap Scherphuis, seit 2004, letzte Version 3.30 von 2019

IQ Steps

Das Puzzle besteht aus acht Polyform-Spielsteinen in zwei Etagen: Als Elementarform dient ein dicker Ring; fünf der Steine bestehen aus jeweils fünf solchen Elementarformen, drei aus je sechs.  Diese sollen in einen Rahmen gelegt werden, der Platz für 50 Elementarformen bietet. 

Wie andere Geduldspiele aus der IQ-Serie ist IQ-Steps in einer flachen Schachtel mit transparentem Klappdeckel verpackt und ein Begleitheft enthält 120 Aufgaben verschiedener Schwierigkeitsgrade. Dabei sind jeweils einige Steine platziert und die Aufgabe besteht darin, die restlichen Steine hinzuzufügen. Für jede Aufgabe gibt es genau eine Lösung, diese ist auch im Heft enthalten.

Schwierigkeit: Beim Einpacken aller Steine bleibt Platz für weitere sieben Elementarformen. Das ist mehr als ein ganzer weiterer Stein, deshalb sollte das Puzzle viele Lösungen haben und nicht so schwierig sein. Die erste Aussage des letzten Satzes wird sich als richtig herausstellen, die zweite leider nicht so ganz. Das liegt daran, dass die Ringe sowohl zeilenweise wie auch in beiden Etagen versetzt angeordnet werden müssen. Dies fordert das räumliche Vorstellungsvermögen sehr heraus.

Ähnliche Geduldspiele: Mit dem PolySolver können wir auch andere Spielsteine testen und Puzzles mit neuen Aufgaben konstruieren, beispielsweise auch Versionen ohne verbleibende Lücken:

Expandierte Version mit vergrößerten Steinen, so dass keine Lücke bleibt: Bei sieben verbleibenden Leerstellen kann man beispielsweise versuchen, sieben der Steine um jeweils eine Elementarform zu vergrößern. Bei der Abbildung in der PolySolver-Info unten wurde das auf eine Weise getan, dass es nur noch eine einzige Lösung gibt. Damit sollte diese Variante extrem schwierig sein.

Lösungshinweis: Betrachtet man das Spielbrett um 45 Grad gedreht, so erscheint ein gewöhnliches quadratisches Gitter. Auf diesem lassen sich die Spielsteine mit Quadraten bilden. In jeder Etage ergeben sich Polyominos (Dominos oder Triominos), die zwei Etagen sind jedoch auf ungewöhnliche Art verbunden: Denkt man sich jedes Elementarquadrat aus vier noch kleineren Quadraten mit halber Seitenlänge zusammengesetzt, dann sind die Quadrate in zwei verschiedenen Schichten jeweils nur durch solch ein kleineres Quadrat verbunden. Diese Sicht auf die Steine ermöglicht aber nun die Lösung mit dem PolySolver.

 

PolySolver-Info: PolySolver: Der PolySolver findet nach einigen Minuten insgesamt 1.300.910 Lösungen. Die tatsächliche Anzahl von Lösungen ist nur die Hälfte, da sich jeweils zwei Lösungen nur durch eine 180Grad-Wendung unterscheiden. Hier die dazugehörige PolySolver-Datei.

Für die expandierte Version wurden die Steine so vergrößert, dass es jetzt sechs Steine aus jeweils sechs Elementarformen gibt und zwei aus je sieben. Hier die dazugehörige PolySolver-Datei. Die einzige Lösung sieht folgendermaßen aus (die zwei Schichten sind nebeneinander abgebildet):

Der PolySolver findet zwei Lösungen, diese sind aber symmetrisch.

 

Hersteller: Smart Games

Erscheinungsjahr: 2013

Google: IQ Steps
Shopping: Kaum noch lieferbar, Preis ca. 10€

P&L Packing

Eigentlich ganz einfach: In eine Kiste soll mit 5 L-Pentominos und 5 P-Pentominos gefüllt werden. Da beide Pentominos zu den gutmütigen Pentominos gehören, geht es sicher schnell. Okay, es gibt zwei Nebenbedingungen, die es vielleicht etwas komplizierter machen: Die Kiste ist zwei Höheneinheiten hoch, aber die untere Schicht ist von der Größe 5x7 und damit größer als die obere Schicht mit 3x5. Und zugänglich ist die Kiste nur durch eine Öffnung von der Größe der oberen Schicht, die darunterliegende, größere Schicht ist zum Teil im massiven Rahmen versteckt. Und noch eine zusätzliche Herausforderung: Eines der L’s ist an einer Stirnseite mit der Zahl 31 beschriftet (dazu gleich mehr), und diese Zahl 31 soll oben in der Mitte des Geduldspiels herausschauen.

P&L Packing war ein Austauschpuzzle von Grant Smith, hergestellt von Mr. Puzzle Australia zu IPP31 im Jahr 2011. Deshalb die 31 auf dem L-Pentomino.

Wie alle Geduldspiele von Mr. Puzzle Australia ist P&L Packing handwerklich sehr ansprechend, die Pentominos sind aus verschiedenen Hölzern gefertigt. Und der Sinn des dicken Rahmens erschließt sich sofort, wenn man die untere Schicht von erweiterter Größe entdeckt hat. Das Puzzle ist von mittlere Schwierigkeit und von einem Typ, dem man nicht so oft begegnet. Dadurch sollte es viele Freunde finden.

Natürlich erschwert die reduzierte Öffnung das Puzzle erheblich, aber wie ist das mit dem beschrifteten L? Und wie schwierig ist das Puzzle, wenn wir die zweite Bedingung einfach ignorieren? Vielleicht können wir P&L Packing in zwei ebene Geduldspiele zerlegen und jede Schicht einzeln lösen? 

Lösungshinweis 1: Damit die aufgedruckte Zahl 31 nach oben schaut, darf dieses L nicht flach liegen, also ragt (mindestens) ein Elementarwürfel aus der unteren Schicht in die obere. Damit muss auch mindestens ein Stein aus der Oberschicht nach unten reichen. Vielleicht können wir das Puzzle so in zwei Teile zerlegen, dass die Schichten wenigstens fast vollständig getrennt sind.

 

Lösungshinweis 2: Für die Oberschicht gibt es gar nicht so viele Möglichkeiten, wenn nur ein Elementarwürfel (oder wenige) in die Unterschicht reichen sollen und das Mittelfeld für die 31 frei bleiben muss.

 

Lösungshinweis 3: Wenn die 31 oben aus dem Puzzle herausschaut, dann wissen wir, wie das entsprechende L-Pentomino liegen muss. Vielleicht haben wir nach Lösungshinweis 2 eine Idee, wo in der Unterschicht ein Loch bleiben soll. Dann müssen wir die Pentominos nur noch passend anordnen und darauf achten, dass der Rahmen uns das Einfüllen erlaubt.

