Bend it – Formveränderliche Hexominos

In einer 6x6-Kiste finden wir sechs Stangen aus je sechs Kugeln, jede Kugel ist entweder schwarz oder weiß. In diese Ausgangsstellung können wir das Puzzle immer wieder schnell bringen, wenn aufgeräumt werden muss. Aber das eigentliche Geduldspiel ist natürlich komplizierter: Die Stangen können an jeweils zwei Stellen um jeweils 90 Grad nach rechts oder links gebogen werden, dadurch erhält man andere Hexominos.

Insgesamt sind bei zwei Gelenken und drei Möglichkeiten zu Biegung (nach rechts, links oder nicht gebogen) neun verschiedene Hexominos pro Stange möglich, die allerdings nicht alle verschieden sind. Die Gelenke befinden sich bei zwei Stangen in den Kugeln 2 und 3, zweimal in 2 und 4 und einmal in 3 und 4. Im Bild sieht man die einzelnen Gelenke:

Das Begleitheft enthält 60 Aufgaben der folgenden Art: Vorgegeben ist jeweils ein 6x6-Quadrat aus schwarzen und weißen Kugeln. Dieses soll mit Hilfe der passend gebogenen Stangen gelegt werden. Da man der Vorlage nicht ansieht, welche Kugeln zusammenhängen, stellt dieses Puzzle zusätzliche Herausforderungen: Man muss sich entsprechend der Farben in der Vorlage passende Hexominos zusammenbiegen, und dann muss es natürlich noch am Ende alles passen. Aber wenn man mit den einfacheren Aufgaben anfängt, bekommt man ein Gefühl dafür, wo kritische Stellen in der Vorlage sind, die man vielleicht zuerst legen sollte.

Bend it ist ein wohldurchdachte und gut designtes Geduldspiel: Steine angenehmer Größe und  auch in der gebogenen Form stabil, und eine Kiste in der man das Puzzle jederzeit in gelöster oder ungelöster Form wegpacken kann.

Auf der Website von Smart Games gibt es einen Artikel von Raf Peeters [1] zum Design dieses Geduldspiels.

Design: Raf Peeters

Hersteller:  Smart Games / Jumbo 17866

Erscheinungsjahr: 2012

Google: bend-it Smart Games
Shopping: Kaum noch lieferbar, Preis 15-20€

Mehr Info:
[1] Raf Peeters: The story behind the creation of Bend-It

Unlösbar: Ein gezacktes Rechteck mit Pentominos überdecken

Kategorie: Pentominos in rechteckige und andere Rahmen packen

Der hier abgebildete Ausschnitt aus einem verdrehten Quadratgitter soll gezacktes Rechteck heißen. 

Es besteht aus 60 Elementarquadraten und man könnte sich deshalb vornehmen, es mit den zwölf Pentominos zu füllen. Doch das scheint nicht zu klappen. Kann man vielleicht sogar beweisen, dass eine Lösung unmöglich ist? Bei ähnlich gelagerten unlösbaren Aufgaben (für Quadrate der Größen 6x6, 8x8 oder 10x10) half eine schachbrettartige Färbung (mit zwei oder mehr Farben) weiter. Doch dieser Trick hilft hier nicht, wir müssen nach einer anderen Lösung suchen.

Bei vielen Überdeckungsaufgaben ist es eine gute Idee, am Rand zu beginnen. Und wenn Sie versuchen, zunächst die ganz außen liegenden Elementarquadrate des gezackten Rechtecks zu füllen, dann klapp schon dass nicht. Können Sie das beweisen? Die Details gibt es in  dem untenstehenden Lösungshinweis.

PolySolver-Hinweis: Statt Nachdenken können wir mittels Computer auch alle Möglichkeiten durchprobieren lassen. Software wie der PolySolver sagt dann: Keine Lösung gefunden. Auch das zählt als Unmöglichkeitsbeweis.

