Ex 3

Diese Symmetriepuzzle besteht aus drei ungewöhnlich geformten Teilen: Es handelt sich um Rechtecke verschiedener Größe, bei denen jeweils eine Ecke in einem 45-Grad-Winkel abgeschnitten wurde. So entstanden zwei Vierecke (Trapeze) und ein Fünfeck.

Für diese drei Teile gibt es drei unterschiedlich schwere Aufgeben. Dabei soll jeweils eine ebene, symmetrische Figur gelegt werden, ohne dass sich die Teile irgendwie überlappen:

1. Legen Sie eine symmetrische Figur aus den beiden links liegenden Teilen aus der Abbildung oben.
2. Legen Sie eine symmetrische Figur aus den beiden rechts liegenden Teilen aus der Abbildung oben.
3. Legen Sie eine symmetrische Figur aus allen drei Teilen.

Schwierigkeit: Die ersten beiden Aufgaben sind nur mittelschwer, die dritte Aufgabe ist dagegen schwer. Die Herausforderung entsteht durch die wirklich ungewöhnliche Form der drei Steine.

Zum Eingewöhnen hantiert man am besten etwas mit den Steinen. Dabei kann man staunen, auf wie viele Arten sich die Steine zusammenfügen lassen. Hier einige Beispiele:

DIY-Tipp: Man kann sich auch die Steine aus Pappe ausschneiden. Aus den Fotos kann man die exakten Größenverhältnisse ableiten, wie schon Peter Gal [1] bemerkt hat.

Design:  Hiroshi Yamamoto
Erscheinungsjahr: 2010

Google: ex 3 hiroshi yamamoto
Shopping: Nicht lieferbar.

3D-Druck: Die STL-Datei von divbyzero für den 3D-Druck der drei Steine zum nichtkommerziellen Gebrauch gibt es bei Thingiverse.

Mehr Infos: 

[1]: https://ordoglakat.blog.hu/2011/09/25/kutatok_ejszakaja_es_az_ex_3_meg_a_t_3

Symmetriepuzzle mit fünf rechtwinkligen Dreiecken

Die Steine der bisher vorgestellte Symmetriepuzzles bestanden stets aus mehreren Elementarquadraten. Aber natürlich können wir auch andere Grundformen verwenden. Diesmal sollen fünf identische Steine in Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 verwendet werden. 

Legen Sie aus den fünf Dreiecken eine ebene spiegelsymmetrische Figur. Die Steine dürfen sich dabei nicht überlappen. Sie dürfen aber gewendet werden, so dass die Unterseite oben liegen darf.

DIY-Tipp: Schneiden Sie sich die Dreiecke aus stabiler Pappe aus! Am einfachsten schneiden Sie erst drei Rechtecke der Größe 3x4 aus und halbieren diese jeweils entlang einer Diagonale. Dann haben Sie sogar ein Ersatz-Dreieck.

Frage: Warum wurde uns diesmal verraten, dass eine spiegelsymmetrische Figur gesucht ist? Ja, es gibt auch eine rotationssymmetrische Figur, aber diese ist viel zu einfach zu finden und kein echtes Geduldspiel. Höchstens für absolute Anfänger geeignet. Hier eine rotationssymmetrische Anordnung:

Design:  klassisch.

Mehr Infos: Diese Aufgabe ist auch bei Hemmes mathematischen Rätseln erschienen.

Cubeocta Extra

Vor uns liegt ein wunderschöner abgestumpfter Würfel. Die acht Ecken wurden abgeschliffen und zeigen ein dreistrahliges Muster aus hellen und dunklen Hölzern, und zwar Pflaume und Ahorn. Die Kanten des zugrundeliegenden Würfels sind jeweils in der Mitte zerschnitten, hier stoßen offensichtlich Teile des Puzzles zusammen. Wo genau die Teile sonst noch aneinanderstoßen, ist zunächst nicht ersichtlich. Alle Teile sitzen fest aneinander und weder klappert es noch lässt sich ein einzelnes Teil bewegen.

Die Verpackung verrät, dass das Geduldspiel aus vier Teilen besteht. Wenn man es endlich geschafft hat, das Geduldspiel auseinanderzunehmen, muss man alles wieder zusammensetzen. 