 

PolySolver-Hilfe: Der PolySolver hilft, aber wir müssen aufpassen: Als Lösungen erhalten wir mögliche Anordnungen der Pentominos, aber keine Garantie, dass wir sie entsprechend dem Bauplan durch die reduzierte Öffnung einfüllen können. Hier benötigen wir andere Software, und zwar BurrTools, aber darauf soll ein andermal eingegangen werden. Aber auch der PolySolver kann uns noch weiter helfen. Hier die dazugehörige PolySolver-Datei.

PolySolver-Info: Beim PolySolver besteht die Option, einzelne Steine an voregebenen Stellen fest zu platzieren. Dies findet man im Menü unter dem Reiter "Place". Wenn wir beim PolySolver das L-Pentomino mit der 31 an der richtigen Stelle befestigen, findet der PolySolver bis auf kleine Unterscheidungen nur eine Lösung. Das wiederum sagt uns, dass es auch die Lösung sein muss, welche durch die reduzierte Öffnung passt.

 

Insgesamt ist die zusätzliche Forderung mit der herausschauenden Zahl 31 also eher eine Hilfe: Die Anzahl der Möglichkeiten wird durch die fixierte Lage des beschrifteten L-Pentominos drastisch reduziert. Das merkt man auch bei der Lösung des Geduldspiels von Hand.

Jetzt bleibt noch die selbst gestellte zweite Aufgabe, die Schichten einzeln zu lösen. Für die kleine obere Schicht gibt es praktisch nur eine Lösung, deshalb verrät auch das Foto oben nicht zu viel. Also wissen wir, welche Steine für die untere Schicht übrig bleiben. Auch hier finden wir schnell mehrere Lösungen, aber problematisch wird es, wenn die Pentominos durch die reduzierte Öffnung eingeführt werden sollen. Hier benötigen wir eine zusätzliche Eigenschaft für die Lösung, mit deren Hilfe man durch einfaches Draufschauen entscheiden lässt, ob sich eine gegebene Lösung für das 5x7-Rechteck durch die reduzierte Öffnung füllen lässt.

Neue, ähnliche Geduldspiele: Praktisch alle Kistenpackprobleme sind mit reduzierter Öffnung möglich. Unter welchen Umständen werden sie durch die reduzierte Öffnung schwieriger (d.h. wann gibt es weniger Lösungen)?

Speziell bei Pentomino-Problemen mit mehreren Schichten sieht man an diesem Beispiel: Die Schichten müssen nicht gleich groß sein.

Design:  Junichi Yananose
Hersteller:  Mr. Puzzle Australia
Erscheinungsjahr: 2011

Google: P&L Packing Mr. Puzzle Australia
Shopping: Kaum lieferbar.

Watson’s Wormhole

Zwölf Polykuben, die jeweils aus zehn Elementarwürfeln bestehen (sollen sie Dekomino heißen?), müssen in einen 5x5x5-Würfel gepackt werden. Die fünf verbleibenden Elementarwürfel sollen ein Loch von der Mitte einer Seite zur gegenüberliegenden Seitenmitte bilden, dies ist das namensgebende Wurmloch. Zusätzlich haben die Elementarwürfel zwei verschiedene Farben, die Kantenwürfel des 5x5x5-Würfels sind dunkler als die Seitenwürfel; die Innenwürfel sind scheinbar zufällig gefärbt.

Schwierigkeit: Die Polykuben sind groß im Vergleich zu anderen Geduldspielen. Das freibleibende Wurmloch sorgt zusätzlich für Schwierigkeiten, zusammenpassende Steine zu finden. Das schränkt die Anzahl der möglichen Lösungen ein, macht es aber nicht einfacher, sie zu finden. Es wurde berichtet, dass dieses Geduldspiel noch von keinem Menschen ohne Zuhilfenahme eines Computers gelöst wurde [1].

PolySolver-Info: Der PolySolver kann natürlich helfen. Wir haben mindestens drei Möglichkeiten.

Variante 1: Wir können die fünf Elementarwürfel frei lassen. Dann müssen wir bei den gefundenen Lösungen schauen, ob die fünf Elementarwürfel das verlangte Wurmloch bilden. 

Variante 2: Alternativ können wir einen zusätzlichen stabförmigen Stein aus fünf Elementarwürfeln hinzunehmen und bei Lösungen schauen, wo sich das Wurmloch befindet. 

Variante 3: Schließlich könnte auch der 5x5x5-Würfel um das Wurmloch verkleinert werden.

Bevor wir uns für eine der Varianten entscheiden, können wir vorher darüber nachdenken, welche der drei Methoden die Lösungen am schnellsten findet. In der oben angegebenen Reihenfolge wird der PolySolver jeweils merklich schneller, weil er weniger Optionen durchprobieren muss: Bei Variante 1 wird zusätzlich nach Lösungen mit einzelnen leeren Elementarwürfeln gesucht. Dadurch entstehen viel mehr Teillösungen, die erst später wieder verworfen werden. Bei Variante 2 wird versucht, das Wurmloch auch an anderer Stelle zuzulassen, aber immerhin als zusammenhängendes, stabförmiges Loch. Das sind weniger Optionen als bei Variante 1, aber immer noch mehr als nötig: Variante 3 lässt das Wurmloch nur an der gewünschten Stelle zu.

In jedem der drei Fälle gibt es bis auf Symmetrie nur eine einzige Lösung, die Methoden 1 und 2 finden keine zusätzlichen Lösungen, suchen aber länger. Dies entspricht jeweils 24 PolySolver-Lösungen.

PolySolver-Dateien: Hier sind die PolySolver-Dateien für die drei oben angegebenen Modellierungsvarianten zusammen mit der Laufzeit auf einem normalen PC.

• Variante 1: Der PolySolver benötigt 41 Minuten.
• Variante 2: Der PolySolver benötigt 43 Sekunden.
• Variante 3: Der PolySolver benötigt 1.3 Sekunden.

Wie erfindet man ein solches Geduldspiel? Genau wissen wir es nicht, aber wir bekommen einen Hinweis, wenn wir uns die Polykuben genauer ansehen: Jeder dieser Steine ist zusammengesetzt aus zwei ebenen Pentominos. Wir könnten zunächst ein einfacheres Geduldspiel mit den entsprechenden Pentominos lösen und danach jeweils zwei benachbarte Pentominos zusammenkleben. Allerdings können wir uns so nicht sicher sein, wie schwierig es ist, eine Lösung unserer Variante von Watson's Wormhole zu finden. Auch kann es mehrere Lösungen geben.

