Der Minotaurus-Cube gehört zu der Reihe der sogenannten „Griechischen Reihe“, die 1996/97 von Bernhard Schweitzer entwickelt wurde.
Die Aufgabe besteht darin, jeweils drei Tetrakuben (untere Reihe) und drei Pentakuben (obere Reihe) zu einem 3x3x3-Würfel zusammenzubauen. Dabei handelt es sich um die abgebildeten Polykuben:
Der Begleittext verrät, dass es genau zwei verschiedene Lösungen gibt. Außerdem wurde nach Erscheinen bekannt, dass bereits in den 1970er Jahren der US-Amerikaner Adrian Fisher ein identisches Puzzle erfunden hatte.
Die verwendeten Steine haben eine große Ähnlichkeit zu den beim Megaron-Cube verwendeten Steinen: Nur einer der Steine (links unten im Bild) wurde ausgetauscht.
Design: Bernhard Schweitzer Hersteller und Artikelnummer: Philos 6267 Erscheinungsjahr: 1996/97
Polykuben entstehen, wenn man mehrere Elementarwürfel so zusammenklebt, dass jeweils ganze Seitenflächen zusammenstoßen. Betrachtet man nur die Mittelpunkte der Elementarkuben eines speziellen Steins, so können diese in einer Ebene liegen oder auch nicht. Im ersten Fall sind diese äquivalent zu den entsprechenden Polyominos, im zweiten Fall sprechen wir von echt dreidimensionalen Polykuben.
In der Abbildung unten werden immer zuerst die flachen Polykuben angegeben, danach die echt dreidimensionalen. Im Beispiel der Pentakuben sieht man zunächst zwölf ebene Pentakuben, diese entsprechen genau den zwölf Pentominos. Danach folgen weitere 17 echt dreidimensionale Pentakuben, die beispielsweise beim Grab der Pentakuben verwendet wurden.
Auch aus Ananasscheiben (natürlich aus Kunststoff) kann man ein Geduldspiel
machen: Wir nehmen fünf Ananasscheiben. Jede Scheibe wird gedanklich in zwölf
gleiche Segmente ähnlich zu Kuchenstücken zerschnitten und anschließend werden
einige solche Teile wieder zusammengeklebt, und zwar so, dass jeweils ganze
Flächen aneinanderstoßen. Und zwar bleiben zum Schluss zwölf Spielsteine,
bestehend aus jeweils fünf Ananasstückchen. Dazu gibt es ein zylindrisches
Glas, in das die Teile eingepackt werden sollen, so dass zum Schluss die fünf
Ananascheiben flach übereinander im Glas liegen.
Schwierigkeit: Das Geduldspiel erweist sich als kompliziert, auch weil
es anders ist als das, was man bisher kennt. Vielleicht findet man nach
längerer Zeit und systematischem Probieren eine Lösung, aber einige
theoretischen Überlegungen helfen.
Betrachten wir das (teilweise oder ganz) gelöste Geduldspiel im Glas von
außen, so erkennen wir Muster, die wir von Pentominos kennen. Die Größe von
5x12 (fünf Scheiben mit je zwölf Segmenten) passt auch zu Pentominos.
Betrachten wir die etwas allgemeinere Situation von Pentominos auf der
Zylinderoberfläche:
Was passiert, wenn wir einen Zylinder (beispielsweise mit Umfang 12 und Höhe
5) mit Pentominos bedecken wollen? Die Situation ist gegenüber dem dazu
passenden 5x12-Rahmen etwas anders:
Die Pentominos müssen in einer Richtung gebogen sein, um auf die
Zylinderoberfläche zu passen. Dadurch ist zwar eine Drehung um 180 Grad noch
möglich, aber die Drehung um 90 Grad ist unverträglich mit der Biegung.
Diese Situation kennen wir schon von den
polarisierten Pentominos. Aber auch das Wenden der Pentominos ist wegen der Biegung
unmöglich.