Die vier Teile sind paarweise ähnlich, aber nicht identisch. Man kann drei der vier Teile relativ schnell zusammensetzen. Dann kennt man die Lage des letzten Teils, aber es lässt sich nicht so einfach an die gewünschte Stelle bringen. Dies ist noch einmal eine echte Herausforderung.

Schwierigkeit: Sehr schwer. Man neigt dazu, den Würfel so in die Hand zu nehmen, dass der Öffnungsmechanismus blockiert wird und man deshalb keine Fortschritte macht.

Lösungshinweis: Wenn man nicht eines der Teile aus dem Geduldspiel herausziehen kann, dann klappt es vielleicht mit zwei ineinanderhängenden Teilen und man kann das Geduldspiel so in zwei Hälften zerlegen. Falls dies auch nicht klappt, muss man alle vier Teile bewegen, und zwar gleichzeitig.

 

Design und Herstellung: Vinco 

Shopping: Nicht lieferbar.

Double Cross

Double Cross ist eine Holzskulptur ähnlich zwei ineinandergesteckten Kreuzen. Im Inneren klappert nichts, auch die verschiedenen Teile sitzen straff. 

Das Double Cross lässt sich in vier identische Teile zerlegen, und diese sollen dann wieder zusammengesetzt werden.

Schwierigkeit: Vinco vergibt den Schwierigkeitsgrad 3 von maximal 5, damit ist das Geduldspiel nur mittelschwer.

Lösungshinweis: Wenn man nicht eines der Teile aus dem Geduldspiel herausziehen kann, dann klappt es vielleicht mit zwei ineinanderhängenden Teilen und man kann das Geduldspiel so in zwei Hälften zerlegen. Falls dies auch nicht klappt, muss man alle vier Teile bewegen, und zwar gleichzeitig. Was ist hier der richtige Ansatz?

 

Design und Herstellung: Vinco (Design Nr. 38)

Erscheinungsjahr: 2002

Google: Vinco Double Cross
Shopping: Lieferbar, Preis ca. 30€

Hooker Soma

Auch bei Hooker Soma handelt es sich um einen Somawürfel mit eine zusätzliche Schwierigkeit. Diesmal wurde der 3x3x3-Würfel außen mit Seitenflächen versehen, und jeder der sechs große Somasteine wurde an einer der Außenseiten befestigt, so dass er einen Haken bildet und sich in mit anderen Somasteinen verhaken wird. Der siebte, kleine V-förmige Stein aus drei Elementarwürfeln ist nicht mit einer Außenwand fest verbunden. 

Hier einige der Steine zusammengesetzt:

Die sieben Teile sehen folgendermaßen aus:

Schwierigkeit: Schwierig, man kann den 3x3x3-Würfel auf nur eine Art zusammenbauen. Da sich die Steine gegenseitig verhaken, kann man keinen der Steine aus dem 3x3x3-Würfel einzeln entfernen, sondern nur mehrere gleichzeitig.

Design:  George Miller, Oskar van Deventer
Erscheinungsjahr: 2022

Google: Hooker Soma Oskar

3D-Druck: Oskar van Deventer, einer der Designer des Geduldspiels, stellt die STL-Files für den 3D-Druck auf seiner Seite Print-it-yourself zur Verfügung und ermutigt zum Ausdruck für die private Verwendung.

Shopping: Viele der Geduldspiele von Oskar van Deventer sind auch als fertige 3D-Drucke erhältlich.

Mehr Infos:

[1] https://oskarvandeventer.nl/Print-It-Yourself/

Soma Pipedream

Es gibt immer wieder Neuigkeiten für die Freunde des Somawürfels. Durch leichte Änderungen ergibt sich plötzlich eine zusätzliche Schwierigkeit. Hier haben wir die gewöhnlichen Steine des Somawürfels vor uns, allerdings nicht aus Elementarwürfeln, sondern aus Röhren mit achteckigem Querschnitt. Falls nötig, verzweigen sich die Röhren, und die Enden der Röhren sind manchmal abgerundet verschlossen und manchmal offen mit Steckverbindern. Aus diesen Teilen soll der übliche 3x3x3-Würfel gebaut werden, ohne dass irgendwelche offene Enden verbleiben. 

Hier eine nicht ganz gelungene Lösung:

Die sieben Teile sehen folgendermaßen aus:

Schwierigkeit: Schwierig, man kann den 3x3x3-Würfel auf nur eine Art zusammenbauen. Es gibt theoretisch noch eine zweite Lösung [1], bei der alle Steine entsprechend der Bedingungen im 3x3x3-Würfel angeordnet wären. Aber diese lässt sich nicht zusammensetzen oder auseinandernehmen, da sich immer Steine gegenseitig blockieren.