Die Steine im Bild setzen sich dabei aus den folgenden Pentominos zusammen:

• obere Reihe: FT, FL, NX und PI,
• mittlere Reihe: UT, IX, US und WY,
• untere Reihe: WP, LV, NV und SY.

Damit wurden insgesamt genau zwei komplette Sätze von Pentominos verwendet.

Lösungshinweis: ###

Design:  Martin H. Watson
Erscheinungsjahr: 2000

Google: Watson's Wormhole
Shopping: Nur selten gebraucht erhältlich.

Mehr Info:

[1] http://www.martinhwatson.co.uk/watson_s_wormhole.html

Ein 15x15-Quadrat mit 45 Y-Pentominos füllen

Welches ist das kleinste Quadrat mit ungerader Seitenlänge, welches mit Y-Pentominos gefüllt werden kann? Da sich das 5x5-Quadrat nicht eignet und die Seitenlänge ungerade und durch fünf teilbar sein soll, ist 15x15 der nächste Kandidat. Man benötigt 45 Y-Pentominos, dies ist schon eine stattliche Zahl. Auch wenn es zum Schluss eine große Anzahl von Lösungen gibt (der PolySolver findet 1696 Stück), ist es praktisch unmöglich, eine davon per Hand zu finden.

Wir können aber einfachere Geduldspiele daraus entwickeln, wenn wir in dem 15x15-Rechteck einige Steine fest platzieren. Dadurch geben wir einen Teil der Randlinien im Inneren vor, so dass sich das verbleibende Geduldspiel hoffentlich für das Puzzlelösen von Hand eignet. Hier eine Aufgabe mit vier platzierten Steinen.

Eine andere Möglichkeit besteht in der Zerlegung des großen Rahmens kleinere (regelmäßig oder unregelmäßig geformte) Teilstücken, die wir einzeln lösen wollen und dann zu einer großen Lösung zusammensetzen. Für unsere theoretische Analyse wollen wir uns mit regelmäßigen Stücken beschäftigen. Was haben wir zur Auswahl? Es gibt schon ein deutlich kleineres Rechteck der Größe 5x10, welches man mit zehn Y-Pentominos füllen kann. Man kann das 5x10-Recheck nun an einer Ecke aus dem 15x15-Quadrat herausschneiden und auch die restliche Fläche mit 35 Pentominos zu füllen versuchen. Es klappt!

Hier können wir noch eine interessante Beobachtung mit dem PolySolver machen: Die letztgenannte Aufgabe, das verkleinerte 15x15-Quadrat vollständig mit 35 Y-Pentominos zu füllen, löst der PolySolver nahezu blitzartig, er benötigt 4.1 Sekunden für die 8 Lösungen. Für die scheinbar nur wenig kompliziertere Aufgabe mit dem vollen 15x15-Quadrat und 45 Y-Pentominos benötigt der PolySolver schon 11:31 Minuten und findet 1696 Lösungen. Wenn wir jetzt annehmen, dass die Zeit exponentiell mit der Anzahl der Y-Pentominos wächst, dann sind größere Geduldspiele mit dem PolySolver kaum noch lösbar. 

PolySolver-Info: Auf die PolySolver-Datei zum Download wird hier verzichtet, weil sie im PolySolver in weniger als einer Minute selbst erstellt werden kann: Sie benötigen ein Board der Größe 15x15 (einfach eine immer größere Fläche markieren) und bei Shapes bnötigen Sie nur das Y-Pentomino, und zwar 45 Exemplare davon. Dann Solve.

Osterinsel-Dominos

Dies ist das Austauschpuzzle von Pavel Curtis auf der 27. Internationalen Puzzle Party im Jahr 2007 in Australien.

Zwölf Dominosteine sollen in einen 4x6-Rahmen gepackt werden. Die Dominosteine sind aus klarem Plexiglas und können also gewendet werden. An jedem Teilquadrat eines Dominos ist eine der drei äußeren Kanten abgeschrägt, damit die Dominos nicht einfach so aneinanderpassen.  Es gibt genau 12 verschiedene solche Dominos, und diese werden alle für das Geduldspiel verwendet. Aus diesen lässt sich allerdings kein 4x6-Rechteck mit glattem Rand legen, deshalb sind im Rahmen die notwendigen Aussparungen als Hilfe angegeben.

Einschätzung: Ein konzeptionell schönes Geduldspiel, da alle entsprechend den Regeln möglichen Dominos für das Geduldspiel verwendet werden. (Für Theoretiker: Beweisen Sie die Aussage, dass es genau 12 solche Dominos gibt!)

Schwierigkeit: Zwölf solche Dominos machen das Geduldspiel recht schwierig. Trotzdem wird die Schwierigkeit nur mit 3/5 (challenging) angegeben.

Wem das noch zu leicht erscheint, für den gibt es noch die folgenden drei Zusatzaufgaben. Eine von Ihnen gefundene Lösung hat möglicherweise die folgenden beiden Mängel:

Mangel A: Sie enthält ein perfektes 2x2-Quadrat (wie links unten im Bild).
Mangel B: Sie enthält eine gerade Bruchlinie (ohne Zacken), welche das gelöste Geduldspiel in zwei Tele teilt, entweder senkrecht oder waagerecht.

Die drei Zusatzaufgaben sind:

1. Gesucht ist eine Lösung ohne Mangel A.
2. Gesucht ist eine Lösung ohne Mangel B.

3. Gesucht ist eine Lösung, die weder mit Mangel A noch mit Mangel B behaftet ist.

PolySolver-Info: Wie lässt sich das Geduldspiel mit vorhandener Software wie dem PolySolver, lösen? Hier die dazugehörige PolySolver-Datei. Die schrägen Kanten müssen mit Elementarquadraten modelliert werden. Stellt man sich die abgeschrägten Kanten in einem Winkel von 45 Grad vor (das Geduldspiel wird dadurch nicht verändert, nur einer der Steine droht in der Mitte auseinanderzubrechen), dann kann man die Dominosteine durch Rechtecke der Größe 2x4 darstellen und bei den abgeschrägten Kanten zwei Elementarquadrate austauschen. Danach hat man ein äquivalentes Geduldspiel aus Polyquadraten

PolySolver-Info:

Der PolySolver berechnet blitzartig die im Begleittext versprochenen 250 Lösungen. Hier eine der Lösungen.

Sie soll hier angezeigt werden, weil sie sehr abstrakt aussieht und sich optisch stark von den tatsächlichen Formen unterscheidet. Trotzdem deutlich sichtbar sind die oben genannten Mängel A (links unten) und B (waagerecht). Interessant ist auch der in der Mitte nur an einem Punkt zusammenhängende rote Stein rechts unten: Wir vermuten sofort, dass der PolySolver auch mit nichtzusammenhängenden Steinen arbeiten kann. Ein sehr interessantes Feature, dass in der Beschreibung nicht erwähnt wird.

