Welt der Geduldspiele

21.12.25

Übersicht: Aufgaben für Polyominos

Hier finden Sie alle systematischen Übersichten.

Polyominos gehören zu den Klassikern unter den Geduldspielen. Aus den vollständigen Sätzen von Pentominos, Hexominos usw. lassen sich viele Figuren legen, hier sind eine Großzahl von Aufgaben zusammengestellt. Diese Aufgaben sind niemals einfach und werden schnell übermenschlich schwer. Dann muss der Computer helfen. Damit kommt man viel weiter, man kann aber auch nicht alle Aufgaben lösen. Es gibt auch prinzipiell unlösbare Aufgaben, diese Unlösbarkeit muss man mit einem mathematischen Beweis begründen.

Im Folgenden sind die Aufgaben nach der Art der Steine sortiert. Es gibt einzelne Posts mit ausführlichen Lösungen sowie ganze Aufgabenserien.

	Pentominos (12 Steine, Fläche 60) Dies ist die mit Abstand bekannteste Variante. Schon diese Aufgaben sind verblüffend schwierig. Für verschiedene Arten von Pentominos gibt es die Übersicht: Pentominos in rechteckige und andere Rahmen packen.

Aufgaben für Pentominos (Nr. 1-20)

Aufgaben für Pentominos (Nr. 21-41)

Aufgaben für Pentominos: 1. Alphabet (Aufgaben Nr. 42-67)

Unlösbare Aufgaben für Pentominos (Nr. 1-10)

	Einseitige Pentominos (18 Steine, Fläche 90) Hier darf man die Steine nicht mehr wenden. Dadurch gibt es mehr Steine und es wird etwas schwieriger.

Einführung: Einseitige Pentominos

Aufgaben für einseitige Pentominos (Nr. 1-13)

	Hexominos (35 Steine, Fläche 210) Aus den 35 Hexominos lässt sich kein Rechteck legen, aber viele andere Formen.

Aufgaben für Hexominos (Nr. 1-10)

Volumentest: Schwierigere Aufgaben für Hexominos (Nr. 11-13)

Elegante Hexomino-Lösung für Tenyo-Rahmen (Nr. 14)

	Einseitige Hexominos (60 Steine, Fläche 360) Die vielen Steine machen es zwar schwieriger, wenn man planmäßig vorgeht, dauert es aber wegen der größeren Anzahl von Steinen nur länger und wird ansonsten nicht schwieriger.

Einführung: Einseitige Hexominos

Aufgaben für einseitige Hexominos (Nr. 1-15)

	Hexominos plus Pentominos (47 Steine, Fläche 270) Hier haben wir zwar noch mehr Steine, aber falls man sich die vergleichsweise gutartigen Pentominos bis zum Schluss aufspart, ist die Schwierigkeit vergleichbar mit Pentomino-Aufgaben.

3 bzw. 5 identische Rechtecke: Pentominos und Hexominos in Box

Aufgaben für Hexominos plus Pentominos (Nr. 1-15)

	Heptominos (108 Steine) Eines der Heptominos enthält ein Loch, so dass die zu füllende Fläche mindestens 577 betragen muss und der Rahmen steets mindestens ein Loch enthält.

Aufgaben für Heptominos (Nr. 1-13)

12 identische Quadrate: Heptominos in 8x8-Box

Heptominos in drei Rahmen der Größe 11x23 packen

Heptominos in ein Rechteck der Breite 5 Packen

Heptominos in vier Rechtecke der Größe 5x38 packen

	Spezielle Aufgaben Spezielle Aufgaben lassen sich für verschiedene Klassen von Polyominos formulieren. Beispielsweise kann man versuchen, mehrere gleiche Rahmen zu füllen oder sehr schmale Rechtecke zu füllen. Hier gibt es Beweise für die Unmöglichkeit der Lösung, die ebenfalls für verschiedene Klassen von Polyominos funktionieren.

Mehrere gleiche oder ähnliche Figuren aus einem Satz Polyominos legen

Rechtecke der Breite 3 mit Polyominos füllen

44 Steine der Größe 2x3x7 in eine Box 8x11x21 packen

Kategorie: Gleiche Klötzer in rechtwinklige Boxen packen

Vor uns liegen 44 gleiche Quader der Größe 2x3x7, und diese sollen in eine Box der Größe 8x11x21 gepackt werden. Wegen der extrem großen Anzahl von Steinen müssen wir planmäßig vorgehen, wenn wir das Puzzle lösen wollen.

