13.9.25

Übersicht: Zweidimensionale unregelmäßige Packaufgaben

Hier finden Sie alle systematischen Übersichten.

Die Aufgabe dieser zweidimensionalen unregelmäßige Packaufgaben besteht immer darin, irgendwelche flachen Steine in einen vorgegebenen Rahmen zu packen. Die Steine sind oft unregelmäßig und haben natürliche Formen, oft finden wir Tiere. Manchmal sollen auch geometrische Formen (z.B. Kreise) eingepackt werden. In allen Fällen ist bei den Lösungen kaum eine Regelmäßigkeit in der Anordnung zu erkennen. Dies bedeutet, dass man viel herumprobieren muss, um eine Lösung zu finden. Es gibt keinen Algorithmus, der derartige Puzzles anders lösen kann. Die Schwierigkeit hängt von der Anzahl der Steine und ihrer Form ab. 

 Verschiedene, völlig unregelmäßige Formen

Oft sind es Tiere, manchmal aber auch Schiffe oder Pilze, die in einen Rahmen gepackt werden sollen. Alle Teile sind verschieden. Bei einigen Geduldspielen sind die Objekte auf einer Seite verziert, so dass sie nicht gewendet werden sollen. Es gibt sehr viele solche Puzzles, die sich in ihrer Schwierigkeit sehr unterscheiden. Am einfachsten sind Puzzles mit eng aneinander liegenden Steinen, größere freie Flächen verkomplizieren solche Geduldspiele.

Gleiche oder fast gleiche unregelmäßige Formen

Hier kommt es nicht so sehr auf die Reihenfolge an, in der die Steine eingefügt werden. Bei fast gleichen Steinen lässt sich aus einer Beinahe-Lösung oft eine Lösung machen, indem man leicht unterschiedliche Steine vertauscht.




Regelmäßige geometrische Formen chaotisch packen

Die Form der Steine passt nicht richtig zur Form des Rahmens, beispielsweise sollen mehrere Kreise in ein Quadrat gepackt werden. Die Lösung erscheint wie eine chaotische Anordnung der Steine und ist oft schwer zu finden.

Kreise gleicher Größe packen

6x6-Packpuzzle / Hive Puzzle

Fünf Steine sollen in Quadrat der Größe 6x6 gepackt werden: Vier Steine bestehen aus je sechs Elementarquadraten, den letzten Stein erkennen wir als 3x3-Quadrat. Bei der Lösung sollte also etwas Platz bleiben.

Allerdings gelingt es nicht so einfach, die Steine in den Rahmen zu packen.

Schwierigkeit: Mittelschwer. Mit etwas Glück sieht man plötzlich die Lösung. Das ergibt einen Aha-Effekt und es stellt sich die Frage, wieso der verbleibende freie Platz scheinbar eine Größe von vier Elementarquadraten hat.

 

Shopping: Nicht lieferbar.

10.9.25

Komplizierte Schiebespiele 2x7 mit vier Zinnen

Kategorie: Schiebepuzzles mit Polyominos (systematisch)

Wir untersuchen die Schiebespiele mit Zinnen auf dem 2x7-Rechteck, hier mit vier schmalen inneren Zinnen. 

Der Rahmen des Spiels enthält 18 Felder, damit ist Anzahl der Möglichkeiten wieder recht gering. Nimmt man die drei fehlenden Randfelder in der oberen Reihe hinzu, wird das Feld größer. Für dieses vollständige 3x7-Rechteck wurden die interessantesten Schiebespiele auf dem 3x7-Rechteck bereits vorgestellt, hier wird es eher einfacher. 

Schwierigkeit: Wem die Aufgaben zu einfach erscheinen, der kann ja versuchen, sie im Kopf zu lösen, also ohne echte Spielsteine. Wenn man die ersten Züge erkannt hat, ist das oft ausreichend.

Wie immer konzentrieren wir uns auf optisch oder konzeptionell interessante Spiele. Die Bilder zeigen jeweils die Start- und Zielkonfiguration eines Schiebespiels, darüber steht die Anzahl der benötigten Züge (jeweils ein Stein wird um eine Position bewegt). Die Beschreibung dazu erklärt den Typ des Spiels, ist aber keine vollständige Beschreibung.

Aufgabe 1 - Schwierigste Aufgabe; Spiegeln: Dies ist die Aufgabe mit den meisten Zügen. Man muss planen, welche Steine in die Zinnen geschoben werden müssen. Man benötigt 169 Züge.