 

Englischer Titel: Easter Island Dominoes

Design:  Pavel Curtis
Hersteller: Joe Pelonio
Erscheinungsjahr: 2007

Google: "Easter Island Dominoes"
Shopping: Im Ausland lieferbar, Preis ca. 30€

Lonpos Cosmic Creature

Zwölf eigenartig geformte, flache Bausteine sollen in einen nahezu rechteckigen Rahmen passender Größe lückenlos untergebracht werden. Die Bausteine stellen die außerirdischen Kreaturen dar, und vielleicht ist das Spielfeld das Raumschiff, in welches sie alle hineingepfercht werden sollen. 

Das Spielfeld befindet sich in einer Kiste mit Deckel, welche außer den Steinen auch noch ein kleines Heft mit 107 Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsgraden gibt. Bei jeder der Aufgaben sind einige Steine bereits auf dem Spielfeld platziert, die restlichen müssen noch eingefügt werden. Die einfachsten Aufgaben starten mit elf vorgegebenen Steinen (okay, das ist nur zum Warmmachen), bei den schwierigsten Aufgaben sind nur zwei Steine vorab platziert. Dazu gibt es die Information, dass es für jede Aufgabe nur genau eine Lösung gibt.

Jetzt wollen wir sehen, was dieses Puzzle mit Polyominos zu tun hat. Entfernt man alle Spielsteine, so sieht man ein rechteckiges Grundmuster der Größe 12x18 mit einigen Ausbuchtungen von jeweils einem Elementarquadrat nach außen oder innen in regelmäßigen Abständen. 

Und wenn man von den abgerundeten Ecken absieht, sind die „außerirdischen“ Spielsteine Polyominos mit einer zusätzlichen, abweichenden Eigenschaft: Einzelne Quadrate können diagonal an eine Ecke angewachsen sein, so dass bei einer Polyform die Elementarquadrate nicht immer an Kanten der Quadrate zusammenhängen müssen, sondern manchmal auch nur an Ecken. Die abgerundete Form der Spielsteine macht es möglich, daraus zusammenhängende Spielsteine zu erzeugen. Im englischen Sprachraum heißen solche Polyominos Rounded oder Bridged, siehe [1]. Sechs der zwölf Spielsteine sind spiegelsymmetrisch, die anderen sechs ändern beim Umwenden ihre Form. Die Spielsteine unterscheiden sich nicht sehr in ihrer Größe, so dass es sogar Lösungen gibt (eine davon ist im Deckel abgebildet) mit jeweils sechs aufrecht nebeneinanderstehenden Polyominos.

Das englischsprachige Begleitheft informiert uns noch, dass das Puzzle ein Ergebnis von 21 Jahre langer Entwicklungsarbeit ist. Dabei werden auch drei ältere Entwicklungsstadien abgebildet. Diese verwendeten nicht nur abweichende Spielsteine, sondern ihre Darstellung als Außerirdische hat sich im Laufe der Zeit auch verbessert. 

Die deutsche Version heißt seit einigen Jahren Lonpos Abstrakt und die Spielsteine repräsentieren Farbkleckse statt Außerirdischer.

Schwierigkeit: Die relative geringe Anzahl von Lösungen bei zwölf Spielsteinen macht das Einpacken aller Spielsteine sehr schwierig. Allerdings enthält das Aufgabenheft genug einfache Aufgaben, so dass wirklich für jeden etwas dabei sein sollte. 

PolySolver-Hilfe: Der PolySolver erlaubt auch Spielsteine, die nur an Ecken zusammenhängen. Damit können wir das Puzzle mit dem PolySolver analysieren: Es werden insgesamt 928 Lösungen gefunden. Wegen der Rechts-Links-Spiegelsymmetrie des Rahmens wird jede Lösung doppelt gezählt. Hier die dazugehörige PolySolver-Datei.

PolySolver-Info:

Hier eine Lösung in der PolySolver-Codierung.

Die Spielsteine sind noch deutlich zu erkennen.

 

Andere Titel: Lonpos Abstrakt, Lonpos QC 600

Hersteller: Lonpos
Erscheinungsjahr: 2010

Google: Lonpos Abstrakt
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 10€

Mehr Information:

[1] http://abarothsworld.com/

Two Layer Packing

Acht Teile sollen auf eine 5x5-Grundplatte in zwei Schichten gepackt werden, dies wird allerdings durch einige Stifte erschwert. 

Die Steine bestehen jeweils aus mehreren Brettern der Größe 1x2, 1x3 oder 1x4, die jeweils an einem Elementarquadrat aneinander geleimt wurden. Damit belegt jedes Teil sowohl Platz in der unteren wie in der oberen Schicht. Sechs der acht Teile bestehen aus zwei Brettern in I-, L- oder Y-Form, zwei aus je drei Brettern in U-Form. Zusätzlich haben mehrere Elementarquadrate in der Mitte ein Loch. Zu diesen Löchern gehören 14 Stifte der Höhe eins bzw. zwei auf dem Boden der Grundplatte, welche nur wenige Positionen für die einzelnen Teile erlauben. 

Die Puzzleteile sind aus rot lackiertem Holz, Grundfläche und Stifte sind naturbelassen.

Wenn man das Puzzle in gelöstem Zustand bekommt und zunächst vorsichtig von der Grundplatte löst, halten die roten Teile noch relativ stabil zusammen. Die Verbindung der Teile ist also relativ komplex. Unabhängig von den Löchern muss man vor dem Zusammenbau erst einmal herausfinden, wie die Teile zusammenpassen könnten.

PolySolver-Info: Kann uns der PolySolver bei einem solchen Puzzle mit zusätzlichen Löchern helfen? Wir müssen die Löcher zusätzlich modellieren und das ist möglich, indem wir jedes Elementarquadrat beim PolySolver als Quadrat der Größe 3x3 darstellen und das kleine mittlere Quadrat im Falle eines Loches frei lassen. An der Position der Löcher werden entsprechende Positionen aus den zu füllenden Schichten entfernt. Für dieses Puzzle gibt es genau eine Lösung, wie die Suche mit dem PolySolver zeigt.

 

Es bleibt die Frage nach der Rolle der Stifte: Erschweren die Stifte das Puzzle, weil viele Positionen der Teile nicht erlaubt sind? Das würde man denken: Mehr Stifte sorgen für weniger Lösungen und erschweren dadurch das Puzzle. Versuchen wir es, denken wir uns alle Stifte weg und lösen das Puzzle ohne Berücksichtigung der Stifte in der Grundplatte. Der folgende Lösungshinweis zeigt, dass dies eine gute Idee ist.