Kann es überhaupt klappen? Die Gesamtanzahl von Elementarwürfeln der Steine und der Box stimmen überein, es sind jeweils 1848 Elementarwürfel. Und es gibt noch ein notwendiges Kriterium von de Bruijn, welches erfüllt sein muss: Die Seitenlängen eines kleinen Steins (2, 3 und 7) müssen Teiler der Seitenlängen der Box sein. Dies ist der Fall, so dass es klappen könnte.

Allerdings ist damit noch nicht klar, dass es klappen wird: Mit einer Box der halben Größe 4x11x21 und 22 Steinen der Größe 2x3x7 klappt es nämlich nicht, diese Aufgabe ist unlösbar, obwohl auch hier das Kriterium von de Bruijn erfüllt ist.

Aber die eigentliche Aufgabe mit 44 Steinen ist lösbar, und das Bild weiter unten zeigt die gestapelten Quader sozusagen in einer gläsernen Box.

Schwierigkeit: Schwierig, aber auch für Menschen nicht unlösbar. Der Computer braucht nur Sekundenbruchteile. Falls Sie das folgende Bild zu Hilfe nehmen, wird es auch recht einfach.

Ähnliches Geduldspiel: Singmaster Packing ist etwas einfacher.

Design: David Klarner
DIY-Tipp: Selber basteln mittels 3D-Druck oder aus einer passenden Holzleiste sägen.

20.12.25

Gear Cube 3x3x3

Der klassische Zauberwürfel hat die Größe 3x3x3, und ebenso hat der erste Gear Cube dieselbe Größe. Wir schon beim Einführungsartikel über Zahnradwürfel beschrieben, sorgen hier zusätzliche Zahnräder dafür, dass die jeweils mittlere Scheibe sich nur mit den Außenscheiben zusammen bewegt, und zwar mit der halben Geschwindigkeit. Zusätzlich rotieren dabei die Kantenwürfel, deren Zahnrad sechs deutlich sichtbare Zähne hat.

Zwischen verschiedenen Varianten des 3x3x3 Gear Cube gibt es kleine Unterschiede: Bei dem abgebildeten Würfel befinden sich auf jeder Seitenfläche vier kleine U-förmige Teile, und zwar neben jeder Seite des mittleren Quadrates. Diese Teile gibt es beim klassischen Zauberwürfel nicht, sie sind ebenfalls beweglich und entsprechend der Seite gefärbt. Ältere Versionen des Gear Cubes besitzen diese Teile nicht bzw. sie sind nicht auf der Oberfläche erkennbar.

Nach einer halben Drehung einer äußeren Scheibe ist die Würfelform fast wieder erreicht. die mittlere Scheibe wurde um ein Viertel gedreht. Aber zusätzlich wurden die Kantenwürfel der mittleren Scheibe um eine Drittelumdrehung gedreht, so dass erst nach drei halben Umdrehungen einer Außenscheibe wieder die perfekte Würfelform wieder hergestellt ist. Aber natürlich haben dabei einige Würfelteile ihren Platz gewechselt. Da auch die U-förmigen Teile ihre Plätze wechseln, verkomplizieren sie den Gear Cube zusätzlich.

Mehr Informationen und ein Lösungsvideo gibt es bei [1].

Design: Oskar van Deventer

Hersteller: Mefferts und andere
Erscheinungsjahr: 2009

Google: Gear Cube
Shopping: Lieferbar, Preis ab 5€

Mehr Infos:

[1] https://freshcuber.wordpress.com/2018/04/03/gearcube-gearshift/

Gear Cube / Zahnrad-Zauberwürfel

Beim gewöhnlichen 3x3x3-Zauberwürfel lassen sich die drei Schichten in jeder Achsenrichtung unabhängig voneinander drehen. Was passiert, wenn man sie durch einen zusätzlichen Mechanismus mit Zahnrädern miteinander verbindet?