Aufgabe 2 - Spiegeln: Ähnlich zu Aufgabe 1.

Aufgabe 3 - Umordnen: Sieht einfacher aus als es ist, da der weiße Dominostein noch nach links bewegt werden muss.

Aufgabe 4 - Spiegeln: Mit vier Dominos.

Aufgabe 5 - Beinahe-Spiegeln: Mit nur zwei Dominos, diese stehen aber direkt nebeneinander.

Aufgabe 6 - Spiegeln / Wandern: Start und Ziel sind Spiegelbilder, aber man kann es auch anders sehen: Nur ein gelber Stein soll von ganz rechts nach ganz links wandern.

Aufgabe 7 - Umordnen: Hier sollen die zwei liegenden Dominos übereinandergestapelt werden.

Aufgabe 8 - Sortieren: Bringen Sie die drei gelben Quadrate zusammen!

Aufgabe 9 - Beinahe-Spiegeln: Hier gibt es fünf Dominos.

Aufgabe 10 - Spiegeln: Trotz sechs Leerfeldern blockieren sich die Steine gegenseitig. 



Komplizierte Schiebespiele 2x7 mit zwei schmalen äußeren Zinnen

Kategorie: Schiebepuzzles mit Polyominos (systematisch)

Wir untersuchen die Schiebespiele mit Zinnen auf dem 2x7-Rechteck, hier mit zwei schmalen äußeren Zinnen. 

Der Rahmen des Spiels enthält 16 Felder, damit ist Anzahl der Möglichkeiten wieder recht gering. Nimmt man die fünf fehlenden Randfelder in der oberen Reihe hinzu, wird das Feld größer. Für dieses vollständige 3x7-Rechteck wurden die interessantesten Schiebespiele auf dem 3x7-Rechteck bereits vorgestellt, hier wird es eher einfacher. 

Schwierigkeit: Wem die Aufgaben zu einfach erscheinen, der kann ja versuchen, sie im Kopf zu lösen, also ohne echte Spielsteine. Wenn man die ersten Züge erkannt hat, ist das oft ausreichend.

Wie immer konzentrieren wir uns auf optisch oder konzeptionell interessante Spiele. Die Bilder zeigen jeweils die Start- und Zielkonfiguration eines Schiebespiels, darüber steht die Anzahl der benötigten Züge (jeweils ein Stein wird um eine Position bewegt). Die Beschreibung dazu erklärt den Typ des Spiels, ist aber keine vollständige Beschreibung.

Aufgabe 1 - Schwierigste Aufgabe; Spiegeln: Dies ist die Aufgabe mit den meisten Zügen. Es gibt nur drei Leerfelder, und die Zinnen können nur mit den gelben Quadraten gefüllt werden. Man benötigt 108 Züge.

Aufgabe 2 - Umordnen: 106 Züge benötigt man, um einen weißen Dominostein unter das rote L zu bekommen.

Aufgabe 3 - Spiegeln: Schwierig, da es nur drei kleine Quadrate gibt.

Aufgabe 4 - Spiegeln: Ähnlich schwierig. Es gibt nur zwei Leerfelder und einen Stein der Länge vier.

Aufgabe 5 - Umordnen: Nur in der mittleren Zeile sollen Steine vertauscht werden.

Aufgabe 6 - Spiegeln: Wenn man die mittlere Reihe kurz verschiebt, hat man eine Spiegelung vor sich.

Aufgabe 7 - Umordnen: Der aufrechte Dominostein rechts verändert seine Position scheinbar nicht, muss aber zwischendurch bewegt werden.

Aufgabe 8 - Spiegeln: Eine klassische Spiegelung, allerdings müssen die weißen Dominos nicht unbedingt an die gespiegelte Position, sondern dürfen ihre Plätze tauschen.

Aufgabe 9 - Spiegeln: Wieder eine klassische Spiegelung, diesmal muss ein Domino von ganz links nach ganz rechts wandern.


Aufgabe 10 - Spiegeln: Und noch eine Spiegelung. Hier machen die zwei langen Steine Schwierigkeiten.



7.9.25

Heptominos in vier Rechtecke der Größe 5x38 packen

Nachdem wir die 108 Heptominos erfolgreich in ein Rechteck der Größe 152x5 mit vier Löchern eingepackt haben, soll hier das lange, schlanke Rechteck in vier kürzere Teile  der Länge 38 zerteilt werden, jedes dieser vier Rechtecke muss nun ein Loch enthalten. Als Position für das Loch wählen wir oben in der Mitte, wobei wir die Rechtecke aufstellen.

