Unlösbar: Ein gezacktes Quadrat (mit Loch in der Mitte) mit Pentominos überdecken

Kategorie: Pentominos in rechteckige und andere Rahmen packen

Dar hier abgebildete Ausschnitt aus einem verdrehten Quadratgitter soll gezacktes Quadrat mit Loch in der Mitte heißen.

Es besteht aus 60 Elementarquadraten und man könnte sich deshalb wieder einmal vornehmen, es mit den zwölf Pentominos zu füllen. Doch das scheint nicht zu klappen. Bedeutet das wieder, dass eine Lösung unmöglich ist? Die bisher bekannten Tricks mit Schachbrettfärbung (für Quadrate der Größen 6x6, 8x8 oder 10x10) oder Zählung der Randfelder (für das gezackte Rechteck) helfen hier nicht, wir müssen nach einer anderen Lösung suchen.

Leider gibt es aber keinen einfachen Unmöglichkeitsbeweis. Die Aufgabe erschien bereits in Polyominoes von S. Golomb [1], der dort angegebene Beweis von R.M. Robinson und S. Earnshaw benötigt eine aufwändige Fallunterscheidung

PolySolver-Hinweis: Statt Nachdenken können wir mittels Computer auch alle Möglichkeiten durchprobieren lassen. Software wie der PolySolver sagt dann: Keine Lösung gefunden. Auch das zählt als Unmöglichkeitsbeweis.

Zusätzliche, lösbare Aufgabe: Wenn man in dem gezackten Quadrat ein anderes statt dem mittleren Quadrat leer lässt, kann die Aufgabe plötzlich lösbar werden. Allerdings nur, wenn man eine Ecke oder ein dazu benachbartes Randfeld auswählt. 

Unhappy Woodworm: Damit haben wir wieder ein Problem für einem unglücklichen Holzwurm gefunden: In dem freien Elementarquadrat wohnt ein Holzwurm. Und er möchte im Inneren der Figur wohnen, nicht am Rand. Aber egal wie man das gezackte Quadrat mit Pentominos füllt, die Wohnung für den Holzwurm liegt immer am Rand. Schade für den Holzwurm.

EclecTIC

Die zwei vor uns liegenden Würfelteile sind so zusammenzustecken, dass sich ein Würfel der Größe 5x5x5 ergibt. Im Inneren wird er 21 freibleibende Elementarwürfel haben, diese ermöglichen es, dass die beiden Teile zusammengeschoben werden können. Verglichen mit den anderen TICs aus dieser Reihe ist das sehr viel Platz im Inneren. Und weil es sich um einen TIC (turnable interlocking cube) handelt, wird auch mindestens eine Drehung nötig sein. 

Wie die zwei Teile am Ende ineinanderpassen werden, ist bei Betrachtung der Einzelteile völlig klar, aber der Weg muss noch gefunden werden. Nicht ganz klar ist allerdings, an welchen Stellen die beiden Teile beim Beginn des Zusammenbaus ineinandergeschoben werden sollen. 

Schwierigkeit: Dies ist ein Geduldspiel, welches an die TICs heranführt. Deshalb ist es mit 8 Zügen und einer Rotation vergleichsweise einfach. Der vergleichsweise große Leerraum im Inneren wird benötigt, damit die Rotation möglich wird, wenn der Würfel schon relativ weit zusammengebaut wurde.

Lösungshinweis: ###

 

Design:  Andrew Crowell
Erscheinungsjahr: 2020

Google: Andrew Crowell TIC

3D-Druck: Fünf einfache TICs auf Thingiverse (CC-BY).

EmphaTIC: Nur zwei Teile

Die zwei vor uns liegenden Würfelteile sind so zusammenzustecken, dass sich ein Würfel der Größe 5x5x5 ergibt. Im Inneren wird er 12 freibleibende Elementarwürfel haben, diese ermöglichen es, dass die beiden Teile zusammengeschoben werden können. Und weil es sich um einen TIC (turnable interlocking cube) handelt, wird auch mindestens eine Drehung nötig sein.