Und wenn man Zahnräder in einen Würfel einbauen kann, dann funktioniert das auch mit anderen Drehpuzzles. Zum Schluss hat man eine beeindruckende Menge von Zahnrad-Drehpuzzles zur Auswahl, hier einige davon:

Wenn wir beim 3x3 Gear Cube die beiden äußeren Schichten gegeneinander drehen, dann dreht sich die mittlere Schicht automatisch mit, aber nur mit der halben Geschwindigkeit.

Wir müssen die beiden äußeren Schichten also um 180 Grad gegeneinander drehen, damit die mittlere Schicht sich um 90 Grad dreht und unser Zahnradwürfel wieder seine Würfelform bekommt. Abhängig davon, was für eine Sorte Zahnradwürfel man vor sich hat, kann man aber evtl. auch nach einer 90-Grad-Drehung der äußeren Schichten (jetzt ist die mittlere Schicht nur um 45 Grad gedreht) um eine andere Achse weiter drehen und die ehemalige Würfelform ist schnell völlig kaputt.

Die Aufgabe besteht natürlich darin, den Ausgangszustand wieder herzustellen.

Schwierigkeit: Es kommt darauf, wie gut man die zugrundeliegenden Drehpuzzles ohne Zahnräder lösen kann. Wenn Sie das nicht hinbekommen, wird es durch die Zahnräder nur schwerer und durch die Formveränderungen maximal unübersichtlich und fast unlösbar. Falls Sie allerdings Profi beim Lösen der zugrundeliegenden Drehpuzzles sind, wird es durch die Zahnräder eher einfacher, da es in der Regel weniger mögliche Stellungen gibt.

Design: Oskar van Deventer
Hersteller: Meffert und andere
Erscheinungsjahr: 2009

Google: Gear Cube
Shopping: Lieferbar, Preis ab 5€

Mehr Infos:

https://freshcuber.wordpress.com/2018/04/03/gearcube-gearshift/

17.12.25

Smart Egg: Mummy

Der Körper des Smart Eggs besteht wie immer aus Kunststoff, das Ei ist außen gelblich mit einem Muster, welches an einen Verband erinnert. Teile des Gesichts scheuen noch heraus. Wie bei allen Smart Eggs soll der mitgelieferte Stab mit Kugeln an beiden Enden oben in das Ei eingeführt werden, dann durch das Ei hindurchmanövriert werden und durch das untere Loch wieder herauskommen.

Außer dem Eintrittsloch oben und dem Austrittsloch ganz unten gibt es vier Etagen von Löchern mit drei, fünf, acht bzw. sechs Löchern in den unterschiedlichen Etagen. Diese 24 Löcher sind paarweise durch Wege auf der Oberfläche verbunden. Zusätzlich gibt es noch mehrere kurze Wegstücke, die an Sackgassen erinnern. Das Innenleben des Labyrinths ist hier durch die vielen Löcher zwar gut sichtbar, aber die logische Struktur bleibt unbekannt.

Schwierigkeit: Entsprechend der Aufstellung auf der Verpackung ist Mummy das schwierigste Smart Eggs der ganzen Serie. Man benötigt (mindestens) 30 Bewegungen, um den Stab durch das Ei hindurchzubewegen. Allerdings werden hier alle geradlinigen Bewegungen einzeln gezählt, so dass die "gefühlte" Anzahl von Bewegungen niedriger ist.

Design: András Zagyvai
Hersteller: Smart Eggs
Erscheinungsjahr: ca. 2012

Google: Smart Egg Mummy
Shopping: Evtl. gebraucht lieferbar.

Smart Egg: Space Capsule

Der Körper des Smart Eggs besteht wie immer aus Kunststoff, das Ei ist außen grau mit einem grünen, technisch anmutenden Muster. Wie bei allen Smart Eggs soll der mitgelieferte Stab mit Kugeln an beiden Enden oben in das Ei eingeführt werden, dann durch das Ei hindurchmanövriert werden und durch das untere Loch wieder herauskommen.

Außer dem Eintrittsloch oben und dem Austrittsloch ganz unten gibt es vier Etagen von Löchern mit drei, zwei, drei bzw. nur einem Loch in den unterschiedlichen Etagen. Diese elf Löcher sind paarweise durch Wege auf der Oberfläche verbunden. In der unteren Reihe gibt es noch zwei Wegstücke, welche an Sackgassen erinnern und untypisch für diese Eier sind. Eines davon sehen Sie im Bild oben. Die innere Struktur des Labyrinths ist unbekannt.

