Was ist der Unterschied zwischen den zwei Bildern? Wurden die gleichen roten Dreiecke nur zweimal in dasselbe große Rechteck eingepackt, dazwischen aber um 45 Grad gedreht?
Nun, so einfach ist es nicht. Es stimmt, dass die roten Dreiecke alle die gleiche Größe haben. Denn später sollen Geduldspiele entstehen und mit den kleinen Dreiecken (oder Steinen bestehend aus mehreren solchen Dreiecken) soll hantiert werden. Richtig ist auch, dass sie beiden mit den Rechtecken gefüllten Formen optisch kaum unterscheidbar sind.
Nachzählen ergibt aber, dass das linke Quadrat aus 16 Dreiecken besteht, das rechte aus 18 Stück. Wieder entsteht der Eindruck, dass durch eine Drehung (diesmal um 45 Grad) die Größe der Fläche verändert werden kann. Das ist natürlich Unsinn, aber wenn wir das verstanden haben, wird der Mechanismus hinter weiteren sogenannten Melting Block Puzzles etwas klarer. Bevor wir uns diesen Mechanismus etwas genauer ansehen, hier die Regel zur Lösung solcher Geduldspiele:
Voraussetzung: Die Kanten zwischen den Steinen laufen entweder 45 Grad geneigt zu einer Außenkante des Rahmens, oder parallel zu einer Außenkante.
Regel: Ist ein Rahmen gefüllt mit Steinen bestehend aus gleichgroßen, gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken (also aus halbierten Quadraten), wobei die langen Dreieckseiten alle entweder parallel zu den Außenseiten (wie links im Bild) oder parallel zu einer Diagonale (wie rechts im Bild) verlaufen. Dann kann man versuchen, alle Steine um 45 Grad zu drehen und so deren Orientierung zu ändern und die Steine dann wieder in den Rahmen zu packen. Wenn das klappt, entsteht möglicherweise mehr Platz im Rahmen für einen zusätzlichen kleinen Stein.
Wieso kann das funktionieren? Berechnen wir einmal die Seitenlängen der beiden Quadrate oben. Fangen wir der Einfachheit halber rechts an: Das rechte Quadrat hat eine Seitenlänge von 3, damit eine Fläche von 9 und besteht deshalb aus 18 Halbquadraten. Das linke Quadrat dagegen hat als Seitenlänge die doppelte Länge der Diagonale eines Einheitsquadrates. Da die Länge der Diagonale eines Einheitsquadrates √2 ≈1.414 beträgt, ist die Seitenlänge des linken Quadrates nur rund 2.828 statt 3. Das sind nur 5.7% weniger als beim rechten Quadrat und sorgt für die kleinere Fläche von 8 statt 9.
Dieser Trick klappt immer, wenn ein Vielfaches von √2 nahezu ganzzahlig ist. Falls Ihnen also der Unterschied oben zu auffällig ist, suchen wir nach weiteren Möglichkeiten. Sehr gut ist die folgende Näherung mit nur einem Prozent Abweichung: 7√2 ≈ 9.90. Diesen Unterschied kann man mit dem bloßen Auge nicht mehr wahrnehmen.
Wie wird daraus ein Geduldspiel? Wir nehmen zunächst den kleineren Rahmen und setzen mehrere der kleinen Dreiecke zu Steinen für das Geduldspiel zusammen. Dabei müssen wir aufpassen, dass sich die Steine auch in dem größeren, um 45 Grad gedrehten Rahmen einfügen lassen. Dabei bleibt dann automatisch Platz von zwei zusätzlichen kleinen Dreiecken. Wenn Sie Glück haben, liegen diese unmittelbar nebeneinander und wir können ein größeres Dreieck, bestehend aus zwei kleinen Dreiecken, einfügen.
Hier einige Beispiele aus dem Blog:
Das einfache Schema (Bild oben) wird verwendet beim Überflüssigen Dreieck.
Das kompliziertere Schema (Bild unten) wird verwendet beim Magic Square (Aluminium) und bei Square+.
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