Zusatzaufgabe: Gestalten Sie beliebige Rohrleitungssysteme aus allen sieben Teilen, bei denen alle Öffnungen verschlossen sind. Es gibt insgesamt 35 verschiedene Möglichkeiten (Rick Eason).

Design:  Oskar van Deventer, Rick Eason
Erscheinungsjahr: 2022

Google: Soma Pipedream Oskar

3D-Druck: Oskar van Deventer, der Designer des Geduldspiels, stellt die STL-Files für den 3D-Druck auf seiner Seite Print-it-yourself zur Verfügung und ermutigt zum Ausdruck für die private Verwendung.

Shopping: Viele der Geduldspiele von Oskar van Deventer sind auch als fertige 3D-Drucke erhältlich.

Mehr Infos:

[1] https://oskarvandeventer.nl/Print-It-Yourself/

Übersicht: Aufgaben für Polyominos

Hier finden Sie alle systematischen Übersichten.

Polyominos gehören zu den Klassikern unter den Geduldspielen. Aus den vollständigen Sätzen von Pentominos, Hexominos usw. lassen sich viele Figuren legen, hier sind eine Großzahl von Aufgaben zusammengestellt. Diese Aufgaben sind niemals einfach und werden schnell übermenschlich schwer. Dann muss der Computer helfen. Damit kommt man viel weiter, man kann aber auch nicht alle Aufgaben lösen. Es gibt auch prinzipiell unlösbare Aufgaben, diese Unlösbarkeit muss man mit einem mathematischen Beweis begründen.

Im Folgenden sind die Aufgaben nach der Art der Steine sortiert. Es gibt einzelne Posts mit ausführlichen Lösungen sowie ganze Aufgabenserien.

	Pentominos (12 Steine, Fläche 60) Dies ist die mit Abstand bekannteste Variante. Schon diese Aufgaben sind verblüffend schwierig. Für verschiedene Arten von Pentominos gibt es die Übersicht: Pentominos in rechteckige und andere Rahmen packen.

Aufgaben für Pentominos (Nr. 1-20)
Aufgaben für Pentominos (Nr. 21-41)
Aufgaben für Pentominos: 1. Alphabet (Aufgaben Nr. 42-67)
Unlösbare Aufgaben für Pentominos (Nr. 1-10)

	Einseitige Pentominos (18 Steine, Fläche 90) Hier darf man die Steine nicht mehr wenden. Dadurch gibt es mehr Steine und es wird etwas schwieriger.

Einführung: Einseitige Pentominos
Aufgaben für einseitige Pentominos (Nr. 1-13)

	Hexominos (35 Steine, Fläche 210) Aus den 35 Hexominos lässt sich kein Rechteck legen, aber viele andere Formen.

Aufgaben für Hexominos (Nr. 1-10)
Volumentest: Schwierigere Aufgaben für Hexominos (Nr. 11-13)
Elegante Hexomino-Lösung für Tenyo-Rahmen (Nr. 14)

	Einseitige Hexominos (60 Steine, Fläche 360) Die vielen Steine machen es zwar schwieriger, wenn man planmäßig vorgeht, dauert es aber wegen der größeren Anzahl von Steinen nur länger und wird ansonsten nicht schwieriger.

Einführung: Einseitige Hexominos
Aufgaben für einseitige Hexominos (Nr. 1-15)

	Hexominos plus Pentominos (47 Steine, Fläche 270) Hier haben wir zwar noch mehr Steine, aber falls man sich die vergleichsweise gutartigen Pentominos bis zum Schluss aufspart, ist die Schwierigkeit vergleichbar mit Pentomino-Aufgaben.

3 bzw. 5 identische Rechtecke: Pentominos und Hexominos in Box
Aufgaben für Hexominos plus Pentominos (Nr. 1-15)

	Heptominos (108 Steine) Eines der Heptominos enthält ein Loch, so dass die zu füllende Fläche mindestens 577 betragen muss und der Rahmen steets mindestens ein Loch enthält.