Lösungshinweis: Auch hier hilft er PolySolver, schnell alle Lösungen zu finden. Gefunden werden sechzehn verschiedene Lösungen, wegen der Möglichkeiten, das Quadrat um 90 Grad zu drehen (4 Möglichkeiten) und oben und unten zu tauschen (2 Möglichkeiten), müssen wir die Zahl durch 8 teilen und es ergeben sich nur zwei verschiedene Lösungen! Und diese unterscheiden sich auch nicht wirklich, da es ohne Berücksichtigung der Löcher zwei identische L-Teile gibt. Damit bleibt eine Lösung. Dies bedeutet: Es gibt keinerlei Verkomplizierung durch die 14 Stifte. Hier die dazugehörige PolySolver-Datei.

 

Schwierigkeit: Mit acht Teilen ist das Geduldspiel mittelschwer und mit etwas Geduld lösbar.

Frage: Wer kann helfen mit Angaben zu Designer und Erscheinungsjahr?

Shopping: Nicht lieferbar.

Asparagus / Spargel

Das Geduldspiel Asparagus (d.h. Spargel) aus der Serie des japanischen Herstellers Toyo Glass, entworfen von Nob Yoshigahara. 27 Spargelstangen stehen aufrecht und einigermaßen locker in einem hohen Bierglas mit senkrechten Wänden und ebenem Boden. 

Natürlich soll man die Spargelstangen herausnehmen und anschließend wieder in das Glas stecken. Das eigentliche Problem erkennt man, wenn die Spargelstangen herausgenommen sind: Immer drei hängen zusammen an einer kleinen Bodenplatte und bilden sie sechs Bausteine des Geduldspiels. Jede Bodenplatte besteht aus jeweils sechs Elementardreiecken. Diese 54 Elementardreiecke sind zu einem Sechseck der Seitenlänge drei zusammenzufügen, und nur dann passt alles zurück ins Glas. Anfängliche Versuche, das Geduldspiel „einfach so“ zu lösen, scheitern kläglich. Für viele Sammler gehören die Toyo-Glass-Puzzles zu den Lieblingsstücken, da hier Originalität mit angemessen hoher Schwierigkeit verknüpft wurde. 

Analyse: Jeder der Steine lässt sich in drei Rhomben (also „Doppeldreiecke“) zerlegen, und im Zentrum jedes Rhombus ist eine Spargelstange befestigt. Damit stehen sie Spargelstangen bei jeder Lösung automatisch in gleichen Abständen. Alle Spielsteine sind einseitig, da alle Spargelstangen nach oben stehen müssen. Das Geduldspiel ist also im mathematischen Sinne gar kein dreidimensionales Geduldspiel, sondern ein zweidimensionales Polyform-Geduldspiel auf dem regelmäßigen Dreiecksgitter. Die zu platzierenden Steine sind Hexiamonds, genauer gesagt Tridiamonds. Es gibt genau 9 verschiedene (zweiseitige) Tridiamonds, alle diese werden hier (einseitig) verwendet. 

Schwierigkeit: Auch als zweidimensionale Geduldspiel bleibt es schwierig. Das ungewöhnliche Dreiecksgitter sowie die kleine Anzahl von Lösungen (Ja, es gibt mehr als eine!) bereiten Kopfzerbrechen.

Lösungshinweis: Der Hinweis ist eher praktischer als inhaltlicher Natur: Da sich mit den Spargelstangen nur schlecht hantieren lässt, sollte man zur Lösung des zweidimensionalen Polyformpuzzles eine „Kopie“ aus Papier anfertigen. Das ist nicht umsonst, Sie werden das Geduldspiel nicht binnen fünf Minuten lösen.

PolySolver-Info: Statt Papier und Gehirn können wir natürlich auch den PolySolver einsetzen: Für die automatische Unterstützung durch den PolySolver hier die dazugehörige PolySolver-Datei. Der PolySolver findet 12 Lösungen, wegen der Symmetrie des Sechsecks sind dies aber nur zwei verschiedene Lösungen.

 

Design:  Nob Yoshigahara
Hersteller:  Toyo Glass

Google: Toyo Glass Asparagus

Shopping: Nur gebraucht auf Auktionen, Preis ca. 50-150€

Metallwürfel

Die neun V-Triominos lassen sich relativ einfach in eine 3x3x3-Kiste packen, aber mit zusätzlichen Bohrungen wird es komplizierter. Denn in diese Bohrungen sollen zusätzlich Metallstifte der Länge drei eingeführt werden. 

Die Bohrungen in den V-Triominos sind auf zwei unterschiedliche Weisen angebracht, von den entsprechend unterschiedlichen V-Triominos gibt es jeweils sechs bzw. drei Stück.

Bitte im ungelösten Zustand starten! Falls Sie den Metallwürfel zusammengesetzt bekommen, ist jetzt der Zeitpunkt, ihn schnell auseinanderzunehmen. Am besten alle Teile durcheinander auf das Sofa schütten. Hoffentlich haben Sie vergessen, wo sich die Stifte befanden, sonst wird die Lösung zu einfach. Oder Sie bitten jemand anderes, das Puzzle für Sie auseinanderzunehmen.

Der Rahmen für das Puzzle ist eine auf drei Seiten offene Box, die sich auch auf die abgeschrägte hintere Ecke stellen lässt. Durch die unterschiedlichen Harthölzer für die V-Triominos ist der Metallwürfel ein sehr dekoratives Puzzle für den Schreibtisch. Die handwerkliche Qualität ist beim abgebildeten Puzzle nicht ganz perfekt: Einige der Bohrungen sind ausgeplatzt. 

Schwierigkeit: Constantin vergibt 4/6, Puzzlemaster 9/10. Auch wenn die hier angegebene Schwierigkeit hoch ist, kann man das Puzzle mit ein wenig Überlegung und etwas systematischem Herumprobieren in „einem Arbeitsgang“ lösen.

Übung 1 zum Warmmachen: Vergessen Sie die Aluminiumstifte. Packen Sie einfach die 9 V-Tetrominos in den 3x3x3-Würfel!

Jetzt kommen die Aluminiumstifte hinzu: Wir haben sechs Stifte der Länge drei, alle Stifte sind also von außen auf zwei Seiten sichtbar. 

Übung 2 zum Warmmachen: Jetzt vergessen Sie bitte die hölzernen Triominos und betrachten nur die sechs Aluminiumstifte: Auf welche Arten können diese in dem 3x3x3-Würfel liegen? Welche Möglichkeiten gibt es, wenn es Stäbe parallel zu allen drei Kantenrichtungen geben soll?