Lösungshinweis: Insgesamt müssen 22 solche außen liegende Elementarquadrate bedeckt werden. Jetzt schauen wir, wie viele davon jedes einzelne Pentomino maximal überdecken kann. Diese Anzahlen sind: F-3, I-1, L-1, N-2, P-2, T-1, U-1, V-1, W-3, X-3, Y-2 und Z-1. Insgesamt sind dies nur 21 statt der nötigen 22 Randfelder. Damit ist die Aufgabe unlösbar.

 

Historisches:  Pentominos wurden durch S. Golomb in den 1950er Jahren populär, die Aufgabe ist auch schon lange bekannt. Der Beweis oben stammt von R.M. Robinson.

Das Flying Puzzle entstand aus Anlass der legendären ersten Nonstopflugs von New York nach Paris am 20./21. Mai 1927. Der Rahmen hat die Größe 6x5, und der große 2x2-Block muss von links oben (New York) nach links unten (Paris) verschoben werden. Steine dürfen natürlich nicht herausgenommen oder übersprungen werden.

Die einzelnen Steine sind beschriftet, neben dem großen Stein als Flugzeug (Plane) stellen die anderen Steine Hindernisse dar (Fog, Water, Wind, Snow usw.) denen man ausweichen muss oder die vorbeiziehen können. Die Beschriftungen wurden aufgestempelt, leider sind einige von ihnen recht verwaschen.

Schwierigkeit: Der Rahmen ist relativ groß, und der Weg von links oben nach rechts unten ist deshalb relativ lang. Trotzdem benötigt die optimale Lösung kaum mehr Züge als andere Schiebespiele, deshalb ist das Flying Puzzle relativ einfach.

Lösungshinweis: Wenn Sie bei der Bewegung des großen Blocks darauf achten, dass die beiden kleinen Steine immer in seiner Nähe bleiben, sollten Sie sicher zum Ziel kommen.

 

Design:  US-Patent Nr. 1663568 von J.M. Schneider

Erscheinungsjahr: 1928

Hersteller: Standard Trailer Co.

Google: Tit-Bits Teaser
Shopping: Gelegentlich gebraucht lieferbar als Tit-Bits Teaser 2.

Äquivalente Geduldspiele: Im Buch von E. Hordern [1] trägt das Flying Puzzle die Nummer C56. Nach Ablauf des Patents ist das Schiebespiel von verschiedenen Herstellern und unter verschiedenen Namen aufgetaucht, darunter Starry Puzzler, Tit-Bits Teaser No. 2,  South Pole Expedition und Ching Foo. Mehr Bilder zu den anderen Varianten gibt es auf Jim Storer Puzzles [2].

3D-Druck: Für das Bild im Steckbrief wurde der Baukasten für mehr als 50 Schiebespiele benutzt.

Steckbrief

	Technischer Steckbrief für 6x5 Schiebespiel The Flying Puzzle
Größe	6x5
Aufgabe	2x2-Quadrat ans Ziel bewegen
Art der Bewegung	Schieben
Gesamtanzahl Steine	14
Alle Steine konvex?	ja
Anzahl Steine 2x2	1
Anzahl Steine 1x2 (senkrecht)	4
Anzahl Steine 2x1 (waagerecht)	7
Anzahl Steine 1x1	2
Anzahl Leerfelder	2
optimale Lösung (geradlinige Züge)	59
optimale Lösung (rektilineare Züge)	55
optimale Lösung (Gruppen)	30

Weitere Aufgabe mit der gleichen Startkonfiguration (Hordern C57):

Im Ziel wird gefordert, dass nicht nur der große Stein rechts unten liegt, sondern alle Steine (ohne Beachtung ihrer Beschriftung) an einer Stelle liegen die der um 180 Grad gedrehten Ausgangskonfiguration entspricht.

Diese Aufgabe benötigt 113 rektilineare Züge und ist damit viel schwieriger.