Das Vorgehen ist wie bei dem in drei Teile zerlegten Rechteck der Größe 152x5 mit vier Löchern. Wir benutzen mops.exe und die gleichen Frequenzen für für Nützlichkeit der Heptominos und müssen die Schranken nur anpassen, da der Rahmen hier aus vier statt drei Teilen besteht. Bei niedrigeren Schranken stehen in den ersten Schritten weniger Steine zur Verfügung, dafür bleiben beim letzten Schritt mehr Steine mit großer Nützlichkeit. Bei zu großen Schranken lassen sich die ersten drei Rahmen also schnell füllen, es ist aber unklar, ob sich der letzte Rahmen überhaupt füllen lässt. Sicherer sind niedrigere Schranken, so dass der Computer bereits für die ersten Rahmen mehrere Minuten benötigt. Sonst war es vielleicht zu einfach.

Die Lösungen unten wurden mit folgenden Schranken gefunden: 

  • Erster Rahmen: Nützlichkeit maximal 840 (65 Heptominos zur Auswahl) 
  • Zweiter Rahmen: Nützlichkeit maximal 1130 (54 Heptominos zur Auswahl) 
  • Dritter Rahmen: Nützlichkeit maximal 1550 (39 Heptominos zur Auswahl) 
  • Vierter Rahmen: Restliche 27 Heptominos 

Die Anzahl der für einen Rahmen zur Auswahl stehenden Heptominos verringert sich von Schritt zu Schritt, aber immer mehr nützliche Heptominos kommen hinzu. Dadurch verbessern sich die Aussichten auf Lösbarkeit.

Oben die erste Lösung, die so gefunden wurde.


Heptominos in ein Rechteck der Breite 5 Packen

Die 108 Heptominos besitzen keine durch 5 teilbare Gesamtfläche, aber wir benötigen ja sowieso mindestens ein Loch für das eine Heptomino mit Loch. Mit insgesamt vier zusätzlichen Löchern ist die Fläche aller Heptominos durch 5 teilbar: 108*7+4=152*5.

Aus ästhetischen Gründen platzieren wir die vier Löcher um ein Feld nach innen verschoben in die vier Ecken (auch viele andere Positionen sind denkbar) und versuchen, dieses 152x5-Rechteck mit Heptominos zu füllen. Solche schlanken Rechtecke sind viel schwieriger zu füllen als Rechtecke in fast quadratischer Form, da jetzt für viele Steine in länglicher Form eine Orientierung vorgegeben ist: Sie müssen flach liegen und können nicht aufrecht stehen. Die erste Lösung für diese Aufgabe wurde von  Lewis Patterson [1] gefunden, er hat die Lösung von Hand begonnen und die letzten Steine maschinell eingefügt. 

Wir wollen die Aufgabe vollständig mit automatischen Mitteln lösen und das Programm mops.exe einsetzen. Dazu soll wieder die Lösungsstrategie mit Berücksichtigung der der Nützlichkeit benutzt werden, d.h. die Heptominos werden zunächst nach Nützlichkeit sortiert und dann werden möglichst viele nützliche Steine bis zuletzt aufgehoben. Und es kommt noch eine Schwierigkeit hinzu: Mit mops.exe lassen müssen Rahmen mit Löchern von Hand gezeichnet werden und die dazu zur Verfügung stehende Fläche ist beschränkt auf eine Breite von 51. Deshalb bietet es sich an, das lange Rechteck in drei nahezu gleichgroße Teile zu zerschneiden. Da jedes Teil eine durch 7 teilbare Fläche besitzen soll, sind senkrechte Schnitte nicht möglich und wir müssen irgendwie in Zacken schneiden. Beispielsweise könnten die drei Teile so aussehen:




Das mittlere Teil hat zwar nun eine Breite von 52 (statt maximal 51), aber damit können wir hoffentlich mit einem zusätzlichen Trick fertig werden.

Zunächst muss die Nützlichkeit der Heptominos ermittelt werden. Dazu wurden mit Pack / Determing Frequencies 10.000 Rechtecke der Größe 10x7 mit Heptominos gefüllt und dabei die Verwendungshäufigkeit der einzelnen Heptominos automatisch mitgezählt. Dabei ergaben sich die folgenden Frequenzen (türkis hinterlegt).

