25 Hütchen mit kreisförmiger Grundfläche sollen in einen kreisförmigen Rahmen gestellt werden. Die Hütchen haben sieben verschiedene Farben und drei leicht unterschiedliche Durchmesser.
Schwierigkeit: Wie man sofort vermuten kann, ist das Geduldspiel verzwickt: Die Hütchen müssen ohne sichtbares System in den Rahmen eingeordnet werden, und für die letzten zwei oder den letzten Stein fehlt der Platz. Natürlich kann man sich die Aufgabe stellen, erst einmal fast alle Hütchen einzuordnen und sich später weiter zu steigern. Im Rahmen sind vorsorglich schon vier Parkplätze für übrige Hütchen vorgesehen.
Von der Klassifikation her ist das Geduldspiel natürlich eine zweidimensionale Fragestellung: 25 kleine Kreisscheiben müssen in einer großen Kreisscheibe platziert werden. Aus der Theorie weiß man, dass schon Fragestellungen mit zu platzierenden Kreisscheiben in einer einheitlichen Größe schwierig zu lösen sind. Es bleibt also als Lösungsweg nur geordnetes Herumprobieren. Es stellt sich heraus, dass eng stehende Hütchen unter dem Druck ihrer Nachbarn sich ein klein wenig zusammendrücken lassen. Dadurch erhält man zum Schluss eine Lösung, bei der alle 25 Hütchen straff im Rahmen sitzen.
Es gibt verschiedene Lösungen, was man an der jeweils unterschiedlichen Verteilung der Farben sieht.
Zusatzaufgaben: Wenn man etwas Übung hat, kann man sich um farblich schöne Lösungen bemühen. Darunter könnte man verstehen, dass möglichst viele gleichfarbige Hütchen nebeneinanderstehen oder sich ein wenigstens teilweise symmetrisches Muster ergibt. Der Phantasie sind hier keine Grenzen gesetzt.
Wenn Sie neun Kreisscheiben in ein Quadrat packen sollen, dann erledigen Sie das problemlos mit 3 Reihen zu je 3 Münzen. Aber was tun, wenn es sich um zehn gleichgroße Kreisscheiben handelt und der quadratische Rahmen nur Platz für etwa ein weiteres Drittel eines Scheibendurchmessers hat? Bei der letzten Scheibe bekommt man echte Schwierigkeiten, sie will einfach nicht mehr in den Rahmen passen. Sicherheitshalber gibt es auch noch einen extra Parkplatz für die letzte Scheibe. Als gleichgroße Scheiben werden bei diesem Geduldspiel Cent-Münzen verwendet.
In der amerikanischen Variante handelt es sich bei den Münzen um US-Cent-Münzen. Beim Einkauf gibt es diese natürlich dazu.
3D-Druck: Aber wenn wir uns das Puzzle mittels 3D-Druck selber herstellen wollen, haben wir mit den Münzen ein Problem: Wir finden das STL-File im Internet, aber die Euro-Cent-Münzen haben einen anderen Durchmesser. Zum Glück können wir den Rahmen passend zu den Münzen skalieren. Betrachten wir die Durchmesser der Münzen:
Durchmesser der 1Cent-US-Münze: 19,05mm Durchmesser der 1Cent-Euro-Münze: 16,75mm
Das Verhältnis der Durchmesser beträgt damit rund 0.853, um diesen Faktor müssen wir das Modell für den 3D-Druck verkleinern. Sie finden das STL-File in der Sammlung zum Blog auf Thingiverse.
Hintergrund: Der minimale quadratische Rahmen muss um den Faktor von rund 6.747 größer sein als der Radius der Münze. Dies wurde von De Groot im Jahr 1990 ermittelt. Auf einen Link soll hier verzichtet werden, da dann immer sofort auch die gesuchte Anordnung der Münzen gezeigt wird.
Hersteller: Creative Crafthouse und andere Erscheinungsjahr: 2016
Wir wollen uns für Geduldspiele interessieren, bei denen Kreise in einen Rahmen gepackt werden sollen. Die Lösungen enthalten weniger Symmetrie als die meisten Packprobleme für Polyformen, da dort die Polyformen meist entlang eines Gitters gelegt werden müssen. Beim Packen von Kreisen entstehen jedoch meist unregelmäßige Anordnungen, nach denen man eine Weile lang suchen muss. Wie bei vielen anderen Geduldspielen gelingt es relativ schnell, alle Kreise bis auf einen in den Rahmen zu packen, deshalb enthält der Rahmen oft einen Parkplatz für einen noch einzufügenden Kreis.