Quellen:

[1] L. E. Hordern: Sliding Piece Puzzles, Oxford University Press, 1986

[2] Jim Storer Puzzles

Einfaches Schiebespiel der Größe 4x3 von F.C. Hughes

Die bisher betrachteten Schiebespiele hatten typischerweise die Größe 4x5. Aber es geht auch kleiner, ohne allzu einfach zu werden. Das hier vorgestellte Schiebespiel stammt von F.C. Hughes und wurde ohne Titel im Jahr 1947 in der amerikanischen Zeitschrift Amateur Handicraft Magazine veröffentlichet. Es fand auch Aufnahme in die Sammlung von L.E. Hordern [1] und trägt dort die Nummer C13.

Das folgende Foto zeigt Start-und Zielkonfiguration.

Das heißt, der rote Block soll nach rechts unten verschoben werden, die Lage der restlichen Steine am Ziel ist nicht vorgegeben. 

Schwierigkeit: Natürlich ist dies nicht das schwierigste Schiebespiel aller Zeiten. Aber bei solchen kleinformatigen Spielen lässt es sich sehr gut üben, die großen Steine aneinander vorbei zu bringen. Denn der rote stein muss nicht nur nach unten, die zwei liegenden Dominos müssen zusätzlich nach oben. Einfach, aber trotzdem gut geeignet für Anfänger. Das hier erworbene Können lässt sich auch bei größeren Schiebespielen wieder anwenden.

Design:  F.C. Hughes
Erscheinungsjahr: 1947

3D-Druck: Für die Bilder wurde der Baukasten für mehr als 50 Schiebespiele benutzt.

Steckbrief

	Technischer Steckbrief für 3x4 Schiebespiel Schiebespiel F.C. Hughes
Größe	3x4
Aufgabe	1x2-Quadrat ans Ziel bewegen
Art der Bewegung	Schieben
Gesamtanzahl Steine	7
Alle Steine konvex?	ja
Anzahl Steine 2x2	-
Anzahl Steine 1x2 (senkrecht)	1
Anzahl Steine 2x1 (waagerecht)	2
Anzahl Steine 1x1	4
Anzahl Leerfelder	2
optimale Lösung (geradlinige Züge)	24
optimale Lösung (rektilineare Züge)	21
optimale Lösung (Gruppen)	16

Achtung: Unlösbar bei kleiner Veränderung

Wenn Sie die unteren beiden Zeilen in der Ausgangsstellung vertauschen, wird das Geduldspiel unlösbar. 

Weitere Aufgabe mit den gleichen Steinen:

Die Lösung für das obige Schiebespiel benötigt 21 rektilineare Züge. Geht es noch komplizierter, wenn wir die Steine in der Ausgangskonfiguration anders anordnen? Oder, wenn wir das Ziel verändern?

Um solche Fragen zu beantworten, sollte man am besten Software für sich arbeiten lassen, beispielsweise den SBP Solver. Dann findet man die folgende Aufgabe, welche 32 rektilineare Züge für die Lösung benötigt:

Quellen:

[1] L. E. Hordern: Sliding Piece Puzzles, Oxford University Press, 1986

Sao Paulo Puzzle / Cast Devil

Vor uns liegen zwei gleiche verchromte Metallteile, gebogen aus Draht von mehreren Millimetern Durchmesser. An den Enden befinden sich parallele Stäben. Deren Abstand ist zu gering, das andere Teil einfach einzuhängen. Trotzdem sieht alles ganz einfach aus. Man nimmt jede Wette an, dass man es binnen weniger Minuten lösen kann. 

Diese Situation  mit den eng stehenden parallelen Stäben sollte und bekannt vorkommen und an eine Lösung erinnern. Aber sobald wir versuchen, die zwei Paare paralleler Stäbe diagonal durcheinander hindurchzuschieben, scheitern wir: Es gelingt einfach nicht, die beiden Teile in die dafür notwendige Lage zu bekommen. Die Form der Teile ist so gewählt, dass es immer irgendwo klemmt.