Für das eigentliche Geduldspiel müssen wir nur noch eine Lösung der ersten Übungsaufgabe mit einer Lösung der zweiten Übungsaufgabe zusammenführen, so dass die Stifte in den Löchern der V-Triominos stecken.

Vorsicht: Wenn sie im Internet dieses Puzzle sehen, dann meist im gelösten Zustand. Dabei sehen Sie die Lage der Aluminiumstifte.

Frage: Gibt es noch andere Lösungen als die immer wieder abgebildete? Der PolySolver hilft und sagt: Nein. Da die Modellierung relativ aufwändig ist, benötigt der PolySolver dafür reichlich eine Minute.

PolySolver-Info: Jeder der Elementarwürfel wird als 3x3x3-Würfel modelliert, eine Bohrung entspricht einer freien Säule der Größe 1x1x3 durch eine Würfelmitte. Dazu gibt es dann noch die sechs Aluminiumstifte als Säulen der Größe 1x1x9. Das gesamte Geduldspielhat damit die Größe 9x9x9 und besteht aus 15 Teilen. Das ist viel Aufwand für den PolySolver, deshalb dauert es so lange. Hier die dazugehörige PolySolver-Datei.

 

Hersteller:  Jean Claude Constantin

Google: Constantin Metallwürfel

Shopping: Lieferbar, Preis ca. 30€

Waagerecht gestreifte / gestauchte / polarisierte Pentominos

Kategorie: Pentominos in rechteckige und andere Rahmen packen

Auf den ersten Blick sehen wir wieder ein Geduldspiel, bei der Polyformen in einen Rahmen gepackt werden müssen. Diesmal sind aber nicht Quadrate, sondern jeweils fünf Rechtecke zu Spielsteinen zusammengefasst worden. 

Auf den zweiten Blick steckt hinter der kleinen Änderung jedoch auch ein theoretischer Hintergrund: Pentominos bestehen aus jeweils fünf Elementarquadraten und es gibt zwölf verschiedene. Das wissen wir schon lange und genauso, dass man daraus viele schöne Geduldspiele machen kann. Wenn man es komplizierter haben will, kann man die Elementarquadrate schachbrettartig einfärben. Aber wir haben noch mehr Möglichkeiten: Diesmal sollen die Elementarquadrate in einer achsenparallelen Richtung mit einem Streifen in der Mitte versehen werden. Und natürlich verlangen wir, dass die zu legende Figur in einer Richtung gestreift ist! Wir können unsere Pentominos plötzlich nicht mehr um 90 Grad drehen, sondern nur noch um 180 Grad. (Übrigens könnten wir auch auf eine andere Art achsenparallele Streifen anbringen, beispielsweise die obere Hälfte färben. Dann wären auch Drehungen um 180 unmöglich.)

Diese zusätzlichen Streifen mit der ausgezeichneten waagerechten Richtung entsprechen einer optischen Polarisation, deshalb werden diese Pentominos gelegentlich auch parallel polarisierte Pentominos genannt. Äquivalent dazu haben wir noch eine weitere Möglichkeit, die 90-Grad-Drehungen zu verhindern: Wir verwenden statt der Elementarquadrate jetzt Elementarrechtecke (also etwas "plattgedrückte Quadrate"), dann erzielen wir den gleichen Effekt. Zum selber Ausprobieren können wir entweder gestreifte Pentominos auf Papier drucken oder mit dem 3D-Drucker Pentominos aus Rechtecken drucken.

Hier ist ein vollständiger Satz solcher polarisierten Pentominos. In den oberen beiden Zeilen befinden sich die Pentominos mit zwei Varianten, oben die "langen dünnen" und darunter die "kurzen dicken". Bei den Pentominos W, X und V in der dritten Zeile fallen beide Varianten zusammen. Das liegt daran, dass nur sie eine Symmetrieachse parallel zu einer Diagonale im Quadratgitter besitzen.

Es sind also nicht mehr nur 12 Stück, sondern 21. Diese 21 Pentominos bestehen aus 105 Elementarrechtecken. Die Primfaktorzerlegung von 105 ist 3*5*7, wir können also versuchen, Rechtecke der Größen 5x21 und 7x15 mit den Pentominos zu füllen. Da wir zwei I-Pentominos in verschiedene Richtungen legen müssen, ist ein Rechteck der Größe 3x35 nicht möglich. Außer den Rechtecken 5x21 und 7x15 (sowohl im Hoch- wie im Querformat, also vier verschiedene Aufgaben) gibt es noch viele andere lösbare Aufgaben mit anderen Formen. Beispielsweise ist 105=121-16, d.h. wir können aus einem plattgedrückten 11x11-"Quadrat" als Rahmen vier weitere 2x2-Quadrate entfernen und erhalten so unter anderem die folgenden Rahmen:

Diese lassen sich auch mit den 21 polarisierten Pentominos füllen, allerdings gibt es viel weniger Lösungen, diese Aufgaben sind dadurch wesentlich schwieriger.

PolySolver-Info 1: Der PolySolver kann uns natürlich helfen, für das zugrundeliegende rechteckige Gitter gibt es den Grid type: Rectangle. Sie können leicht die Form des Rahmens ändern und mit anderen Rahmen experimentieren.

PolySolver-Info 2: Der PolySolver findet 1080 Lösungen, wegen der möglichen Rotationen um 60 Grad sowie zusätzliche Spiegelungen muss man diese Zahl durch 12 teilen, dies ergibt 90 echt verschiedene Lösungen.

Hier finden Sie die die PolySolver-Datei für die polarisierten Pentominos und den im oberen Foto abgebildeten 7x15-Rahmen. Das Programm findet innerhalb der ersten 90 Minuten rund 75.000 verschiedene Lösungen. Bei diesen findet sich das "dicke" I immer an derselben Position in der linken unteren Ecke, so dass die Suche nach allen Lösungen noch sehr lange dauern sollte.

 

Und wir haben noch eine andere Möglichkeit, weitere Geduldspiele zu erzeugen. Wir nehmen die gewöhnlichen 12 Pentominos bestehend aus Elementarquadraten, lösen damit eine der üblichen Aufgaben und stauchen erst danach die gesamte Lösung etwas, so dass aus den Elementarquadraten jetzt Elementarrechtecke werden. Dann haben wir die nötigen polarisierten Pentominos vorliegen, um die polarisierte Aufgabe zu lösen. Im Unterschied zu oben wird von jeder Variante der Pentominos nur noch eine verwendet, also beispielsweise entweder das "kurze dicke" oder das "lange dünne" I-Pentomino. Diesem Problem werden wir uns noch einmal in einem anderen Post widmen.

Google: "polarized pentominoes"

3D-Druck: Die STL-Datei zum 3D-Druck für die Steine und den Rahmen wie oben abgebildet finden Sie unter den 3D-Modellen zum Blog auf Thingiverse.