Außerdem hat sich der Rand der zu füllenden Fläche geändert: Es gibt noch
den oberen und den unteren Rand, aber der linke und rechte Rand sind
verschwunden. Natürlich kann man jede Lösung im rechteckigen 5x12-Rahmen um
den Zylinder wickeln, aber es gibt auch Lösungen ohne senkrechte
Schnittkante, bei denen die rechte und linke Seite passend verzahnt sind,
z.B. die folgende:
Dies ist aber nicht die Lösung für Pineapple Delight, sondern die
soll natürlich nicht verraten werden. Es gibt aber einen Lösungshinweis.
Lösungshinweis: Zur Lösung können wir den PolySolver benutzen. Da wir aber vorher nicht wissen, wie die rechte bzw. linke Seite des Rahmens in der Lösung aussehen, müssen wir mehrere Rahmen durchprobieren. Der Rahmen oben gehört leide nicht zur Lösung.
Um eine 90-Grad-Drehung der Steine zu verhindern, sollte das Gitter auf "Rectangle" eingestellt werden.
Design: Nob Yoshigahara
Hersteller: Beverly Japan Erscheinungsjahr: ca. 1995 als Toyo Glass Puzzle
Auf den ersten Blick sehen wir wieder ein Geduldspiel, bei der Polyformen in
einen Rahmen gepackt werden müssen. Diesmal sind aber nicht Quadrate, sondern
jeweils fünf Rechtecke zu Spielsteinen zusammengefasst worden.
Auf den zweiten Blick steckt hinter der kleinen Änderung jedoch auch ein
theoretischer Hintergrund: Pentominos bestehen aus jeweils fünf
Elementarquadraten und es gibt zwölf verschiedene. Das wissen wir schon lange
und genauso, dass man daraus viele schöne Geduldspiele machen kann. Wenn man
es komplizierter haben will, kann man die Elementarquadrate schachbrettartig
einfärben. Aber wir haben noch mehr Möglichkeiten: Diesmal sollen die
Elementarquadrate in einer achsenparallelen Richtung mit einem Streifen in der
Mitte versehen werden. Und natürlich verlangen wir, dass die zu legende Figur
in einer Richtung gestreift ist! Wir können unsere Pentominos plötzlich nicht
mehr um 90 Grad drehen, sondern nur noch um 180 Grad. (Übrigens könnten wir
auch auf eine andere Art achsenparallele Streifen anbringen, beispielsweise
die obere Hälfte färben. Dann wären auch Drehungen um 180 unmöglich.)
Diese zusätzlichen Streifen mit der ausgezeichneten waagerechten Richtung
entsprechen einer optischen Polarisation, deshalb werden diese Pentominos
gelegentlich auch parallel polarisierte Pentominos genannt. Äquivalent
dazu haben wir noch eine weitere Möglichkeit, die 90-Grad-Drehungen zu
verhindern: Wir verwenden statt der Elementarquadrate jetzt Elementarrechtecke
(also etwas "plattgedrückte Quadrate"), dann erzielen wir den gleichen Effekt.
Zum selber Ausprobieren können wir entweder gestreifte Pentominos auf Papier
drucken oder mit dem 3D-Drucker Pentominos aus Rechtecken drucken.
Hier ist ein vollständiger Satz solcher polarisierten Pentominos. In den
oberen beiden Zeilen befinden sich die Pentominos mit zwei Varianten, oben die
"langen dünnen" und darunter die "kurzen dicken". Bei den Pentominos W, X und
V in der dritten Zeile fallen beide Varianten zusammen. Das liegt daran, dass nur sie eine Symmetrieachse parallel zu einer Diagonale im Quadratgitter besitzen.
Es sind also nicht mehr nur 12 Stück, sondern 21. Diese 21 Pentominos bestehen
aus 105 Elementarrechtecken. Die Primfaktorzerlegung von 105 ist 3*5*7, wir
können also versuchen, Rechtecke der Größen 5x21 und 7x15 mit den Pentominos
zu füllen. Da wir zwei I-Pentominos in verschiedene Richtungen legen müssen,
ist ein Rechteck der Größe 3x35 nicht möglich. Außer den Rechtecken 5x21 und
7x15 (sowohl im Hoch- wie im Querformat, also vier verschiedene Aufgaben) gibt
es noch viele andere lösbare Aufgaben mit anderen Formen. Beispielsweise ist
105=121-16, d.h. wir können aus einem plattgedrückten 11x11-"Quadrat" als
Rahmen vier weitere 2x2-Quadrate entfernen und erhalten so unter anderem die
folgenden Rahmen:
Diese lassen sich auch mit den 21 polarisierten Pentominos füllen, allerdings
gibt es viel weniger Lösungen, diese Aufgaben sind dadurch wesentlich
schwieriger.