Schwierigkeit: Zwar ist schnell klar, an welcher Stelle sich die zwei Teile voneinander lösen lassen, aber kurz vor der Lösung scheitert man (fast) immer.  Hanayama vergibt 5 von 6 Sternen und ist damit für Experten gedacht.

Da es recht dekorativ ist und eine ansprechende Größe hat, kann man es einfach auf dem Tisch liegen lassen und warten, bis einer der Gäste es in die Hand nimmt. Sie können die Lösung sogar in fleißenden Bewegungen vormachen, ohne dass alle klar wird.

Varianten: Es gibt zahlreiche Varianten von verschiedenen Herstellern.

Design:  Patentiert als "Devil's Claws" 1905, überarbeitet von Nob Yoshigarara (für Cast Devil)
Hersteller:  Hanayama und andere
Erscheinungsjahr: 1994 (für Cast Devil)

Google: Cast Devil
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 12€

Double Clips

Hier ist ein kleine Metallpuzzle mit parallelen Stäben an zwei identischen Teilen. Jedoch ist die Situation etwas anders als üblich, weil hier die Stäbe nicht in der gleichen Richtung zu ihrem Ende hin verlaufen, sonders in entgegengesetzter Richtung. Der Verlauf erinnert an Büroklammern, deshalb der Name Double Clips.

Schwierigkeit: Einfach, man bekommt die zwei Teile schnell in die nötige Position.

Varianten: Man findet diese Geduldspiel unter verschiedenen Namen in vielen Varianten, oft auch zusammen mit anderen Metallpuzzles in einem Set.

Design: klassisch

Google: Metallpuzzle Set

Shopping: Lieferbar im Set.

Claws / Krallen: Metallpuzzle mit parallelen Stäben

Die folgende Aufgabe wird uns wieder und wieder begegnen: Zwei massive Metallteile (z.B. gebogene dicke Drahtstücken oder Rundeisen) hängen ineinander und sollen voneinander befreit werden. Im zweiten Schritt sollen sie wieder ineinandergehängt werden. Beide Teile sind häufig identisch und haben die Eigenschaft, dass an der Öffnung jedes Teils die beiden Enden ein Stück lang parallel verlaufen und dann enden. Leider verlaufen diese parallelen Enden nahe beieinander, ihr Abstand beträgt nur rund die Hälfte des Drahtdurchmessers. Wenn sie einen etwas größeren Abstand wären, könnte man die beiden Teile einfach ineinanderhängen und das Geduldspiel wäre sofort gelöst. Doch leider sind unsere Metallteile so stabil, dass sie sich nicht ohne Gewaltanwendung auseinanderbiegen lassen.

Der wichtigste Schritt zur Lösung soll hier verraten werden, weil diese Methode zum Grundwissen jedes Puzzlelösers gehört. Im nächsten Foto sehen Sie die Einzelzeile in der Position, dass sich das Metallpuzzle öffnen und schließen lässt.

Das folgende Bild zeigt den Querschnitt durch die Drähte in der Position zur Lösung: Durch den Spalt zwischen den beiden Enden eines Teils (z.B. die blauen Kreise im Bild) lässt sich nicht der gelbe Draht (also das andere Teil) hindurchschieben, dazu müsste der Spalt rund doppelt so breit sein. aber man kann die beiden anderen Enden um 90 Grad gedreht durch den Spalt hindurch bewegen. Wenn wir berechnen wollen, wie groß der Spalt sein muss, damit die beiden Enden aneinander vorbei gleiten können, dann betrachten wir das eingezeichnete rechtwinklige Dreieck. Beide Katheten haben als Länge genau den Durchmesser des Drahtes, damit hat der Spalt die Breite  d⋅(√2-1) ≈ 0.414 d. Deshalb bietet ein halber Durchmesser für den Spalt genügend Platz.

