Was ist der Unterschied zwischen den zwei Bildern? Wurden die gleichen blauen Rechtecke nur zweimal in dasselbe große Rechteck eingepackt, einmal für hoch und einmal für quer?
Nein, so einfach ist es nicht. Es stimmt, dass die kleinen blauen Rechtecke alle die gleiche Größe haben. Denn später sollen Geduldspiele entstehen und mit den kleinen Rechtecken (oder Steinen bestehend aus mehreren solchen Rechtecken) soll hantiert werden. Richtig ist auch, dass sie beiden mit den Rechtecken gefüllten Formen optisch kaum unterscheidbar sind.
Nachzählen ergibt aber, dass das linke große Rechteck aus 8x6=48 kleinen Rechtecken besteht, das rechte aus 7x7=49 Stück. Wie kann durch eine Drehung um 90 Grad eines der Rechtecke erscheinen bzw. verloren gehen? Wenn wir das verstanden haben, wird der Mechanismus hinter mehreren sogenannten Melting Block Puzzles etwas klarer. Bevor wir uns diesen Mechanismus etwas genauer ansehen, hier die Regel zur Lösung solcher Geduldspiele:
Regel: Ist ein Rahmen gefüllt mit Steinen bestehend aus gleichgroßen Rechtecken, die alle die gleiche Orientierung haben (also alle für hoch oder alle für quer), dann kann man versuchen, bei allen Steinen die Orientierung zu ändern (also quer statt hoch oder umgekehrt) und die Steine dann wieder in den Rahmen zu packen. Wenn das klappt, entsteht möglicherweise mehr Platz im Rahmen für einen zusätzlichen kleinen Stein.
Wieso kann das funktionieren? Beginnen wir mit kleinen Quadraten statt Rechtecken und bilden daraus ein 6x8-Rechteck und ein 7x7-Quadrat.
Jetzt kommt der Trick: Das linke 6x8-Rechteck ist breiter als hoch. Wir stauchen die beiden nebeneinanderliegenden Flächen in der Breite ein wenig. Dadurch wird das rechts befindliche Quadrat verformt und des entsteht ein hochstehendes Rechteck, dass schmaler wird und sich immer weiter von der quadratischen Form entfernt. Das linke, liegende Rechteck verformt sich auch und wird einem Quadrat immer ähnlicher. Wir hören mit der Stauchung auf, wenn beide Rechtecke dasselbe Seitenverhältnis haben.
Da wir die kleinen Quadrate ebenfalls auf einheitliche Weise gestaucht haben, sehen wir dass trotz der gleichen Proportionen das linke Rechteck eine Fläche von 48 kleinen Rechtecken hat, das rechte statt dessen 49. Damit ist das linke Rechteck um rund 2% kleiner als die rechte, die Seitenlängen der beiden Rechtecke unterscheiden sich um rund 1%. Wenn in einem letzten Schritt noch das rechte große Rechteck um 90 Grad gedreht wird, erhält man das Bild ganz oben: Zwei scheinbar gleichgroße Rechtecke mit unterschiedlicher Fläche.
Wie wird daraus ein Geduldspiel? Wir nehmen den Rahmen für das 7x7-Rechteck wie oben links abgebildet und ordnen 48 Rechtecke in der "falschen" Orientierung ein wie im Bild oben links. Die Rechtecke sitzen nicht ganz straff, es bleibt etwa 1% Spiel, welches aber benötigt wird. Dazu gibt es ein zusätzliches kleines Rechteck, welches auch noch mit in den Rahmen eingeordnet werden soll, sozusagen hineinschmelzen soll in die kleinen Ritzen. Ein Beispiel ist das Puzzle Nr. 49.
Zum Schluss benötigen wir noch die genauen Maße für Steine und Rahmen. Zu Beginn haben die kleinen Quadrate die Größe 1x1, die Rahmen sind 8x6 bzw. 7x7. Multiplizieren wir bei der Stauchung alles in x-Richtung mit dem Faktor q, so haben die kleinen Quadrate die Größe qx1, die Rahmen sind 8qx6 bzw. 7qx7. Wenn wir nun fordern, dass die beiden Rechtecke dasselbe Seitenverhältnis haben, dann muss gelten: 8q/7=6/(7q), also q²=3/4 und schließlich q=½√3 ≈ 0,866.
Wenn unsere kleinen Rechtecke oben im Bild sie Größe von 0,866x1 haben, dann hat das linke Rechteck die Maße 6,928x6,000. Das rechte hat die Maße 7,000x6,062. Das ist mit bloßem Auge nicht zu unterscheiden.
Wir können natürlich auch andere Zahlen statt 48 und 49 nehmen, ganz allgemein können wir die Formel (n-1)*(n+1)+1=n² verwenden. Auch größere Flächenunterschiede sind möglich
Hier einige Beispiele aus dem Blog:
