Es gibt 35 verschiedene Hexominos (mit 210 Elementarquadraten) und 12 Pentominos (mit 60 Elementarquadraten). Diese belegen insgesamt 270 Elementarquadrate. Wegen der vielen Primfaktoren in der Primfaktorzerlegung von 270=2*3*3*3*5 lassen sich viele Rechtecke mit einer Fläche von 270 bilden, es gibt auch keine Einschränkungen durch die Parität bei einem gedachten Schachbrettmuster. Auch mehrere Rechtecke mit Fläche 272 und 273 sind möglich, diese haben dann zwei bzw. drei Löcher.
Schwierigkeit: Für ambitionierte Puzzler sind diese Geduldspiele von Hand lösbar. Es gibt jeweils sehr viele verschiedene Lösungen. Wenn man sich von der Größe nicht abschrecken lässt und sich die Pentominos so lange wie möglich aufhebt, sind diese Aufgaben kaum schwerer als Pentominoaufgaben. Hier soll jeweils eine Lösung angegeben werden, da es praktisch unmöglich ist, sich eine solche Lösung schnell einzuprägen. Man wird also automatisch nach einer anderen Lösung suchen.
3D-Druck: Ein Satz der Steine lässt sich mit 3D-Druck herstellen: Im Post Pentominos und Hexominos in Box finden Sie die Links zur Sammlung zum Blog auf Thingiverse sowie zu Printables.
Lösung mit Computer: Die hier vorgestellten Aufgaben bieten auch für die üblichen Lösungsprogramme keine Schwierigkeiten. PolySolver, mops.exe und Polycube [1] benötigen für die Aufgaben (in den Standard-Einstellungen) maximal einige Sekunden, manchmal auch viel weniger. Die hier gezeigten Lösungen wurden mit mit Polycube Vers. 1.2.1 ermittelt, dazu wurde die Standard-Kommandozeile
polycube.exe -V -p -- Eingabedatei > Ausgabedatei
verwendet. Von den vielen weiteren möglichen Parametern wurde kein Gebrauch gemacht. Das werden wir erst tun, wenn die Standardeinstellungen nicht mehr ausreichen, um eine Lösung zu finden.
Die Struktur der Eingabedatei ist einfach, Beispiele gibt es zusammen mit dem Programm bei [1].
Viele der unten gefüllten Rahmen sind (mit anderen Lösungen) bereits länger bekannt und finden sich bei [2] (Nr. 1, 2, 3, 4, 5, 10, 14).
Mehr Infos:
[1] https://www.mattbusche.org/projects/polycube/
[2] https://polyominoes.co.uk/polyominoes/pent-hex.html
Rechtecke der Fläche 270
Aufgabe 1: Rechteck 15x18.
Aufgabe 2: Rechteck 10x27.
Aufgabe 3: Rechteck 9x30.
Aufgabe 4: Rechteck 6x45. Die noch schmaleren Rechtecke 5x54 und 3x90 lassen sich nicht so einfach (oder vielleicht gar nicht?) lösen, wir heben sie uns für später auf.
Rechtecke der Fläche 272 mit zwei Löchern
Nehmen wir noch zwei Elementarquadrate hinzu, so haben wir eine Gesamtfläche von 272=2*2*2*2*17 und können daraus wieder mehrere Rechtecke mit zwei Löchern an verschiedenen Positionen bilden. In den Beispielen sind die Löcher symmetrisch positioniert, aber hier sind der Phantasie kaum Grenzen gesetzt. Oder, wenn Sie es sich etwas einfacher machen wollen: Packen Sie einfach die Steine in den Rahmen und erlauben Sie sich die Löcher an den Stellen, wo sie übrigbleiben.
Aufgabe 5: Rechteck 16x17-2 (Variante a).
Aufgabe 6: Rechteck 16x17-2 (Variante b).
Aufgabe 7: Rechteck 16x17-2 (Variante c).
Aufgabe 8: Rechteck 8x34-2 (Variante a).
Aufgabe 9: Rechteck 8x34-2 (Variante b).
Auch hier gibt es schmalere Rechtecke der Größe 4x68, die sich nicht so einfach lösen lassen. Wir heben sie uns für später auf.
Rechtecke der Fläche 273 mit drei Löchern
Nehmen wir noch ein weiteres Elementarquadrat hinzu, so haben wir eine Gesamtfläche von 273=3*7*13 und können daraus wieder mehrere Rechtecke mit zwei Löchern an verschiedenen Positionen bilden.
Aufgabe 10: Rechteck 13x21-3 (Variante a).
Aufgabe 11: Rechteck 13x21-3 (Variante b).
Aufgabe 12: Rechteck 13x21-3 (Variante c).
Aufgabe 13: Rechteck 7x39-3 (Variante a). Aufgabe 14: Rechteck 7x39-3 (Variante b).
Aufgabe 15: Rechteck 7x39-3 (Variante c). Es bleibt noch das extrem dünne Rechteck der Größe 3x91-3, aber das funktioniert wahrscheinlich ebenso gut (oder schlecht) wie das oben betrachtete Rechteck 3x90 und wird auf später verschoben.