PolySolver-Info 1: Der PolySolver kann uns natürlich helfen, für das
zugrundeliegende rechteckige Gitter gibt es den Grid type: Rectangle. Sie
können leicht die Form des Rahmens ändern und mit anderen Rahmen
experimentieren.
PolySolver-Info 2: Der PolySolver findet 1080 Lösungen, wegen
der möglichen Rotationen um 60 Grad sowie zusätzliche Spiegelungen muss man
diese Zahl durch 12 teilen, dies ergibt 90 echt verschiedene Lösungen.
Hier finden Sie die die
PolySolver-Datei
für die polarisierten Pentominos und den im oberen Foto abgebildeten
7x15-Rahmen. Das Programm findet innerhalb der ersten 90 Minuten rund 75.000
verschiedene Lösungen. Bei diesen findet sich das "dicke" I immer an
derselben Position in der linken unteren Ecke, so dass die Suche nach allen
Lösungen noch sehr lange dauern sollte.
Und wir haben noch eine andere Möglichkeit, weitere Geduldspiele zu erzeugen.
Wir nehmen die gewöhnlichen 12 Pentominos bestehend aus Elementarquadraten,
lösen damit eine der üblichen Aufgaben und stauchen erst danach die gesamte
Lösung etwas, so dass aus den Elementarquadraten jetzt Elementarrechtecke
werden. Dann haben wir die nötigen polarisierten Pentominos vorliegen, um die
polarisierte Aufgabe zu lösen. Im Unterschied zu oben wird von jeder Variante
der Pentominos nur noch eine verwendet, also beispielsweise entweder das
"kurze dicke" oder das "lange dünne" I-Pentomino. Diesem Problem werden wir
uns noch einmal in einem anderen Post widmen.
Einfaches Nachrechnen zeigt die Richtigkeit der sog.
Würfelgleichung: 3³+4³+5³=6³. Daraus ein Geduldspiel machen kann
man, indem man nach einer Menge von Polykuben (also an Seitenflächen
zusammengeklebten Einheitswürfeln) sucht, aus denen man als erste Aufgabe
gleichzeitig drei Würfel mit den Seitenlängen drei, vier und fünf erhält und
als zweite Aufgabe einen Würfel der Seitenlänge sechs.
Bei dem vorliegenden Geduldspiel sind zusätzlich die Polykuben für die drei
Würfel der ersten Aufgabe aus drei verschiedenfarbigen Hölzern gefertigt, was
die Aufgabe noch etwas konkretisiert. Insgesamt werden die folgenden Steine
verwendet:
Das Bild zeigt oben rechts die sieben Steine für den 3x3x3-Würfel, oben links die 12 Steine für den 4x4x4-Würfel und darunter die 29 Steine für den
5x5x5-Würfel (einer davon hat die falsche Farbe).
Schwierigkeit: Leicht bis mittelschwer. Der 3x3x3-Würfel lässt sich
völlig problemlos zusammensetzen. Für den 4x4x4-Würfel sieht die Sache schon
schwieriger aus, dafür gibt es unten einen Lösungshinweis. Der 5x5x5- und der
gesamte 6x6x6-Würfel sind wieder vergleichsweise einfach, weil es genügend
kleine, einfach geformte Steine gibt, die man bis zuletzt aufheben kann.
Man kann sogar versuchen, besonders ästhetische Lösungen zu finden. Im Bild
oben sitzt der 4x4x4-Würfel in einem Rahmen, der aus den restlichen Steinen
besteht. Dabei sind die anders gefärbten Steine für den 3x3x3-Würfel im
Inneren versteckt.
