Konvexe Tangram-Figuren

Üblicherweise bestehen Tangram-Aufgaben darin, vorgegebene Figuren nachzulegen. Aber es geht auch anders: Wir können uns Eigenschaften der Figuren vorgeben und dann versuchen, alle möglichen Figuren mit dieser Eigenschaft zu legen.

Eine interessante Eigenschaft ist die Konvexität. Eine ebene Figur ist konvex, wenn ein darum herum gespannter Gummiring überall am Rand der Figur anliegt, die Figur also keine Einbuchtungen nach innen besitzt. Außerdem darf die Figur keine Löcher enthalten.

Hier ein Beispiel für eine nicht-konvexe Tangram-Figur mit Gummiring.

Aufgabe: Nehmen Sie die Tangram-Steine und legen Sie aus den sieben Steinen nacheinander möglichst viele verschiedene konvexe Figuren!

Es bleibt die Frage, wie viele konvexe Tangram-Figuren es überhaupt gibt. Um das herauszufinden, gibt es zwei Wege, die Sie nacheinander gehen können: 

1. Sie versuchen, aus den sieben Steinen nacheinander möglichst viele konvexe Figuren zu legen. Wenn Sie ein wenig systematisch vorgehen wollen, versuchen Sie es nacheinander mit einem Dreieck aus sieben Steinen (das ist einfach), mehreren verschieden geformten Vierecken, mehreren Fünfecken und auch mehreren Sechsecken. Haben Sie mehr als 10 verschiedene Figuren geschafft?
2. Zweitens können Sie versuchen sich zu vergewissern, dass Sie wirklich alle Lösungen gefunden haben. Manche Paare von Kanten treffen in verschiedenen Figuren immer wieder aufeinander, andere nie. Sehen Sie den Unterschied? 

Lösungshinweis: Die Anzahl verschiedener konvexer Tangram-Figuren ist recht übersichtlich, es gibt genau 13 Stück. Der mathematische Beweis stammt von Wang und Hsiung aus dem Jahr 1942 [1]. Er benutzt die Tatsache, dass die Seitenlänge eines Quadrates zur Länge der Diagonale ein irrationales Verhältnis hat. In der Ausgangsfigur bestehend aus einem großen Einheitsquadrat  haben alle senkrecht verlaufenden Kanten die rationalen Längen 1 oder ½, alle schräg verlaufenden Kanten die irrationalen Längen ½√2 oder ¼√2. Um konvexe Figuren zu bilden, müssen nun rationale Kanten an andere rationale Kanten stoßen und irrationale an irrationale, sonst treten irgendwo zusätzliche Ecken hervor und die Konvexität geht verloren. Es ergeben sich die folgenden 13 Möglichkeiten:

 

Google: convex tangram figures

Mehr Infos:

[1] Wang, F.T., Hsiung, C.-C.: A theorem on the tangram. Am. Math. Mon. 49(9), 596–599 (1942)