Auf den ersten Blick sehen wir wieder ein Geduldspiel, bei der Polyformen in einen Rahmen gepackt werden müssen. Diesmal sind aber nicht Quadrate, sondern jeweils fünf Rechtecke zu Spielsteinen zusammengefasst worden.
Auf den zweiten Blick steckt hinter der kleinen Änderung jedoch auch ein theoretischer Hintergrund: Pentominos bestehen aus jeweils fünf Elementarquadraten und es gibt zwölf verschiedene. Das wissen wir schon lange und genauso, dass man daraus viele schöne Geduldspiele machen kann. Wenn man es komplizierter haben will, kann man die Elementarquadrate schachbrettartig einfärben. Aber wir haben noch mehr Möglichkeiten: Diesmal sollen die Elementarquadrate in einer achsenparallelen Richtung mit einem Streifen in der Mitte versehen werden. Und natürlich verlangen wir, dass die zu legende Figur in einer Richtung gestreift ist! Wir können unsere Pentominos plötzlich nicht mehr um 90 Grad drehen, sondern nur noch um 180 Grad. (Übrigens könnten wir auch auf eine andere Art achsenparallele Streifen anbringen, beispielsweise die obere Hälfte färben. Dann wären auch Drehungen um 180 unmöglich.)
Diese zusätzlichen Streifen mit der ausgezeichneten waagerechten Richtung entsprechen einer optischen Polarisation, deshalb werden diese Pentominos gelegentlich auch parallel polarisierte Pentominos genannt. Äquivalent dazu haben wir noch eine weitere Möglichkeit, die 90-Grad-Drehungen zu verhindern: Wir verwenden statt der Elementarquadrate jetzt Elementarrechtecke (also etwas "plattgedrückte Quadrate"), dann erzielen wir den gleichen Effekt. Zum selber Ausprobieren können wir entweder gestreifte Pentominos auf Papier drucken oder mit dem 3D-Drucker Pentominos aus Rechtecken drucken.
Hier ist ein vollständiger Satz solcher polarisierten Pentominos. In den oberen beiden Zeilen befinden sich die Pentominos mit zwei Varianten, oben die "langen dünnen" und darunter die "kurzen dicken". Bei den Pentominos W, X und V in der dritten Zeile fallen beide Varianten zusammen. Das liegt daran, dass nur sie eine Symmetrieachse parallel zu einer Diagonale im Quadratgitter besitzen.
Es sind also nicht mehr nur 12 Stück, sondern 21. Diese 21 Pentominos bestehen aus 105 Elementarrechtecken. Die Primfaktorzerlegung von 105 ist 3*5*7, wir können also versuchen, Rechtecke der Größen 5x21 und 7x15 mit den Pentominos zu füllen. Da wir zwei I-Pentominos in verschiedene Richtungen legen müssen, ist ein Rechteck der Größe 3x35 nicht möglich. Außer den Rechtecken 5x21 und 7x15 (sowohl im Hoch- wie im Querformat, also vier verschiedene Aufgaben) gibt es noch viele andere lösbare Aufgaben mit anderen Formen. Beispielsweise ist 105=121-16, d.h. wir können aus einem plattgedrückten 11x11-"Quadrat" als Rahmen vier weitere 2x2-Quadrate entfernen und erhalten so unter anderem die folgenden Rahmen:
Diese lassen sich auch mit den 21 polarisierten Pentominos füllen, allerdings gibt es viel weniger Lösungen, diese Aufgaben sind dadurch wesentlich schwieriger.
PolySolver-Info 1: Der PolySolver kann uns natürlich helfen, für das zugrundeliegende rechteckige Gitter gibt es den Grid type: Rectangle. Sie können leicht die Form des Rahmens ändern und mit anderen Rahmen experimentieren.
Und wir haben noch eine andere Möglichkeit, weitere Geduldspiele zu erzeugen. Wir nehmen die gewöhnlichen 12 Pentominos bestehend aus Elementarquadraten, lösen damit eine der üblichen Aufgaben und stauchen erst danach die gesamte Lösung etwas, so dass aus den Elementarquadraten jetzt Elementarrechtecke werden. Dann haben wir die nötigen polarisierten Pentominos vorliegen, um die polarisierte Aufgabe zu lösen. Im Unterschied zu oben wird von jeder Variante der Pentominos nur noch eine verwendet, also beispielsweise entweder das "kurze dicke" oder das "lange dünne" I-Pentomino. Diesem Problem werden wir uns noch einmal in einem anderen Post widmen.