Lösungshinweis: Der 4x4x4-Würfel lässt sich aus zwei
identischen Teilen zusammensetzen.
Ähnliche Geduldspiele: Es gibt zahlreiche andere Geduldspiele zum Thema
Cube Equation. Immer besteht die Aufgabe darin, aus vorgegebenen Steine
einmal die drei kleinen Würfel zusammenzusetzen und alternativ aus allen
Steinen den 6x6x6-Würfel zusammenzubauen. Eine Übersicht gibt es auf
puzzlewillbeplayed.com. Suchen Sie in der rechten Spalte nach 3³+4³+5³.
Hersteller: Philos (?)
Frage: Wer kann helfen mit sichern Angaben zum Hersteller und dem
Handelsnamen?
Das Puzzle erinnert ein wenig an ein 15er-Spiel, aber es gibt kein freies Feld
und die Teile bewegen sich anders: In einem 4x4-Quadrat sind bewegliche Teile
mit den Zahlen 1 bis 16 angeordnet.
Auf der Rückseite gibt es fünf gelbe Stifte (auch von vorn sichtbar), mit
denen jeweils vier der sechzehn Teile ihre Plätze kreisförmig tauschen können:
Dies betrifft jeweils die vier Felder in jeder Ecke sowie die vier Felder in
der Mitte. Die vier äußeren Stifte bewegen also jeweils verschiedene
Positionen unabhängig voneinander, aber der innere Ring überlagert sich
jeweils an einer Position mit jedem der äußeren Ringe. Dadurch kann man die
anfangs geordneten 16 Zahlen schnell durcheinanderbringen, und die Zahlen
stehen nach einigen Bewegungen auch nicht mehr aufrecht, sondern sind meist
verdreht.
Die Aufgabe besteht natürlich darin, wieder Ordnung herzustellen.
Schwierigkeit: Mit sechzehn Steinen und vielen unabhängigen
Drehbewegungen erscheint das Puzzle nicht zu kompliziert, und dieser Eindruck
trügt auch nicht.
Lösungshinweis 1: Es ist relativ einfach, zunächst die zwölf
Steine am Rand in die korrekte Lage zu bringen. Dafür reicht der beim
15er-Spiel verwendete Trick zur Einordnung des jeweils letzten Steins.
Lösungshinweis 2: Wir bezeichnen mit A die Drehung eines
Stifts in einer ausgewählten Ecke und mit M die Drehung des mittleren Stifts
(jeweils um 90 Grad im Uhrzeigersinn) und mit A' und M' die Drehungen in die
umgekehrte Richtung. Dann passiert bei der Bewegung AMA'M' folgendes: Drei
Steine tauschen zyklisch ihre Plätze, alle anderen Steine bleiben fest. Dies
ist ausreichend zur Lösung des Geduldspiels, wenn man vorher mit einer oder
zwei zusätzlichen Bewegungen jeweils drei umzuordnende Steine an die
geeigneten Positionen bringt.
Frage 1: Ist die folgende Aussage richtig: Wenn eine Ziffer sich an
ihrem rechten Platz befindet, dann steht sie immer aufrecht und ist
niemals verdreht.
Frage 2: Egal wie herum man das Puzzle hält: Die Ziffer 1 kann immer
aufrecht in die linke obere Ecke gedreht werden. Lässt sich danach in jedem
Fall das Puzzle lösen oder gibt es nur eine Seite oder nur zwei
gegenüberliegende Seiten, so dass das Puzzle lösbar ist? Wenn das so wäre,
hätten wir eine weitere Parallele zum 15er-Spiel: Manchmal ist es lösbar,
manchmal nicht.
Puzzlerone ist ein weiteres Geduldspiel zum Thema Schokolade, angelehnt an die Schweizer Schokolade Toblerone: Eine Gebirgskette aus 12 Gipfeln ist zusammengesetzt aus neun Teilen, diese wiederum setzen sich jeweils aus maximal vier geraden Prismen mit gleichseitigen Dreiecken als Grundfläche zusammen.
