Kategorie: Gleiche Klötzer in rechtwinklige Boxen packen
Einfaches Nachzählen der Elementarwürfel ergibt, dass die 5x5x5-Kiste über 125 Elementarwürfel verfügt, und die Klötzer davon 15x8=120 benötigen. Es werden also fünf Elementarwürfel frei bleiben. Dann sollten sich die 15 Quader doch in die Kiste packen lassen!
Leider stimmt das nicht, die 15 Quader lassen sich nicht in eine 5x5x5-Kiste packen. Zumindest der letzte Stein lässt sich nicht mehr einpacken. Dies ist damit nicht die größere Version des 3x3x3-Conway-Würfels, denn es gibt gar keine Lösung, speziell nicht mit den 5 freien Feldern auf einer Raumdiagonale.
DIY-Tipp: Für Heimwerker ist hier nicht viel zu tun, man kann die Bauklötzer im Internet direkt bestellen. Vielleicht werden Sie auch bei Ihren Kindern fündig. Für das Foto wurde nur noch eine 5x5x5-Kiste mit dem 3D-Drucker gedruckt.
Wie können wir sicher sein, dass es keine Lösung gibt? Wir haben verschiedenen Möglichkeiten:
1. Wir können den Computer zu Hilfe nehmen und mit dem PolySolver auf die Suche nach Lösungen gehen: Er findet keine.
2. (Update 10/2024) Wer nach einer für Menschen verständlicheren Begründung sucht, kann wieder ähnlich wie beim 3x3x3-Conway-Würfel argumentieren. Wir benötigen aber einen zusätzlichen Trick. Der folgende Beweis stammt von Martin Gardner [1]: Wenn es klappen würde, blieben genau fünf Elementarwürfel frei. Da jeder 1x2x4-Stein unabhängig von seiner Lage eine gerade Anzahl von Elementarquadraten pro Schicht belegt, müsste in jeder der fünf Schichten der Box genau ein Elementarwürfel frei bleiben, und das gilt für die waagerechten Schichten genauso wie für die aufrecht stehenden Schichten in jeder Richtung. Jetzt betrachten wir die von außen sichtbaren Elementarquadrate auf der Oberfläche unseres 5x5x5-Würfels. Insgesamt besteht die Oberfläche aus 6*25=150 Elementarquadraten. Auf jeder Seitenfläche gehört eines davon zu einem freigebliebenen Elementarwürfel, bleiben 144 Elementarquadrate. Nun liegt jeder der 15 Quader mit genau einer der kleinen Seitenflächen der Größe 1x2 an einer Außenseite des 5x5x5-Würfels, diese belegen weitere 30 Elementarquadrate. Damit bleiben noch 144-30=114Elementarquadrate, die durch die größeren Seiten (1x4 oder 2x4) gefüllt werden müssen. Da 114 aber nicht durch 4 teilbar ist, ist das nicht möglich und wir haben einen Widerspruch gefunden. Also lassen sich nicht fünfzehn Steine der Größe 1x2x4 und fünf Elementarwürfel in eine 5x5x5-Kiste packen.
Wenn Sie noch auf der Suche nach einem Erfolgserlebnis sind: Wir können 14 statt 15 Quader der Größe 1x2x4 in die Kiste packen und dazu noch drei Stäbe der Größe 1x1x4. Dann bleibt nur ein Elementarwürfel frei! Und diese Aufgabe ist gar nicht so schwer.
Google: Holzbausteine Quader
Mehr Infos:
[1] Martin Gardner: Time Travel and other mathematical bewilderings, W.H. Freeman, New York, 1988
