Kategorie: Gleiche Klötzer in rechtwinklige Boxen packen
Gegeben ist eine 5x6x6-Box und dazu 45 Stäbe der Größe 1x1x4 und dazu noch ein Quader der Größe 1x2x2. Dazu gibt es drei Aufgabenstellungen, die leider nicht alle lösbar sind:
- Füllen Sie die Box mit den 45 Stäben.
- Füllen Sie die Box mit 44 Stäben und dem Quader.
- Versuchen Sie dabei, den Quader im Inneren zu platzieren, so dass er von außen (ohne Box) nicht sichtbar ist.
Die unlösbare erste Aufgabe stammt von Nicolas de Bruijn, (vermutlich) aus den 1960er Jahren.
Obwohl es von der reinen Anzahl der 180 Elementarwürfel (für die 5x6x6-Box und auch für 45 Stäbe der Größe 1x1x4) klappen könnte, findet man so schnell keine Lösung. Nach dem Klarner-Theorem und dem dazugehörigen Motto "Einfach oder gar nicht" vermutet man, dass es vielleicht keine Lösung gibt. Um das zu beweisen, muss man die Elementarwürfel der quaderförmigen Box passend einfärben und kann dann genau wie im zweidimensionalen Fall argumentieren.
Frage: Wie genau könnte man die Elementarwürfel (diesmal in drei statt nur zwei) Dimensionen einfärben?
Dagegen klappt es wieder, 44 der geplanten 45 Stäbe in die Box zu packen. Dann bleiben vier leere Elementarwürfel, manchmal auch als 1x2x2-Quader.
Aber, und jetzt wird es merkwürdig: Der 1x2x2-Quader ist immer von außen sichtbar. (Stimmt das? Statt dies nachzuprüfen, widmen wir uns gleich der folgenden, etwas allgemeineren Frage.)
Wie ist das, wenn die vier einzelnen Elementarwürfel nicht unbedingt zusammenhängen müssen? Kann dann einer der Elementarwürfel im Inneren der Box liegen?
Bei manchen Geduldspielen gibt es die Geschichte, dass in solch einem freien Elementarquader ein Holzwurm leben möchte, und dieser möchte in einer abgeschlossenen Wohnung leben. Das heißt, die Wohnung soll keine Verbindung nach außen haben.
Können wir diese Fragestellung mit dem PolySolver lösen? Wir können einen Elementarwürfel mit der Option "Place" fest verankern und sehen, ob sich die verbleibenden 44 Stäbe und drei Elementarwürfel in der Box unterbringen lassen. Wie viele Positionen für den verankerten Würfel müssen wir testen? (Es müssen nur sechs Positionen betrachtet werden. Der PolySolver findet dafür keine Lösung.)
Damit haben wir wieder ein Problem für einem unglücklichen Holzwurm gefunden.
Und dann ist da noch der Missbrauch eines unlösbare Geduldspiels, um ungeliebte Gäste möglichst lange zu beschäftigen, wie schon in diesem Post ganz unten zu lesen ist. Dieses Geduldspiel eignet sich hervorragend.
Design: Nicolas de Bruijn u.a.
DIY-Tipp: Dies ist ein schönes Geduldspiel zum Selberbauen auch für Anfänger. Aus einer Holzleiste mit quadratischem Querschnitt können Sie die passenden Stäbe der Größe 1x1x4 absägen. Oder mittels CAD-Software (wie z.B. OpenSCAD) den Stab modellieren und dann 3D-drucken.