25.12.24

Heptominos in 8x8-Box

Heptominos entstehen, indem man jeweils sieben Elementarquadrate entlang ganzer Kanten zusammenfügt. Das Vorgehen ist also genauso wie bei Pentominos aus jeweils fünf Elementarquadraten und Hexominos aus jeweils sechs. Die Anzahl der verschiedenen Heptominos ist natürlich größer als bei den 12 Pentominos oder den 35 Hexominos: Es gibt 108 verschiedene Heptominos. 

Und es gibt eine weitere Neuigkeit gegenüber den kleineren Polyominos, erstmals gibt es einen Stein mit einem Loch in der Mitte. Damit können wir niemals ein Rechteck (egal welcher Form) vollständig mit allen Heptominos füllen. Dies trifft dann auch auf alle noch größeren Polyominos zu. Wenn wir uns also einen zu füllenden Rahmen vorgeben, muss dieser auch mindestens so viele Löcher enthalten wie die einzelnen Steine.

Die 108 Heptominos und das zusätzliche Loch belegen 7*108+1=757 Elementarquadrate. Da dies eine Primzahl ist, lassen sich auf diese Weise keine Rechtecke füllen. Wir benötigen mehr Löcher und/oder andere Rahmen.

Besonders interessant wird es, wenn wir insgesamt 12 Löcher zulassen: Dann benötigen wir 768=3*2⁸. Daraus lassen sich viele verschiedene Rechtecke formen, und die Gesamtfläche lässt sich auch in mehrere gleiche Teile teilen. Uns interessieren hier zwölf Quadrate der Größe 8x8. Falls sich ein solches Quadrat mit neun Heptominos füllen lässt, bleibt ein Elementarquadrat frei. Ist das möglich?

Es erinnert an ein Wunder: Ja, wir können die 108 Heptominos in zwölf Teilmengen teilen und aus jeder davon ein 8x8-Quadrat mit einem Loch legen. Wir können sogar erreichen, dass sich das Loch in jedem der Quadrate an der selben Stelle befindet. Diese perfekt Lösung stammt von Patrick Hamlyn [1].



Diese Lösung bietet auch eine elegante Möglichkeit für die Aufbewahrung der 108 Heptominos: Zwölf Schichten übereinander, bestehend aus Quadraten der Größe 8x8 mit jeweils einem Loch. Dazu eine Box in passender Größe.

Im unten angegebenen 3D-Modell werden die Elementarquadrate für die Heptominos mit einer Seitenlänge von 2cm gedruckt. Damit lässt sich nicht nur gut hantieren, sondern die gelegten Muster haben auch eine beeindruckende Größe und lassen sich in einem Bilderrahmen verewigen.

Außer Rechtecken sind auch viele andere Formen möglich. Hier beispielsweise das gezackte Quadrat (manchmal auch Aztekenquadrat genannt) mit Seitenlänge 19, bei dem die vier Ecken sowie die Mitte entfernt wurden.


3D-Druck:  Sie finden die STL-Files in der Sammlung zum Blog auf Thingiverse sowie bei Printables. Die Elementarquadrate haben eine Seitenlänge von 2cm. Damit sind die Steine angenehm groß und das abgebildete Quadrat hat eine beachtliche Seitenlänge von ca. 56.7cm.

Ähnliche Geduldspiele: Die Heptominos haben die gleiche Größe wie die Pentominos und Hexominos, alle diese Steine können also auch zusammen verwendet werden.

Mehr Infos

[1] https://gamepuzzles.com/hpnathan.htm

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