Mehr Infos:

[1]  Peter's Puzzle and Polyform Pages

[2]  Wikipedia: Pentomino

Chocolate Sandwich / Schokoladen-Sandwich

Dies ist wieder ein Stapelpuzzle, bei dem zwei Lagen von Brettern fachmännisch übereinandergestapelt werden müssen. Damit ist das Geduldspiel ähnlich zum 9-Loch-Puzzle, aber diesmal ist es etwas komplizierter.

Insgesamt sechs helle Bretter der Größe 3x1 sind auf einer Seite mit jeweils drei diagonal halbierten Quadraten aus dunklem Holz bestückt.

Sie sollen passend übereinander gestapelt werden, so dass sich ein Schokoladensandwich der Grundfläche 3x3 ergibt: 

Oben und unten jeweils eine helle Scheibe, dazwischen die dunkle Schokolade. Das Geduldspiel kommt in einer Holzkiste, und da die Bretter eine Stärke von 1/12 der Länge haben, passt das Geduldspiel auch im ungelösten Zustand in die Kiste, indem man die Bretter hochkant in die Kiste Packt. Im gelösten Zustand passt es natürlich flach in die Kiste. 

Schwierigkeit: Das Chocolate Sandwich ist schwieriger als die anderen 3x3-Stapelpuzzles, da wir es mit halbierten Passstücken zu tun haben. Zum Ausgleich besteht das Geduldspiel aber nur aus zwei Lagen von Brettern. 

Obwohl das Geduldspiel konzeptionell nicht schwierig ist, bereiten die diagonal halbierten Quadrate Probleme. Wenn man sich die die Bretter mit der „Schokoladenseite“ nach oben parallel vor sich hinlegt und dann zwei übereinander passende Bretter sucht, muss man berücksichtigen, dass eines der Bretter in der Ebene um 90 Grad gedreht werden muss und dann noch um 180 Grad umgekippt, so dass die Schokoladenseite nach unten kommt. Es bedarf einiger Übung, bis man sieht, welche Bretter dann übereinander passen.

Einschätzung: Ein ansprechendes Geduldspiel. Etwas geometrisches Vorstellungsvermögen ist hilfreich, dann kann man durch systematisches Probieren eine Lösung in 5-15 Minuten finden. Mathematische Überlegungen helfen nicht weiter. Man kann in Sackgassen hineinlaufen und alle Bretter bis auf das letzte zu einem Stapel zusammenfügen, und das letzte Brett passt nicht. 

PolySolver-Info: Für die automatische Unterstützung durch den PolySolver hier die dazugehörige PolySolver-Datei. Um die Steine mit den diagonal durchgeschnittenen Steinen zu modellieren, bietet sich das Gitter "Tan" an. Wir müssen aber noch dafür sorgen, dass die obere Lage der Bretter umgedreht werden muss, damit es passt. Dazu dürfen wir nicht erlauben, dass die Bretter gespiegelt werden dürfen. Auch 90-Grad-Drehungen sind nicht erlaubt. Deshalb sind in der vorliegenden PolySolver-Datei gar keine Drehungen erlaubt, aber für jedes Brett sind vier Orienierungen möglich: Jeweils zwei Varianten sind um 180 Grad gedreht, die anderen sind die zusätzlich um 90 Grad gedrehten Versionen mit zusätzlicher Spiegelung. Dies ist nötig, wenn ein Brett in der oberen statt unteren Schicht verwendet werden soll. Der PolySolver ermittelt vier Lösungen, das entspricht bis auf Drehungen und Umklappen nur einer Lösung.

 

Abgewandelte Geduldspiele: Natürlich könnten wir die Passstücken auch anders halbieren: Statt die Quadrate der Schokoladenschicht in Dreiecke zu zerlegen, könnten wir sie auch in Rechtecke der Größe 1 x ½ zerlegen. Finden Sie heraus, ob dadurch andere Geduldspiele entstehen oder ob sich jedes 3x3-Schokopuzzle mit Dreiecken in eines mit Rechtecken verwandeln lässt und umgekehrt!

Hersteller:  Knobelholz

Google: Chocolate Sandwich Knobelholz

Shopping: Lieferbar, Preis ca. 12€

Quadromino

Gegeben sind neun quadratische Kacheln. Auf der Oberseite befinden sich in machen Ecken ein roter Punkt. Die neun Quadrate sollen so zu einem 3x3-Quadrat zusammengesetzt werden, dass an den Kanten jeweils Paare roter Punkte gegenüberliegen. Damit liegen Kantenstücken ohne solche Punkte automatische andere Kantenstücken ohne Punkte gegenüber. Auch wenn diese Beschreibung an ein Edge-Matching-Puzzle erinnert, handelt es sich doch um ein Corner-Matching-Puzzle: Ein Punkt in einer Ecke sorgt dafür, dass alle vier in dieser Ecke zusammenstoßenden Quadrate einen Punkt tragen müssen. In dem zu legenden 3x3-Quadrat gibt es die vier Ecken des inneren Quadrates, die so funktionieren.

Von den neun Quadraten des Geduldspiels tragen je eines null bzw. vier Punkte. Zwei Quadrate tragen je einen bzw. drei Punkte. Und drei Quadrate tragen jeweils zwei Punkte, zwei davon nebeneinander und einer diagonal. Diese Menge von Kacheln ist symmetrisch in der Lage der Punkte und der freien Positionen: Tauscht man Punkte gegen freie Positionen, so erhält man wieder dieselbe Menge von Steinen.

Schwierigkeit: Das Geduldspiel ist durchaus nach einigen Versuchen lösbar. 

PolySolver-Info: Für die automatische Unterstützung durch den PolySolver muss man die farbliche Kodierung einer Ecke in ein Muster für die benachbarten Kanten übertragen, damit sich der PolySolver anwenden lässt. Das lässt sich mit Kacheln der Größe 6x6 realisieren, die jeweils ein Loch der Größe 2x2 in der Mitte haben und als Rand ein (nicht notwendig zusammenhängendes) Muster aus Elementarquadraten. Das folgende Bild zeigt die zwei Steine am linken Rand aus dem Bild oben in der PolySolver-Kodierung. Der Rahmen hat Löcher an den Stellen passend zur Lage der neun Steine, so dass der PolySolver nur Steine an die erlaubten Plätze legen kann. Anderenfalls wären auch Verschiebungen um einzelne Elementarquadrate möglich. Hier die dazugehörige PolySolver-Datei.

Frage: Wieso können das völlig leere Quadrat und das Quadrat mit den vier Punkten niemals zusammenstoßen? Oder anders formuliert: Kann das völlig leere Quadrat in der Mitte liegen? Oder das Quadrat mit den vier Punkten?

