Einfaches Nachzählen der Elementarwürfel ergibt, dass die 5x5x5-Kiste über 125 Elementarwürfel verfügt, und die Klötzer davon 15x8=120 benötigen. Es werden also fünf Elementarwürfel frei bleiben. Dann sollten sich die 15 Quader doch in die Kiste packen lassen!
Leider stimmt das nicht, die 15 Quader lassen sich nicht in eine 5x5x5-Kiste packen. Zumindest der letzte Stein lässt sich nicht mehr einpacken. Dies ist damit nicht die größere Version des 3x3x3-Conway-Würfels, denn es gibt gar keine Lösung, speziell nicht mit den 5 freien Feldern auf einer Raumdiagonale.
DIY-Tipp: Für Heimwerker ist hier nicht viel zu tun, man kann die Bauklötzer im Internet direkt bestellen. Vielleicht werden Sie auch bei Ihren Kindern fündig. Für das Foto wurde nur noch eine 5x5x5-Kiste mit dem 3D-Drucker gedruckt.
Wie können wir sicher sein, dass es keine Lösung gibt? Wir können mit dem PolySolver auf die Suche nach Lösungen gehen: Er findet keine. Wer nach einer für Menschen verständlicheren Begründung sucht, kann wieder ähnlich wie beim 3x3x3-Conway-Würfel argumentieren: Wenn es klappen würde, blieben genau fünf Elementarwürfel frei. Da jeder 1x2x4-Stein unabhängig von seiner Lage eine gerade Anzahl von Elementarquadraten pro Schicht belegt, müsste in jeder der fünf Schichten der Box genau ein Elementarwürfel frei bleiben, und das gilt für die waagerechten Schichten genauso wie für die aufrecht stehenden Schichten in jeder Richtung. Das wiederum bedeutet, dass alle leeren Elementarwürfel isoliert sein müssen, so dass niemals zwei leere Elementarwürfel neben- oder übereinander liegen, denn das wären dann zwei in einer Schicht.
Und nun versuchen wir die 1x2x4-Steine so in die 5x5x5-Box zu packen, dass keine zwei benachbarten Elementarwürfel frei bleiben. Für die unterste Schicht können wir einen isolierten leeren Elementarwürfel nur an drei wesentlich verschiedenen Positionen erreichen, wie man mit einer Schachbrettfärbung sieht: in der Ecke, in der Kantenmitte oder in der Mitte der Fläche. Die Position diagonal neben einer Ecke ist nicht möglich, ohne auch das Feld darüber freizulassen. Versucht man jeweils, weitere Steine einzufüllen, ohne das benachbarte leere Felder bleiben, so wird dies spätestens in der dritten Etage unmöglich. Die Anzahl der dafür durchzuprobierenden Fälle bleibt durchaus überschaubar. Und wenn wir schon die dritte Etage nicht hinbekommen, dann können wir auch nicht alle 15 Steine einpacken.
Google: Holzbausteine Quader
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