Die nützlichsten Heptominos erkennt man nun an der höchsten Frequenz.

Für die erste zu füllende Fläche wurden nun alle Heptominos ab einer Frequenz von 850 blockiert (Lock / Lock High Frequencies). Aus den verbleibenden 66 am wenigsten nützlichen Steinen lassen sich tatsächlich 36 Steine finden, die den ersten Rahmen füllen.

Da die beiden äußeren Rahmenteile kongruent sind, wird der Einfachheit halber das andere äußere Rahmenteil zu füllen versucht. Das glückt, wenn man die bereits verwendeten Heptominos blockiert (Lock / Lock Used Pieces) und dann alle Steine mit Frequenzen bis 1200 zulässt. 

Schließlich bleiben noch 36 Steine für das mittlere Rahmenteil. Dies hat aber eine Breite von 52 statt nur 51. Deshalb platzieren wir eines der noch verbliebebenen Heptominos fest an die Trennstelle zwischen dem mittleren und dem rechten Rahmenteil und erhalten so einen verkleinerten Rahmen, der nur noch die erlaubte Maximalbreite von 51 hat:


Tatsächlich lässt sich der so verkleinerte mittlere Teilrahmen mit den verbliebenen 35 Steinen füllen. 


Aus diesen Teilen lässt sich die Gesamtlösung zusammensetzen, wie rechts neben dem Text zu sehen ist.

Mehr Infos

[1]: https://polyominoes.blogspot.com/2021/03/polyominoes-how-thin-can-we-go.html











6.9.25

F Fort

Dieses Symmetrie-Puzzle besteht aus drei verschiedenen Hexominos. die alle aus dem F-Pentomino durch Hinzufügen je eines weiteren Elementarquadrates entstanden sind.

Aus diesen drei Hexominos soll eine flache symmetrische Figur gelegt werden, ohne dass die Steine sich irgendwie überlappen.

Abb. von nothingyetdesigns.com mit freundlicher Genehmigung

Die Steine sind aus lasergeschnittenem Acryl.

Es gibt nur eine Lösung. Können Sie diese finden?

Schwierigkeit: Schwierig. Der Name deutet darauf hin dass eine große Anstrengung (engl.: effort) nötig ist.

Zusatzaufgabe: Sie können einen der drei Steine beiseite legen und aus den anderen beiden wieder eine symmetrische Form legen. Allerdings klappt das nur, wenn sie den richtigen Stein beiseite legen. Welcher ist das?

 

Design:  Alexander Magyarics
Hersteller:  NothingYet Designs

Shopping: Lieferbar, Preis ca. 5€

U+

Dies ist ein weiteres kniffliges Symmetriepuzzle, bei dem aus drei gleichen Steinen eine flache symmetrische Figur gelegt werden soll. Dabei sollen die drei Steine auf einem quadratischen Gitter (ähnlich kariertem Papier) liegen, ohne dass die Steine sich irgendwie überlappen.

Abb. von nothingyetdesigns.com mit freundlicher Genehmigung

Die Steine sind sogenannte Hexominos, sie bestehen also aus jeweils sechs Elementarquadraten. Ihre Form entspricht dem U-Pentomino plus einem weiteren Elementarquadrat, deshalb wahrscheinlich der Name U+.

Die Steine sind aus lasergeschnittenem Acryl.

Es gibt nur eine Lösungen. Können Sie die finden?

Schwierigkeit: Nur mittelschwer wegen der drei gleichen Teile.

 

Design:  Oleg Smol'yakov (Gelo)
Hersteller:  NothingYet Designs

Shopping: Kaum lieferbar, Preis ca. 5€

3.9.25

Untouchable 11

Die 11 Puzzlesteine sind sogenannte Hexominos und bestehen aus je sechs Einheitsquadraten, es handelt sich dabei um alle möglichen Würfelnetze. Dazu gibt es ein Spielbrett mit einem quadratischen Noppengitter, auf dem man die Spielsteine feststöpseln kann. Jetzt müssen wir uns noch für eine bestimmte Größe des rechteckigen Spielbretts entscheiden (siehe Tabelle unten) und können versuchen, die Steine entsprechend der Aufgabe auf das Spielbrett zu bringen. Und zwar dürfen sich niemals zwei Spielsteine berühren, weder an einer Kante noch an einer Ecke.

Der folgende Lösungsversuch für das 10x15-Feld ist nicht ganz gelungen: Drei Paare von Steinen berühren sich je an einer Ecke.