Wie die zwei Teile am Ende ineinanderpassen werden, ist bei Betrachtung der Einzelteile völlig klar, aber der Weg muss noch gefunden werden.

Schwierigkeit: Dies ist ein Geduldspiel, welches an die TICs heranführt. Deshalb ist es mit 9 Zügen und einer Rotation vergleichsweise einfach. Aber es macht trotzdem Freude,

Lösungshinweis: Diesmal ist ausnahmsweise eine 45-Grad-Drehung nötig. Und eine solche Drehung ist eigentlich nur am Anfang möglich, oder?

 

Design:  Andrew Crowell
Erscheinungsjahr: 2020

Google: Andrew Crowell TIC

3D-Druck: Fünf einfache TICs auf Thingiverse (CC-BY).

Die TICs von Andrew Crowell

TICs steht für turning interlockin cubes. Es geht um Würfel, die in mehrere Teile bestehend aus Elementarwürfeln zerlegt wurden und wieder zusammengefügt werden sollen. Dabei greifen die Teile so ineinander, dass insgesamt ein stabiler Würfel entsteht. Aber das ist noch nicht das alles: Beim Zusammenbau ist mindestens eine Drehung nötig. Man kann sich meist einfach überzeugen, dass sich der Würfel mit achsenparallelen Bewegungen nicht zusammenbauen lässt, aber als Zwischenschritt ist eine Rotation eines Teils (beispielsweise um 90 Grad) möglich, und danach kann man weitere achsenparallele Bewegungen ausführen. Damit eine Rotation möglich ist, müssen in dem Würfel Hohlräume verbleiben. Allerdings sieht man davon nichts auf den Außenflächen. Meist wird ein TIC in seinen Einzelteilen geliefert (und beim 3D-Druck sowieso), da man sonst beim Auseinandernehmen viel Informationen enthält. 

Damit die Rotationen möglich werden, haben die TICs eine Mindestgröße von 4x4x4, oft ist das Format auch 5x5x5, demnächst vielleicht noch größer.

Schwierigkeit: Auf Grund ihrer Größe und der oft versteckten Rotationen sind TICs in der Regel enorm schwierig zu lösen, manchmal gelangt man bis an seine persönliche Schmerzgrenze. Deshalb sollen hier erst einmal die vergleichsweise einfachen TICs von Andrew Crowell besprochen werden, die nur aus zwei Teilen bestehen. Dies sind:

• EcstaTIC
• EmphaTIC
• EclipTIC
• EnthusiasTIC
• EclecTIC

Da TICs aus Elementarwürfeln zusammengesetzt sind, lassen sie sich vergleichsweise einfach herstellen. Dementsprechend gibt es schöne TICs aus verschiedenen Hölzern. Alternativ bietet sich 3D-Druck an, und es gibt auch verschiedene frei verfügbare Modelle (CC-BY) auf Thingiverse, weitere STL-Files oder komplette TICs werden ebenfalls angeboten

Design:  Andrew Crowell und andere

Google: Andrew Crowell TIC
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 3€ (STL) bis 50€ (Holz)

3D-Druck: Mehrere kostenfreie TICs auf Thingiverse.

Bastille

Am 14. Juli 1879 erfolgte der Sturm auf die Bastille, dabei wurden alle sieben dort befindlichen Gefangenen befreit. Daraus kann man das Holzpuzzle „Bastille“ machen: Einen Holzwürfel mit gleichgroßen quadratischen Öffnungen an den Seitenflächen als Bastille, darin sieben identische Holzsteine als Gefangene. Ein sehr schönes und schwieriges Puzzle. 

Die Holzsteine sind jeweils ein Viertel einer Kreisscheibe mit Radius 1 und Höhe 1. Die innere Seitenlänge des Würfels ist etwas größer als 2. Stellen wir uns für einen Moment die Steine als Würfel mit Seitenlänge 1 vor, dann ist Folgendes klar: Es passen genau acht solche Würfel in die Kiste. Wenn wir nur sieben hineinpacken, bleibt ein Elementarwürfel frei und wir können die sieben Würfel herumschieben, wobei sie Positionen der Würfel allerdings immer wieder dieselben sind. Jetzt ersetzen wir die würfelförmigen Steine durch die tatsächlichen Spielsteine. Diese sind kleiner, da nun jeweils eine Kante abgerundet ist. Aber scheinbar lassen sich auch die abgerundeten Steine nur so bewegen wie die Elementarwürfel.