Damit ist die Theorie erklärt. Wie man schon vermuten kann, hält die Praxis aber noch einige Überraschungen bereit. Bei den etwas komplizierteren Geduldspielen dieser Art verhindern die Art der Biegung, dass man die zwei Einzelteile in die oben beschriebene Position bringen kann. Hier steckt dann die eigentliche Herausforderung des Geduldspiels.

Außerdem gibt es im Falle verbogener Nägel zusätzliche Verdickungen an einem Ende, die zusätzliche Schwierigkeiten bereiten.

 

Hexiamonds / Verhext

Hexiamonds sind Bausteine, bei denen jeweils sechs gleichseitige Dreiecke an Kanten zusammengefügt wurden. Es gibt genau 12 verschiedene Hexiamonds:

Diese bestehen aus insgesamt 72 Elementardreiecken und sie lassen sich in verschiedene Rahmen legen. Die aus geometrischer Sicht regelmäßigsten Rahmen sin Parallelogramm (ähnlich den Rechtecken bei Pentominos).

Füllen lassen sich die Parallelogramme der Größen 6x6 und 9x4, nicht aber 3x12. Auch möglich ist ein Trapez mit Basis 11 und Höhe 4, siehe [1]. Außerdem sind viele weitere Formen möglich, siehe z.B. [2].

Schwierigkeit: Die Schwierigkeit ist für die verschiedenen Aufgaben unterschiedlich, wie man an der jeweiligen Zahl der verschiedenen Lösungen sehen kann. Insgesamt ist die Schwierigkeit ähnlich hoch wie bei Pentominos.

PolySolver-Info: Aufgaben mit Hexiamonds lassen sich auch mit dem PolySolver lösen, dazu muss der Grid type auf Triangle gesetzt werden.

Historisches: Der Name Polyamonds für Bausteine aus Dreiecken (und damit auch Hexiamonds für solche aus sechs Dreiecken) wurde von Thomas O'Beirne im Jahr 1961 [3] vorgeschlagen. Bereits in den 1960er Jahren gab es in Deutschland das Spiel Verhext - nach Prof. Dr. Heinz Haber. Es enthält die oben abgebildeten Hexiamonds sowie viele Aufgaben.

3D-Druck: STL-Dateien für den 3D-Druck findet man bei Thingiverse von Pentoma, dazu gleich noch viele Aufgaben auf ihrer Website [2]. 

Erscheinungsjahr: 1960er

Google: Hexiamonds
Shopping: Kaum lieferbar.

Mehr Info:

[1] Polyamonds bei PolyPages

[2] Hexiamonds bei Pentoma

[3] Thomas H. O'Beirne: New Scientist 1961 Nr. 1, S. 164

Knospe / Les Jeux du Roy

Eine hölzerne Knospe auf einem Ständer mit einer Höhe von ca. 9,5cm (ohne Ständer) ist durch teilweise verzahnte Schnitte in 14 Teile zerlegt. Ein auf dem Fuß montierter senkrechter Stab durchbohrt einige Teile und hält die Knospe sicher zusammen.

Qualität: Das Puzzle ist sehr dekorativ und handwerklich hochwertig. Die Sägeschnitte sind dünn und sauber, die Oberfläche ist poliert.

Schwierigkeit: Natürlich bereitet es nur wenige Schwierigkeiten, die Knospe auseinanderzunehmen oder wieder zusammenzusetzen.  

Hersteller und Artikelnummer:  SMIR JR1200

Erscheinungsjahr: ca. 1990er

Shopping: Nicht lieferbar.