Schwierigkeit: Trotz der markanten Gebirgskette sieht man den einzelnen Teilen nicht sofort die richtige Orientierung an, was das Geduldspiel etwas schwieriger macht, als es auf den ersten Blick erscheint.
Ein nettes Geduldspiel aus Buchenholz in einer Verpackung, die ebenfalls stark an das Vorbild aus Schokolade erinnert.
Puzzlerone ist das Austauschpuzzle von Karin und Jürg von Känel zu IPP 2009.
Eigentlich ist dies kein Geduldspiel zum Stapeln von Polyformen, aber wenn man das Puzzle um 90 Grad dreht und eine Art senkrechter Schokoturm entsteht, dann können wir Puzzlerone als Stapelaufgabe klassifizieren.
Design: Karin und Jürg von Känel Erscheinungsjahr: 2009
Handschellen und Hufeisen sind zwar ganz verschiedene Dinge, aber man kann funktionsgleiche Geduldspiele daraus machen: Zwei recht massive Handschellen sind in der Mitte durch zwei kleine Ringe verbunden, über dieser relativ engen Position in der Mitte hängt zusätzlich ein großer Ring. Der ist nicht groß genug, um über die Handschellen geschoben zu werden, muss aber trotzdem befreit werden.
Wie bei allen Tavern-Puzzles handelt es sich auch hier um ein handgeschmiedetes Objekt von überdurchschnittlicher Größe.
Schwierigkeit: Die Situation ist identisch zum klassischen Hufeisen-Puzzle, die Lösung sollte auch hier nicht schwierig sein.
Dieses Super-Ei kann, was normale Eier nicht können, und deshalb zählt es zu den unmöglichen Objekten: Es steht aufrecht, und das auch noch einigermaßen stabil.
Wie kann das sein? Das abgebildete Super-Ei wurde 3D-gedruckt und deshalb ist seine mathematische Form genau bekannt. Bei einem senkrechten Schnitt durch dieses Super-Ei erhalten wir keine Ellipse, sondern eine sogenannte Super-Ellipse. Der Unterschied besteht in einem leicht veränderten Exponenten. Wir erinnern uns: Die mathematische Formel für einen Kreis mit Radius r ist x²+y²=r², oder äquivalent dazu (x/r)²+(y/r)²=1. Wenn wir daraus eine Ellipse machen, gibt es statt dem einheitlichen Radius eine kleine Halbachse a und eine große Halbachse b, die Formel für die Ellipse ist dann (x/a)²+(y/b)²=1. Diese Ellipse steht nicht stabil mit senkrechter großer Halbachse, sondern sie rollt ab und liegt dann flach.
Und jetzt machen wir aus der Ellipse eine Superellipse. Dafür wird der Exponent von zwei leicht vergrößert, in unserem Falle auf 2.5. Als Ergebnis wird die Ellipse so verformt, dass sie etwas "aufgeblasen" wird, aber dabei nicht größer und in der Mitte auch nicht dicker wird. Die Vergrößerung findet unten und oben an den äußeren Rändern statt. Mathematisch gesprochen verkleinert sich dadurch die Krümmung an den Polen und plötzlich steht das Super-Ei stabil.
Als dekoratives Objekt und Super-Ei wurde dieser mathematische Körper von Piet Hein entdeckt. Piet Hein ist uns schon als Erfinder des Soma-Würfels begegnet. Von ihm gibt es sehr große, verchromte Super-Eier, die man auch übereinanderstapeln kann. Ein Video, dass die mathematischen Hintergründe erklärt, findet sich unter [1].
3D-Druck: Für oben abgebildete Super-Ei wurden zwei Hälften gedruckt und diese zusammengeklebt. Wenn man versucht, ein Super-Ei in einem Stück zu drucken, benötigt man Stützen, die sich dann nicht ganz spurlos entfernen lassen.
Design: Piet Hein, 1960er Jahre. 3D-Druck: Die STL-Datei zum oben abgebildeten Super-Ei findet sich auf Thingiverse.
Neun identische Heptominos (d.h. Steine bestehend aus jeweils sieben
Elementarwürfeln) sollen 63 der 64 Elementarwürfel eines 4x4x4-Würfels füllen.