Aufgaben für Heptominos (Nr. 1-13)
12 identische Quadrate: Heptominos in 8x8-Box
Heptominos in drei Rahmen der Größe 11x23 packen
Heptominos in ein Rechteck der Breite 5 Packen
Heptominos in vier Rechtecke der Größe 5x38 packen

	Spezielle Aufgaben Spezielle Aufgaben lassen sich für verschiedene Klassen von Polyominos formulieren. Beispielsweise kann man versuchen, mehrere gleiche Rahmen zu füllen oder sehr schmale Rechtecke zu füllen. Hier gibt es Beweise für die Unmöglichkeit der Lösung, die ebenfalls für verschiedene Klassen von Polyominos funktionieren.

Mehrere gleiche oder ähnliche Figuren aus einem Satz Polyominos legen
Rechtecke der Breite 3 mit Polyominos füllen

44 Steine der Größe 2x3x7 in eine Box 8x11x21 packen

Kategorie: Gleiche Klötzer in rechtwinklige Boxen packen

Vor uns liegen 44 gleiche Quader der Größe 2x3x7, und diese sollen in eine Box der Größe 8x11x21 gepackt werden. Wegen der extrem großen Anzahl von Steinen müssen wir planmäßig vorgehen, wenn wir das Puzzle lösen wollen.

Kann es überhaupt klappen? Die Gesamtanzahl von Elementarwürfeln der Steine und der Box stimmen überein, es sind jeweils 1848 Elementarwürfel. Und es gibt noch ein notwendiges Kriterium von de Bruijn, welches erfüllt sein muss: Die Seitenlängen eines kleinen Steins (2, 3 und 7) müssen Teiler der Seitenlängen der Box sein. Dies ist der Fall, so dass es klappen könnte.

Allerdings ist damit noch nicht klar, dass es klappen wird: Mit einer Box der halben Größe 4x11x21 und 22 Steinen der Größe 2x3x7 klappt es nämlich nicht, diese Aufgabe ist unlösbar, obwohl auch hier das Kriterium von de Bruijn erfüllt ist.

Aber die eigentliche Aufgabe mit 44 Steinen ist lösbar, und das Bild weiter unten zeigt die gestapelten Quader sozusagen in einer gläsernen Box. 

Schwierigkeit: Schwierig, aber auch für Menschen nicht unlösbar. Der Computer braucht nur Sekundenbruchteile. Falls Sie das folgende Bild zu Hilfe nehmen, wird es auch recht einfach.  

Ähnliches Geduldspiel: Singmaster Packing ist etwas einfacher.

Design:  David Klarner
DIY-Tipp: Selber basteln mittels 3D-Druck oder aus einer passenden Holzleiste sägen.

Gear Cube 3x3x3

Der klassische Zauberwürfel hat die Größe 3x3x3, und ebenso hat der erste Gear Cube dieselbe Größe. Wir schon beim Einführungsartikel über Zahnradwürfel beschrieben, sorgen hier zusätzliche Zahnräder dafür, dass die jeweils mittlere Scheibe sich nur mit den Außenscheiben zusammen bewegt, und zwar mit der halben Geschwindigkeit. Zusätzlich rotieren dabei die Kantenwürfel, deren Zahnrad sechs deutlich sichtbare Zähne hat.

Zwischen verschiedenen Varianten des 3x3x3 Gear Cube gibt es kleine Unterschiede: Bei dem abgebildeten Würfel befinden sich auf jeder Seitenfläche vier kleine U-förmige Teile, und zwar neben jeder Seite des mittleren Quadrates. Diese Teile gibt es beim klassischen Zauberwürfel nicht, sie sind ebenfalls beweglich und entsprechend der Seite gefärbt. Ältere Versionen des Gear Cubes besitzen diese Teile nicht bzw. sie sind nicht auf der Oberfläche erkennbar.

Nach einer halben Drehung einer äußeren Scheibe ist die Würfelform fast wieder erreicht. die mittlere Scheibe wurde um ein Viertel gedreht. Aber zusätzlich wurden die Kantenwürfel der mittleren Scheibe um eine Drittelumdrehung gedreht, so dass erst nach drei halben Umdrehungen einer Außenscheibe wieder die perfekte Würfelform wieder hergestellt ist. Aber natürlich haben dabei einige Würfelteile ihren Platz gewechselt. Da auch die U-förmigen Teile ihre Plätze wechseln, verkomplizieren sie den Gear Cube zusätzlich.

Mehr Informationen und ein Lösungsvideo gibt es bei [1].