Politiker-Knobeleien

Kategorie: Quadratische 3x3-Legespiele

Kennen Sie noch die hier abgebildeten Politiker? Außer Helmut Kohl (CDU) finden Sie Hans-Jochen Vogel (SPD), Hans-Dietrich Genscher (FDP) und Franz Josef Strauß (CSU). Die Köpfe werden von den Uralt-Puzzlern sicher erkannt. Für die dazu passenden Unterteile muss man nicht auf Details wie die Lederhose von Strauß achten, sondern kann die Beschriftungen mit den Parteinamen verwenden. Und sicherheitshalber sind die Köpfe auch mit den Namen der Parteien versehen, so dass das Geduldspiel auch ohne Kenntnis der Gesichter funktioniert. Schon damals war wohl klar, dass früher oder später einige prominente Politiker in Vergessenheit geraten könnten. 

Wir haben also wieder ein typisches 3x3-Anlegespiel vor uns: Neun Karten mit jeweils vier Politikerhälften sind korrekt zu einem 3x3-Quadrat zusammenzufügen. Auf den Rändern der Karten sind jeweils zwei Köpfe und zwei Unterteile nebeneinander abgebildet, die Karten sind also orientiert. 

Schwierigkeit: Einigermaßen schwer, da es nur eine orientierte Lösung gibt. Es gibt aber weitere, nicht-orientierte Lösungen.

Hersteller:  ASS 2070/2
Erscheinungsjahr: 1980er Jahre

Google: Politiker-Knobeleien Ass
Shopping: Selten gebraucht lieferbar.

	Technischer Steckbrief: 3x3 Edge Matching Puzzle Politiker-Knobeleien
Karten doppelt vorhanden?	nein
Orientiertheit der Karten	ja
Anzahl Lösungen	5
davon orientiert	1
Anzahl Karten mit 4 Figuren	5
Anzahl Karten mit 3 Figuren	3
Anzahl Karten mit 2 Figuren	1
Schwierigkeit [*]	5081
Fingerabdruck [*]	AABC-ABac-ADCB-Aadb-Acaa-AdCb-Babc-CaDb-adbc

[*] Schwierigkeit und Fingerabdruck wurden mit dem Online-Solver von A. Keilhauer berechnet.

Passt's? (Noris)

Kategorie: Quadratische 3x3-Legespiele

Hier wieder ein typisches 3x3-Anlegespiel: Neun Karten mit jeweils vier Halbbildern von Katze, Maus, Apfel und Made sind so zu einem 3x3-Quadrat zusammenzufügen, dass jeweils passende Bildhälften aneinanderliegen. Auf den Rändern der Karten sind jeweils zwei Kopfteile und zwei restliche Körper nebeneinander abgebildet, die Karten sind also orientiert. Die Abbildung zeigt alle Karten in der gleichen Orientierung, allerdings ist das keine Lösung des Geduldspiels wegen der nicht passenden Karte links unten.

Schwierigkeit: Schwer, da es keine orientierte Lösung gibt. Die Verpackung verrät: Es gibt nur zwei Lösungsmöglichkeiten.

Logisch äquivalente Geduldspiele: Der Fingerabdruck für Legespiele beschreibt die logische Struktur unabhängig von der grafischen Gestaltung. Wenn Sie auf den Link des Fingerabdrucks in der Tabelle unten klicken, finden Sie mehrere Varianten dieses Geduldspiels. 

Hersteller: Noris-Verlag
Erscheinungsjahr: 2016

Google: Passt's Noris
Shopping: Lieferbar, ca. 5€.

	Technischer Steckbrief: 3x3 Edge Matching Puzzle Passt's?
Karten doppelt vorhanden?	nein
Orientiertheit der Karten	ja
Anzahl Lösungen	2
davon orientiert	-
Anzahl Karten mit 4 Figuren	4
Anzahl Karten mit 3 Figuren	5
Anzahl Karten mit 2 Figuren	0
Schwierigkeit [*]	7270
Fingerabdruck [*]	ABCD-ABCb-ABac-AcBd-AdCb-BcDd-BdcD-Dcda-abcd

[*] Schwierigkeit und Fingerabdruck wurden mit dem Online-Solver von A. Keilhauer berechnet.