Schwierigkeit: Sehr schwer. Identische Steine, eine symmetrische Kiste und das Puzzle erscheint unlösbar. Es ist eines von mehreren Puzzles von Volker Latussek, bei denen mehrere identische Bausteine in eine Würfelförmige Kiste mit reduzierter Öffnung gepackt werden sollen, z.B. Casino, oder den Tower of London.

Lösungshinweis: Der Schein trügt, es sind auch Bewegungen möglich, so dass nicht sechs der sieben Steine genau in Würfelecken liegen.

 

Design:  Volker Latussek
Hersteller:  Rombol, Pelikan u.a.
Erscheinungsjahr: ca. 2017

Google: Latussek Bastille
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 25€ (Rombol)

Castle / Vanishing Trunk

Castle und Vanishing Tunk sind zwei weitere Packprobleme von Stewart Coffin mit den Nummern 181-A und 181-B. Vor uns liegen fünf Steine: vier Pentominos und ein Tetromino. Dazu eine Grundplatte mit drei Rahmen, jeweils in Form eines Hauses. Die Häuser unterscheiden sich leicht durch einen Schornstein und einen Kellerraum. In jedes dieser Rahmen lassen sich die vier Pentominos hineinlegen!  

Schwierigkeit: Gar nicht so schwierig: Dies ist eines der ersten Geduldspiele dieser Art von Stewart Coffin, die wirklich schwierigen wurden erst später entwickelt. Sehr gut für Anfänger, für die auch nur das Haus ohne Keller und Schornstein eine Herausforderung bedeutet und ein Aha-Erlebnis liefern kann. Denn in dem Bild oben scheint ja in jedem der drei Fälle nur wenig Platz für alle Steine zu sein. 

3D-Druck: Die STL-Datei von Aaron Siegel steht zum Download bei Thingiverse. Sie ist frei zur persönlichen, nicht-kommerziellen Verwendung laut Printable Puzzle Project.

Lösungshinweis: Das Haus ohne Schornsteun und Keller hat eine Breite von sieben Elementarquadraten. Erinnern Sie sich, dass 5⋅√2 ≈ 7.

 

Design:  Stewart Coffin

Google: Stewart Coffin Castle Vanishing Trunk

Shopping: Kaum lieferbar.

Arco Metall-Puzzle: Oktominos

Mit acht verschiedenen Oktominos, (diese bestehen jeweils aus 8 Einheitsquadraten), soll ein quadratischer Rahmen der Größe 8x8 gefüllt werden.

Schwierigkeit: Acht Steine sind nicht allzu viele. Allerdings gibt es nur relativ wenige Lösungen. Das macht das Geduldspiel insgesamt mittelschwer.

Das Puzzle ist sehr elegant und besteht aus Metall. Vier Oktominos sind verchromt, die anderen vier matt. Dazu gibt es ein Metall-Etui, das an ein verkleinertes Zigarettenetui aus Edelstahl erinnert. Auf der Rückseite ist es als Werbung für Lufthansa Systems gekennzeichnet.

Äquivalentes Geduldspiel: Es gibt auch eine Kunststoff-Version dieses Puzzles unter dem Titel Great Gizmos IQ Block. Laut Verpackung gibt es mehr als 40 Lösungen.

PolySolver-Info: Mit dem PolySolver lösbar. Angezeigt werden 48 Lösungen, das entspricht 6 verschiedenen Lösungen.

 

Google: Great Gizmos IQ Block

Shopping: Manchmal gebraucht lieferbar.

Digits in a Box

Die zehn Ziffern von 0 bis 9 wurden jeweils aus Quadern der Größe 1x3x5 herausgeschnitten und bestehen aus 8 bis 13 Elementarwürfeln. Dazu gibt es eine Box der Größe 5x5x5, in die alle Ziffern eingepackt werden sollen. 