Design:  Oskar van Deventer

Hersteller:  Mefferts und andere
Erscheinungsjahr: 2009

Google: Gear Cube
Shopping: Lieferbar, Preis ab 5€

Mehr Infos:

[1] https://freshcuber.wordpress.com/2018/04/03/gearcube-gearshift/

Gear Cube / Zahnrad-Zauberwürfel

Beim gewöhnlichen 3x3x3-Zauberwürfel lassen sich die drei Schichten in jeder Achsenrichtung unabhängig voneinander drehen. Was passiert, wenn man sie durch einen zusätzlichen Mechanismus mit Zahnrädern miteinander verbindet?

Und wenn man Zahnräder in einen Würfel einbauen kann, dann funktioniert das auch mit anderen Drehpuzzles. Zum Schluss hat man eine beeindruckende Menge von Zahnrad-Drehpuzzles zur Auswahl, hier einige davon:

Wenn wir beim 3x3 Gear Cube die beiden äußeren Schichten gegeneinander drehen, dann dreht sich die mittlere Schicht automatisch mit, aber nur mit der halben Geschwindigkeit. 

Wir müssen die beiden äußeren Schichten also um 180 Grad gegeneinander drehen, damit die mittlere Schicht sich um 90 Grad dreht und unser Zahnradwürfel wieder seine Würfelform bekommt. Abhängig davon, was für eine Sorte Zahnradwürfel man vor sich hat, kann man aber evtl. auch nach einer 90-Grad-Drehung der äußeren Schichten (jetzt ist die mittlere Schicht nur um 45 Grad gedreht) um eine andere Achse weiter drehen und die ehemalige Würfelform ist schnell völlig kaputt.

Die Aufgabe besteht natürlich darin, den Ausgangszustand wieder herzustellen. 

Schwierigkeit: Es kommt darauf, wie gut man die zugrundeliegenden Drehpuzzles ohne Zahnräder lösen kann. Wenn Sie das nicht hinbekommen, wird es durch die Zahnräder nur schwerer und durch die Formveränderungen maximal unübersichtlich und fast unlösbar. Falls Sie allerdings Profi beim Lösen der zugrundeliegenden Drehpuzzles sind, wird es durch die Zahnräder eher einfacher, da es in der Regel weniger mögliche Stellungen gibt.

Design:  Oskar van Deventer
Hersteller:  Meffert und andere
Erscheinungsjahr: 2009

Google: Gear Cube
Shopping: Lieferbar, Preis ab 5€

Mehr Infos:

https://freshcuber.wordpress.com/2018/04/03/gearcube-gearshift/

Smart Egg: Mummy

Der Körper des Smart Eggs besteht wie immer aus Kunststoff, das Ei ist außen gelblich mit einem Muster, welches an einen Verband erinnert. Teile des Gesichts scheuen noch heraus. Wie bei allen Smart Eggs soll der mitgelieferte Stab mit Kugeln an beiden Enden oben in das Ei eingeführt werden, dann durch das Ei hindurchmanövriert werden und durch das untere Loch wieder herauskommen.

Außer dem Eintrittsloch oben und dem Austrittsloch ganz unten gibt es vier Etagen von Löchern mit drei, fünf, acht bzw. sechs Löchern in den unterschiedlichen Etagen. Diese 24 Löcher sind paarweise durch Wege auf der Oberfläche verbunden. Zusätzlich gibt es noch mehrere kurze Wegstücke, die an Sackgassen erinnern. Das Innenleben des Labyrinths ist hier durch die vielen Löcher zwar gut sichtbar, aber die logische Struktur bleibt unbekannt.

Schwierigkeit: Entsprechend der Aufstellung auf der Verpackung ist Mummy das schwierigste Smart Eggs der ganzen Serie. Man benötigt (mindestens) 30 Bewegungen, um den Stab durch das Ei hindurchzubewegen. Allerdings werden hier alle geradlinigen Bewegungen einzeln gezählt, so dass die "gefühlte" Anzahl von Bewegungen niedriger ist.

Lösungshinweis: Der im Übersichtsartikel über Smart Eggs angegebene Algorithmus führt auch hier schnell zum Ziel.

 

Design:  András Zagyvai
Hersteller: Smart Eggs
Erscheinungsjahr: ca. 2012

Google: Smart Egg Mummy
Shopping: Evtl. gebraucht lieferbar.