Für verschieden große Spielfelder gibt es verschieden viele Lösungen, dem entspricht die Schwierigkeit der entsprechenden Aufgabe. Die Anzahl der Lösungen für verschiedene Größen des Spielbrettes werden auf einem Begleitzettel mitgeliefert:

Spielbrett
    Lösungen
12x12 7
12x13 33
10x15 482.482
  9x16 174
  9x17 65.516.235
  8x18 15
  7x21 60.327
  6x24 8



Untouchable 11 war das Austauschpuzzle von Carl Hoff auf IPP 2009.

Das Puzzle stammt noch aus der Zeit, bevor 3D-Druck fast überall verfügbar ist. Die orangen Steine und das weiße Brett sind aus Plastik und die Steine haften solide auf dem Spielbrett. Das Spielbrett hat eine etwas ungewöhnliche Form und kann für alle benötigten Größen verwendet werden.

Schwierigkeit: Durch die stark abweichende Anzahl von Lösungen für die verschiedenen Größen des Spielbretts unterscheiden sich deren Schwierigkeiten von leicht bis extrem schwierig. Es ist also für fast jeden etwas dabei.

PolySolver-Hinweise: Wir können versuchen, das Puzzle mit Hilfe des PolySolvers zu lösen. Doch müssen wir irgendwie verhindern, dass die Puzzlesteine vom Programm direkt nebeneinander gelegt werden. Da es dafür keine entsprechende Option innerhalb der Software gibt, müssen wir uns einen Trick einfallen lassen. Wenn wir länger nachdenken, fallen uns sogar mehrere Optionen ein.

 

 

Design:  Peter Grabarchuk und Carl Hoff 
Erscheinungsjahr: 2008/2009

Google: Untouchable 11
Shopping: Nicht lieferbar.

Across-Sticks


Auf den ersten Blick sieht das Puzzle aus wie ein Polyformpuzzle: Zehn verschiedenen Polyquadrate sollen in einen Rahmen der Größe 9x9 eingeordnet werden. Dazu gibt es 4x4 Leerstellen in Form einzelner Quadrate an vorgegebenen Stellen. 



Bei genauerer Betrachtung sind die Bausteine nicht wirklich Polyquadrate, sondern es gibt zusätzliche Formen an den Kanten, so dass es vielleicht zusätzliche Bedingungen ähnlich wie bei Edge Matching Puzzles gibt.

Die „wahre“ Gestalt des Geduldspiels erkennt man jedoch, wenn man sich die 16 leeren Elementarquadrate immer größer vorstellt, so dass die Bereiche dazwischen immer dünner werden. Dann hat man 4x4 große Elementarquadrate und dazwischen und außen herum nur noch Kanten.

Abstrahiert man also von der konkreten Gestalt des Geduldspiels, so handelt es sich um ein Tetrastickpuzzle mit einseitigen Tetrasticks (siehe auch Crazy Curves). Verwendet werden alle sich verzweigenden Tetrasticks, dies sind genau 10 verschiedene Bausteine, da das Umwenden nicht erlaubt ist. Abgesehen von der abweichenden Form der Steine ist dieses Geduldspiel also sehr ähnlich zu Crazy Curves. Mehr Informationen über Tetrasticks findet man z.B. bei [1]. 


Der Begleitzettel verrät, dass Across-Sticks zwei verschiedene Lösungen hat, von denen eine symmetrisch ist. Across-Sticks war das Austauschpuzzle von Stan Isaacs auf IPP20 in Los Angeles im Jahr 2000.

Schwierigkeit: Mittelschwer.

Frage: Wie muss die Tetrasticks modelliert werden, damit der PolySolver eingesetzt werden kann?

 

Design:  Stan Isaacs
Erscheinungsjahr: 2000

Shopping: Nicht lieferbar.

Mehr Infos:

2.7.25

Sommerpause 2025

Im Juli und August 2025 macht die Welt der Geduldspiele Sommerferien. 

Weiter geht's am Mittwoch, dem 3. September 2025.

Bisher entstanden 1233 Posts. Um einfacher einen systematischen Überblick zu erhalten, verweisen wir auf die im Aufbau befindliche Seite Systematische Ordnung der Geduldspiele.

Viel Spaß beim Stöbern!

Happy Cubes: Die Happy -Serie

Da es eine Übersicht über die Happy Cubes gibt, sollen hier nur über die speziellen Happy Cubes dieser Serie vorgestellt werden. Die Happy-...