Die Box wird nicht komplett gefüllt werden, es bleiben 18 Elementarwürfel frei. Hier zwei Ziffern, zu 1x5x5 zusammengepackt.

Schwierigkeit: Das Geduldspiel hat mehr als 4000 Lösungen, steht auf der Verpackung; nachgerechnet sind es 4239. Da alle Ziffern die Höhe 5 haben, hat man nicht allzu viele Freiheiten. Das macht das Geduldspiel nur mittelschwer. Einige der Aufgaben unten sind deutlich schwerer.

Mehr Aufgaben: Wie bei ähnlichen Geduldspielen (z.B. Pentominos) können wir versuchen, quaderförmige Boxen in anderen Größen zu füllen. Möglich sind 

• 1x8x16,
• 3x6x7, sowie
• 4x5x6.

Für alle diese Aufgaben können wir Software wie den PolySolver einsetzen.

Und dann können wir für die Aufgabe für die 5x5x5-Box erschweren, indem wir zusätzliche Forderungen stellen, z.B.

• In ihrer natürlichen Reihenfolge benachbarte Ziffer sollen sich in der Box jeweils berühren, d.h. die 0 berührt die 1, die 1 berührt die 2 usw. bis zur 9, die wieder die 0 berührt.
• Die Ziffern sollen einzeln nacheinander in die Box gepackt werden statt außerhalb der Box einzelne Ziffern zusammenzustecken und das Gebilde dann zusammen in die Box zu heben.

Diese Aufgaben stammen aus [1].

Lösungshinweis: Da die Ziffern genau wie die Box die Höhe 5 haben, besteht eine Möglichkeit darin, in der Mitte der Box fünf Ziffern zu einem Block der Größe 3x5x5 zu stapeln. Dann ist an den Seiten und vielleicht auch im Inneren des Stapels genug Platz für weitere Ziffern.

 

Ähnliche Geduldspiele: Ebenfalls von Eric Harshbarger gibt es Lexomino Puzzles [2] mit Buchstaben statt Ziffern. Für eine frei wählbare  Menge von Buchstaben (z.B. aus dem eigenen Namen) wird die kleinste mögliche Box ermittelt und Box + Buchstaben werden geliefert.

Ein völlig anderes Geduldspiel, welches ebenfalls die zehn Ziffern verwendet, ist das 0-9 Puzzle / Tricky Numbers / Digigrams.

Design:  Eric Harshbarger
Hersteller:  Popular Playthings
Erscheinungsjahr: 2010

Google: Digits in a Box Puzzle
Shopping: Kaum lieferbar.

Mehr Info:

[1] Digits in a Box: www.ericharshbarger.org

[2] Lexomino: www.ericharshbarger.org 

People Dancing

People Dancing ist eine Mischung von Dance Party und den 3 Krabben: Vier tanzende Figuren sind in einen Rahmen zu packen. Damit ist die Situation ähnlich wie bei der Dance Party. Allerdings sind die Bewegungen der Figuren nicht so ausladend, die Figuren sind insgesamt kompakter. Und das zugrundeliegende Gitter basiert nicht auf Quadraten, sondern auf gleichseitigen Dreiecken. Dadurch wird die Verwandtschaft zu den 3 Krabben hergestellt.

Insgesamt wird der Rahmen durch die vier Figuren natürlich nicht ausgefüllt. Und solange Sie das Geduldspiel nicht gelöst haben, steht Ihnen ein zusätzlicher Parkplatz für die rote Figur zur Verfügung.

Schwierigkeit: Der Hersteller vergibt vier Sterne und liefert einen Lösungszettel mit. Aber das Geduldspiel ist nur mittelschwer.

Ähnliche Geduldspiele: In der Reihe gibt es auch Horse Running, bei dem vier Pferde einzupacken sind.

Hersteller:  Mi Toys
Erscheinungsjahr: 2015

Shopping: Kaum lieferbar.