Schwierigkeit: Entsprechend [1] ist Space Capsule eines der schwierigsten Smart Eggs der ganzen Serie. Man benötigt (mindestens) 21 Bewegungen, um den Stab durch das Ei hindurchzubewegen. Allerdings werden hier alle geradlinigen Bewegungen einzeln gezählt, so dass die "gefühlte" Anzahl von Bewegungen niedriger ist.

Design: András Zagyvai
Hersteller: Smart Eggs
Erscheinungsjahr: ca. 2012

Google: Smart Egg Space Capsule
Shopping: Evtl. gebraucht lieferbar.

Mehr Infos:

[1] ruwix.com

14.12.25

Aufgaben für einseitige Hexominos (Nr. 1-15)

Es gibt 60 verschiedene einseitige Hexominos, die aus insgesamt 360 Elementarquadraten bestehen. Damit lassen sich verschiedene Rechtecke komplett füllen, aber auch viele andere Formen sind möglich.

Schwierigkeit: Für ambitionierte Puzzler sind diese Geduldspiele von Hand lösbar. Es gibt jeweils sehr viele verschiedene Lösungen. Hier soll jeweils eine Lösung angegeben werden, da es praktisch unmöglich ist, sich eine solche Lösung schnell einzuprägen. Man wird also automatisch nach einer anderen Lösung suchen.

3D-Druck: Ein Satz Hexominos lässt sich mit 3D-Druck herstellen: Im Post Einseitige Hexominos finden Sie die Links zur Sammlung zum Blog auf Thingiverse sowie zu Printables.

Lösung mit Computer: Die hier vorgestellten Aufgaben bieten auch für die üblichen Lösungsprogramme keine Schwierigkeiten. Die hier gezeigten Lösungen wurden mit mit mops.exe ermittelt, dazu wurden die folgenden Parameter verwendet:

Pack>Void Check wurde eingeschaltet
Pack>Breadth: 55
Pack>Maximum Placements: 5000
Um die Nützlichkeit der verschiedenen Steine verwenden zu können, wurden (mit Pack>Determine Frequencies) zunächst 5000 Rechtecke der Größe 10x12 mit Steinen gefüllt und die Verwendungshäufigkeiten der einzelnen Steine gezählt.
Bound>Frequency Bound wurde eingeschaltet mit den Parametern L:2000, S:10, R:90

Viele der unten gefüllten Rahmen sind (mit anderen Lösungen) bereits länger bekannt und finden sich bei [2] (Nr. 1, 2, 3, 8) und [3] (Nr. 5, 6, 7).

Mehr Infos:

[1] https://polyominoes.blogspot.com/search/label/one-sided%20hexominoes
[2] https://puzzler.sourceforge.net/docs/hexominoes.html#one-sided-hexominoes
[3] http://recmath.com/PolyPages/PolyPages/index.htm?hexopatts.htm

Rechtecke

Die Aufgaben 1 bis 8 zeigen alle möglichen Rechtecke. Alle Rechtecke bestehend aus 360 Elementarquadraten mit einer Mindestbreite von 5 lassen sich mit den einseitigen Hexominos füllen. Schmalere Rechtecke der Breite 3 oder 4 sind nicht möglich, da nicht genügend Randfelder an den langen Kanten abgedeckt werden können. Die Argumentation verläuft analog wie in dem Post Rechtecke der Breite 3 mit Polyominos füllen beschrieben.

Aufgabe 1: Rechteck 20x18

Aufgabe 2: Rechteck 24x15

Aufgabe 3: Rechteck 30x12

Aufgabe 4: Rechteck 36x10

Aufgabe 5: Rechteck 40x9

Aufgabe 6: Rechteck 45x8

Aufgabe 7: Rechteck 60x6

Aufgabe 8: Rechteck 72x5

Quadrate und Rechtecke mit einem zentralen Loch

Quadratische Rahmen mit einem quadratischen Loch in der Mitte sind möglich für die Seitenlängen 19, 21 und 23. Es folgen noch einige rechteckige Rahmen mit rechteckigen Löchern in der Mitte. Dafür gibt es noch viel mehr Beispiele als hier gezeigt.