Zusatzaufgaben: Statt des 3x3-Quadrates lässt sich auch die folgenden Spielfelder aus neun Elementarquadraten entsprechend der gegebenen Regeln füllen.

DIY-Tipp: Einfach selbst herzustellen aus neun quadratischen Kacheln (Holz oder Pappe) und einigen einfarbigen Klebepunkten.

Lösungshinweis: Die Einschränkung durch das Corner-Matching wirkt in voller Stärke nur am den zentralen vier Kreuzungspunkten, weniger an den Kantenschnittpunkten am Rand (weil hier nur zwei Steine aufeinandertreffen) und gar nicht an den äußeren Ecken. Dadurch bleibt relativ viel Freiheit und es entsteht eine große Anzahl Lösungen. Mit der Lösung geht man deshalb am besten von Innen nach außen vor: Zuerst das Mittelteil, ann die Außenkanten, zum Schluss die Ecken.

 

Hersteller und Artikelnummer:  Haba 2453

Google: Haba Quadromino

Shopping: Gebraucht bei ebay, Preis ca. 5€

Pentominos und Schachbrett (ohne Muster)

Kategorie: Pentominos in rechteckige und andere Rahmen packen

Da das Schachbrett aus 64 Elementarquadraten besteht, haben wir vier Elementarquadrate übrig, wenn wir es mit Pentominos füllen wollen. Also nehmen wir einfach noch ein 2x2-Quadrat hinzu und haben gerade die richtige Menge zum Füllen des Schachbretts. Unsere Spielsteine verfügen (in dieser Variante des Geduldspiels) über kein Schachbrettmuster, so dass wir ein einfarbiges überdecktes 8x8-Brett erhalten. 

Quadra Puzzle

Nach unseren Erfahrungen, dass die Überdeckung des 6x10-Rechtecks mit den klassischen Pentominos eine mittelschwere Aufgabe ist, sollte sich diese Aufgabe auch als mittelschwer herausstellen. 

Der PolySolver berechnet uns die Anzahl der möglichen Lösungen mit 129.168 (unter Berücksichtigung der Symmetrie sind das 129.168/8=16.146 verschiedene Lösungen), verglichen mit dem 6x10-Rechteck gefüllt mit den Pentominos (ohne zusätzliches 2x2-Quadrat), hier zählt der PolySolver 9356 (unter Berücksichtigung der Symmetrie sind das 9356/4=2339 verschiedene) Lösungen.

Bei so vielen Lösungen können wir die Aufgabenstellung verkomplizieren, indem wir beispielsweise die Position des 2x2-Quadrates fest vorgeben. Lässt sich in jedem Falle die Restfläche mit Pentominos überdecken? Schon Salomon Golomb, der Erfinder der Pentominos, beantwortete diese Frage positiv (siehe Quelle unten).

PolySolver-Info: Für die automatische Unterstützung durch den PolySolver hier die dazugehörige PolySolver-Datei. Der PolySolver erlaubt es übrigens, mittels "Place" einzelne Steine fest zu platzieren. Wir können das 2x2-Quadrat also in der Mitte oder anderswo befestigen und die Anzahl der Lösungen bestimmen lassen.

Frage: Wenn es uns gelingt, die zwölf Pentominos auf dem Schachbrett unterzubringen, dann bleiben offensichtlich vier Felder frei. Sind davon automatisch zwei schwarz und zwei weiß gefärbt?

Verwandte Geduldspiele: Diese Menge von Steinen wird auch von anderen Geduldspielen verwendet, um andere Formen zu legen. Ein Beispiel dafür ist Why?

Natürlich können wir die Pentominos auch mit einem Schachbrettmuster versehen und fordern, dass die Lösungen ein korrektes Schachbrettmuster tragen. Aber dabei können aus einfachen Aufgaben plötzlich ganz schwierige Geduldspiele werden. 

Google: Pentomino Schachpuzzle
Shopping: Es gibt dieses Geduldspiel von verschiedenen Herstellern unter verschiedenen Namen:

• Logoplay: Square Puzzle
• Rombol 6215: Spiel des Lebens
• Santa's Toys: Quadra Puzzle

Mehr Information:

• Solomon W. Golomb: Polyominoes. Puzzles, Patterns, Problems and Packings. Princeton University Press, Princeton NJ 1994.

Meiji Apollo Schokoladenpuzzle

Ein weiteres Puzzle zum Thema Schokolade! Eine ganze Serie von Puzzles imitiert Schokoladenprodukte von Meiji als täuschend echte Plastikpuzzles. Beim Apollo-Puzzle geht es um kleine kegelförmige Erdbeerpralinen. 

Mehrere der Erdbeerpralinen hängen jeweils zusammen, und das macht es schwierig, sie in die mitgelieferte transparente Kiste zu packen. Zwei Lagen Pralinen müssen übereinander gelegt werden, die obere Lage liegt kopfüber auf der unteren.

Vom mathematischen Standpunkt kann man sich die Pralinen als 39 Elementarsechsecke vorstellen, von denen jeweils mehrere entlang der Kanten zu elf sogenannten Polyhexen verbunden sind. Eine der Polyformen besteht aus zwei solchen Elementarsechsecken, drei aus je drei und sieben aus je vier. Wegen der oben aufgesetzten Erdbeerpralinen sind die Polyformen nur einseitig verwendbar.

Hier die elf Teile:

Lösungshinweis 1: Da alle die Polyformen eben sind, kann man die obere und die untere Schicht einzeln lösen und beide dann kopfüber aufeinanderlegen. Vorher muss man sich noch die Größe jeder Schicht überlegen.

 

Lösungshinweis 2: Die Kiste erlaubt jeweils drei Reihen der Länge 6-7-6 oder 7-6-7. Da wir insgesamt 39 Elementarsechsecke haben, werden wir beide Größen brauchen.

 

PolySolver-Info: Da es sich um ein zweidimensionales Puzzle mit Hexagonalmuster handelt, kann der PolySolver helfen. Dabei muss nur das zu füllende Feld aus zwei getrennten Teilen bestehen. Der PolySolver gibt relativ viele Lösungen an, und zwar 1796 Stück. Grund dafür ist aber, dass es bei der gleichen Verteilung der Polyformen auf die Schichten manchman mehrere Lösungen für die Oberschicht und gleichzeitig mehrere Lösungen für die Unterschicht gibt. Diese Zahlen werden dann jeweils multipliziert. Hier die dazugehörige PolySolver-Datei.

 

Hersteller:  Hanayama
Erscheinungsjahr: 2008

Google: "Meiji Apollo" Puzzle Hanayama
Shopping: Möglicherweise aus Japan lieferbar, Preis: ca. 10€