Offset Keys

Zwei merkwürdig geformte Drahtschlüssel hängen ineinander: Beide Schlüssel sind identisch und haben vom Schlüsselkopf ausgehend einfach zwei parallele starke Drähte, die zwar eng, aber nicht unmittelbar aneinander verlaufen.

Natürlich sollen diese Schlüssel zunächst voneinander getrennt und dann wieder zusammengesteckt werden. Vielleicht erinnern wir uns an die Metallpuzzle mit parallelen Stäben? Der dort verwendete Trick würde helfen, wenn wir die vier Stäbe erst einmal in die richtige Position bringen könnten. Dies stellt die eigentlicher Herausforderung dar.

Schwierigkeit: Mittelschwer, weil man die richtige Ausgangposition zum Öffnen auch auf systematische Art finden kann.

Varianten: Man findet diese Geduldspiel unter verschiedenen Namen in vielen Varianten, oft auch zusammen mit anderen Metallpuzzles in einem Set.

Lösungshinweis: Beim genaueren Hinsehen sind die Köpfe beider Schlüssel leicht abgewinkelt. Was aussieht wie verbogen, hilft bei der Lösung enorm. Beim anschließenden Zusammenbauen sehen Sie deutlich, wie sich die parallelen Stäbe auf Grund der Biegung automatisch in die richtige Position bewegen.

 

Design:  klassisch
Hersteller: verschiedene

Google: Metallpuzzle Set

Shopping: Lieferbar im Set.

The Traffic Jam Puzzle (12 in 1)

Dies ist ein weiteres klassisches Schiebespiel zu einem bestimmten Thema mit entsprechend beschrifteten Steinen. Hier geht es um Autos, und der mit My Car beschriftete Stein der Größe 2x2 muss in die rechte untere Ecke verschoben werden. 

Diesmal gibt es 12 verschiedene Startkonfigurationen, meist befindet sich My Car oben links. In dem Rahmen der Größe 6x5 befinden sich neben zwei Leerstellen und sechs einzelnen Elementarquadraten drei Dominos und vier V-Trominos, die je nach Aufgabenstellung verschiedene Positionen einnehmen. Die Steine tragen Namen von teilweise verschwundenen Autofirmen. Im vorliegenden Puzzle sind sie hineingestanzt und gefärbt, was eine gute Erkennbarkeit nach fast einhundert Jahren sicherstellt.

Schwierigkeit: Die teilweise nicht-konvexen Steine versprechen etwas Abwechslung und höhere Schwierigkeit. Die Aufgaben werden mit wachsender Nummer immer schwieriger. Aufgabe 1 benötigt entsprechend dem Lösungszettel 43 Züge, Aufgabe 12 rund 230 Züge.

Lösungshinweis: Wenn Sie bei der Bewegung des großen Blocks darauf achten, dass die beiden kleinen Steine immer in seiner Nähe bleiben, sollten Sie sicher zum Ziel kommen.

Design:  US-Patent Nr. 1683014 von F.L. Babcock

Erscheinungsjahr: 1928

Google: Tit-Bits Teaser
Shopping: Gelegentlich gebraucht lieferbar als Tit-Bits Teaser 4.

Äquivalente Geduldspiele: Im Buch von E. Hordern [1] tragen die Aufgaben des Traffic Jam Puzzles  die Nummern C12-C23. Äquivalent dazu ist Tit-Bits Teaser No. 4. Mehr Bilder zu den anderen Varianten gibt es auf Jim Storer Puzzles [2].

Steckbrief

	Technischer Steckbrief für 6x5 Schiebespiel Traffic Jam Puzzle
Größe	6x5
Aufgabe	2x2-Quadrat ans Ziel bewegen
Art der Bewegung	Schieben
Gesamtanzahl Steine	14
Alle Steine konvex?	nein
Anzahl Steine 2x2	1
Anzahl V-Trominos	4
Anzahl Steine 1x2	3
Anzahl Steine 1x1	6
Anzahl Leerfelder	2

Quellen:

[1] L. E. Hordern: Sliding Piece Puzzles, Oxford University Press, 1986

[2] Jim Storer Puzzles

[3] US-Patent 1683014