Aufgabe 9: Rechteck 19x19 - 1x1

Weitere Aufgaben erhält man, wenn man das Loch an eine andere Stelle platziert. Oder man vereinfacht sich die Aufgabe dadurch, indem man versucht, alle Steine in den Rahmen zu packen und das verbleibende Loch an jeder Stelle zulässt.

Aufgabe 10: Rechteck 21x21 - 9x9

Aufgabe 11: Rechteck 23x23 - 13x13

Aufgabe 12: Rechteck 24x20 - 12x10

Aufgabe 13: Rechteck 26x14 - 2x2

Aufgabe 14: Rechteck 28x13 - 4x1

Aufgabe 15: Rechteck 40x10 - 10x4

Einseitige Hexominos

Aus den 35 verschiedenen "normalen" Hexominos lassen sich viele verschiedene Figuren legen, indem man die Hexominos passend aneinanderlegt, dazu dürfen diese auch gedreht und gewendet werden. Wir wollen hier einseitige Hexominos betrachten, die Hexominos haben nun unterscheidbare Ober- und Unterseiten. Alle Oberseiten sollen auch nach oben zeigen, die Hexominos dürfen also nicht mehr gewendet werden. Beispielsweise gibt es zum L-Hexomino nun zusätzlich ein gespiegeltes L. Insgesamt gibt es 60 einseitige Pentominos, diese bestehen insgesamt aus 60*6=360 Elementarquadraten. Daraus lassen sich mehrere Rechtecke (20x18, 24x15, 30x12, 36x10 und vier weitere) sowie viele andere Formen legen. Aufgabensammlungen für einseitige Hexominos werden wieder in separaten Posts zusammengestellt. Hier ein nicht ganz gelungenes Rechteck:

Schwierigkeit: Die Aufgaben sind für ambitionierte Puzzler noch von Hand lösbar, hilfreiche Tricks wie die unterschiedliche Nützlichkeit der Steine oder die Substitutionsmethode wurden bereits vorgestellt. Und natürlich kann man noch die üblichen Programme zur Lösung von Polyform-Aufgaben einsetzen.

Wenn wir uns die einseitigen Hexominos selber basteln wollen, dann müssen wir die Ober- und Unterseite unterscheidbar machen, indem sie z.B. aus Pappe mit unterschiedlich gefärbten Seiten ausschneiden oder beim 3D-Druck auf einer Seite mit einem Muster versehen.

Die hier abgebildeten Steine tragen auf der Oberseite ein zusätzliches kleineres, helles Hexomino. Sie wurden mit PuzzleCAD gestaltet und stehen bei Thingiverse und Printables unter der Lizenz CC-BY zur Verfügung (siehe unten). Dabei wurde auf die bei PuzzleCAD üblichen Hexominos (hier hellblau) auf der Oberseite ein identisches an den Rändern verkleinertes Pentomino (hier weiß) aufgesetzt. Der Slicer hat selbständig die korrekte Höhe für den Farbwechsel ausgewählt; beim Druck musste einmal das Filament von Hand gewechselt werden. Falls Sie über einen Mehrfarbendrucker verfügen, klappt dies automatisch.

Im oberen Bild befinden sich die Hexominos, die beim Wenden ihre Form ändern. Aus diesen 25 üblicherweise zweiseitigen Hexominos mit verschiedenen Seiten werden so 50 einseitige Hexominos.

Die restlichen 10 Hexominos im unteren Bild ändern ihre Form beim Wenden nicht, hier entstehen also keine zusätzlichen einseitigen Hexominos. Dies ergibt insgesamt 60 einseitige Hexominos.

Design: klassisch

Google: one-sided hexominoes

3D-Druck: Sie finden die STL-Files unter der Lizenz CC-BY in der Sammlung zum Blog auf Thingiverse sowie bei Printables.

13.12.25

Cast Reef / Riff

Cast Reef gehört zur Marine Serie von Hanayama. Dabei bilden zwei an Kopf und Schanzflosse verbundene Fische eine Art Ring, der aus dem Labyrinth in Form einer Koralle befreit werden soll.

Sowohl die Fische wie auch die Koralle haben unregelmäßige Formen, so dass nicht klar ist, welche Bewegungen möglich sind und wo der Ring das Labyrinth verlassen kann. Auch gibt es keine deutlich sichtbaren Einkerbungen, die im Labyrinth einen Weg weisen würden. Es sind oft mehrere verschiedene Bewegungen möglich, aber man weiß nicht, wie weit man von der Lösung entfernt ist.