Der leere Elementarwürfel stellt die Wohnung des Holzwurms dar. Und der möchte
gern im Inneren des 4x4x4-Würfels leben, nicht auf einer Außenseite. Suchen
Sie nach allen möglichen Plätzen für den Holzwurm und Sie werden verstehen,
warum der Holzwurm unglücklich ist.
Das Geduldspiel wird in einer Box der Größe 2x5x7 geliefert. Im gefüllten
Zustand bleiben also sieben freie Elementarwürfel. Trotzdem ist es nicht ganz
so einfach, das Puzzle in diese Aufbewahrungsbox zu packen.
Schwierigkeit: Durch die ungewöhnliche Form der Heptominos ist es
schwierig, sie alle in einen 4x4x4-Würfel zu packen. Nach einiger Zeit der
Übung sieht man schon besser, auf welche Art man diese Heptominos
zusammenfügen soll.
Es gibt verschiedene Ausführungen des Geduldspiels: Edle Versionen in einer
4x4x4-Holzkiste, oder einfachere Varianten, auch aus Plastikwürfeln. Eine
Version aus LiveCubes war das Austauschpuzzle von Joe Becker auf IPP25
im Jahr 2005 in Helsinki und ist oben abgebildet.
PolySolver-Info: Der PolySolver findet 24 Lösungen, die alle identisch sind:
Der Würfel hat 6 Seiten und kann 4x um 90 Grad gedreht werden.
Ähnliches Geduldspiel: Aus dem gleichen Jahr und vom gleichen Designer
gibt es auch Nobs Unhappy Woodworm Nr. 1, hier wird für die
gleiche Aufgabe ein anderes Heptomino verwendet.
Frage 1: Gibt es noch mehr Heptominos, so dass man sieben Exemplare im
4x4x4-Würfel unterbringen kann? Und wo befinden sich jeweils die übrigen
Löcher?
Frage 2: Lässt sich die Fragestellung auch so abändern, dass man statt
neun gleicher Heptominos diesmal sieben gleiche Nonominos (bestehend aus
jeweils neun Elementarwürfeln verwendet?
Das Puzzle besteht aus den vollständigen Sätzen der Polyominos von N=1 bis N=5. Zur besseren Unterscheidung sind sie entsprechend der unterschiedlichen N-Werte unterschiedlich gefärbt. Diese bestehen aus 89 Elementarquadraten und dazu gibt es einen Rahmen der Größe 89. Da 89 eine Primzahl ist und der Rahmen symmetrisch sein sollte, musste eine etwas ungewöhnliche Form gewählt werden. Die Polyominos bestehen wie der Rahmen aus lasergeschnittenem Plexiglas.
Zum Puzzle gibt es ein Begleitheft mit einem Umfang von 52 Seiten. Darin stehen dicht gepackt so viele Informationen über Polyominos, wie man sie sonst nur selten findet. Die Aufgaben sind von verschiedener Art und verschiedener Schwierigkeit, z.B.
Verschiedene vorgegebene Rahmen füllen
Mehrere kongruente Figuren legen, mit oder ohne Vorgabe der zu legenden Figuren
Figuren mit „verschiebbaren“ Löchern: Beispielsweise ein zu füllendes Rechteck mit einem kleinen freien Rechteck („Fenster“), welches an verschiedenen Stellen stehen kann.
Schwierigkeit: Unterschiedlich für die verschiedenen Aufgaben. Bei einigen Aufgaben lässt sich die bewährte Strategie anwenden, zuerst die komplizierter geformten Steine unterzubringen und die zum Schluss verbleibenden Lücken mit den kleinen Polyominos zu füllen. Da das oft klappt, sind auch viele Aufgaben für Anfänger geeignet.
Polysolver-Info: Natürlich lassen sich alle Aufgaben mit vorgegebenen Rahmen mit dem PolySolver lösen.
Design: Kate Jones
Hersteller: Kadon Erscheinungsjahr: ca. 1989
Google:Kadon Poly 5 Shopping: Lieferbar beim Hersteller Kadon in den USA für ca. 40$.