Schwierigkeit: Der Hersteller vergibt als Schwierigkeit drei Sterne (von sechs möglichen), damit ist die Schwierigkeit mittelmäßig.

Frage: Nachdem man die zwei Teile getrennt hat, kann man sie "andersherum" wieder ineinanderhängen. Wie verändert sich dadurch das Geduldspiel? Gelangt man wieder in die Nähe des Ausgangszustands?

Design: Akio Yamamoto
Hersteller: Hanayama
Erscheinungsjahr: ca. 1999

Google: Cast Reef Puzzle
Shopping: Schlecht lieferbar, Preis ca. 15€

Cast Shark / Hai

Cast Shark gehört zur Marine Serie von Hanayama. Dabei ist ein kleiner Hai aus dem Maul eines großen Hais zu befreien. Sowohl der kleine Fisch wie auch die Öffnung des Mauls haben unregelmäßige Formen, so dass nicht klar ist, welche Bewegungen möglich sind.

Man schafft es relativ schnell, dass sich der kleine Hai etwas bewegen kann, aber damit ist man noch ein ganzes Stück vom Ziel entfernt. Mehrere Versuche sind nötig, bis der goldene Fisch frei kommt.

Schwierigkeit: Der Hersteller vergibt als Schwierigkeit nur einen Stern (von sechs möglichen), damit ist das Geduldspiel einfach, obwohl es mehrere Schritte benötigt.

Ähnliches Geduldspiel: Das Geduldspiel erinnert an Cast Star, nur der Stern wurde durch einen Fisch ersetzt und der Ring angepasst..

Design: Akio Yamamoto
Hersteller: Hanayama
Erscheinungsjahr: 1999

Google: Cast Shark
Shopping: Schlecht lieferbar, Preis ca. 15€

10.12.25

Komplizierte Schiebespiele 2x7 mit zwei schmalen und einer breiten Zinne

Kategorie: Schiebepuzzles mit Polyominos (systematisch)

Wir untersuchen die Schiebespiele mit Zinnen auf dem 2x7-Rechteck, hier mit zwei schmalen Zinnen außen und einer breiten inneren Zinne.

Der Rahmen des Spiels enthält 19 Felder, damit ist die Anzahl der Möglichkeiten etwas größer als bei nur 17 Feldern, aber immer noch recht gering. Nimmt man die zwei fehlenden Randfelder in der oberen Reihe hinzu, wird das Feld größer. Für dieses vollständige 3x7-Rechteck wurden die interessantesten Schiebespiele auf dem 3x7-Rechteck bereits vorgestellt, hier wird es eher einfacher.

Schwierigkeit: Wem die Aufgaben zu einfach erscheinen, der kann ja versuchen, sie im Kopf zu lösen, also ohne echte Spielsteine. Wenn man die ersten Züge erkannt hat, ist das oft ausreichend.

Wie immer konzentrieren wir uns auf optisch oder konzeptionell interessante Spiele. Die Bilder zeigen jeweils die Start- und Zielkonfiguration eines Schiebespiels, darüber steht die Anzahl der benötigten Züge (jeweils ein Stein wird um eine Position bewegt). Die Beschreibung dazu erklärt den Typ des Spiels, ist aber keine vollständige Beschreibung.

Aufgabe 1 - Schwierigste Aufgabe; Sortieren: Dies ist die Aufgabe mit den meisten Zügen. Man benötigt 184 Züge.

Aufgabe 2 - Spiegeln: Wie bekommt man den langen liegenden Stein an dem stehenden Domino vorbei?

Aufgabe 3 - Wandern: Hier muss der liegende Dominostein an dem V-Tromino vorbei, und es gibt nur drei Leerstellen.

Aufgabe 4 - Spiegeln: Die zwei V-Trominos können sich bei drei Leerfeldern nur wenig bewegen.

Aufgabe 5 - Spiegeln: Wie bekommt man die zwei liegenden Steine in der Mitte aneinander vorbei?

Aufgabe 6 - Spiegeln: Hier gibt es mit sechs Leerfeldern viel Platz, aber nur ein bewegliches Elementarquadrat. Zusätzlich sechs Dominos, die sich schnell verklemmen.