Schwierigkeit: Diese Geduldspiele sind in der Regel nicht trivial, aber auch nicht allzu schwer zu lösen.
10 Kreise optimal in einem Kreis. Quelle: Wikipedia
Für ein echtes Geduldspiel benötigt man allerdings statt Kreisen echte dreidimensionale Objekte, am einfachsten Kreisscheiben. Hier bieten sich immer Münzen an. Wir können die Geduldspiele nach mehreren Kriterien unterscheiden:
Haben alle Kreisscheiben die gleiche Größe? Dann benötigen wir nur eine Sorte Münzen und können die Größe des Rahmens an den Durchmesser der Münzen anpassen. Wenn wir Kreisscheiben mit verschiedener Größe benötigen, können wir vielleicht verschiedene Münzen nehmen. Schwieriger wird es, wenn das Größenverhältnis der verschiedenen Durchmesser vorgegeben ist, wir aber kein entsprechendes Paar von Münzen finden.
Welche Form hat der Rahmen? Wir können die Kreisscheiben in beliebig geformte Rahmen einpassen. Ansprechend sind regelmäßige Rahmen wie Kreis, Quadrat oder Dreieck, aber auch Rechtecke oder Viertel- bzw. Halbkreis sind möglich.
15 Kreise optimal in einem Quadrat. Quelle: Wikipedia
Damit die Münzen beim gelösten Geduldspiel nicht im Rahmen herumklappern, sollte der Rahmen so klein wie möglich sein. Daraus ergibt sich das mathematische Problem, die Größe des kleinsten Rahmens (in Abhängigkeit von seiner Form und der Anzahl der unterzubringenden Münzen) zu bestimmen. Leider handelt es sich dabei um schwierige mathematische Fragen, so dass auf bekannte Ergebnisse zurückgegriffen werden muss. Die ultimative Referenz ist hier Erich's Packing Center, eine Website von Erich Friedman.
Aus den vielen Möglichkeiten lassen sich ebenso viele Geduldspiele erzeugen. Einige gibt (oder gab) es tatsächlich im Handel, für andere bleibt der 3D-Druck.
Die Steine dieses Geduldspiels sind Tetrakuben, die jeweils aus zwei
Quadern der Größe 1x1x2 bestehen. Alle Quader haben leicht abgeschrägte
Kanten. Solche Paare von Quadern können jedoch nicht nur an einer gemeinsamen
Seitenfläche, sondern auch nur an einer gemeinsamen Kante verbunden sein.
Dafür gibt es insgesamt 12 Möglichkeiten, und dies sind die 12 Steine der Boxy
Twins. Diese Kantenverbindungen werden durch dünne Stifte gehalten, und
zwischen den abgeschrägten Kanten passen diese Stifte genau hindurch, so dass
sich die Tetrakuben zu größeren Figuren zusammenstecken lassen.
Die Aufgabe des Geduldspiels besteht darin, alle Steine in einen Quader der
Größe 3x4x4 zu packen. Weiterhin gibt es noch einige Zusatzaufgaben, bei denen
andere Figuren gebaut werden sollen. Beispiele sind Quader der Größen 2x4x6
oder 2x3x8.
Hier die zwölf Steine von Boxy Twins:
Das Puzzle ist aus mehreren Gründen interessant: Wir finden wieder die
bekannte Situation, dass nach einem gegebenen Kriterium (hier: zusammengefügt
aus zwei 1x1x2-Quadern) alle möglichen Steine gebildet werden und daraus
ansprechende Figuren zusammengefügt werden sollen. Sehr speziell ist die Art
des Zusammenfügens entlang von Kanten. Dadurch entstehen Steine, denen man
sonst kaum begegnet und die das räumliche Vorstellungsvermögen noch einmal
zusätzlich herausfordern.
Schwierigkeit: Das Puzzle ist kompliziert wegen dieser auf ungewohnte
Art zusammenpassenden Steine. Die Anzahl der möglichen Lösungen ist sehr hoch,
aber das macht das Puzzle ausnahmsweise nicht viel einfacher!
Varianten: Es gibt verschiedene Varianten des Geduldspiels, siehe [1]:
Die Steine sind jeweils aus Holz, in einigen Fällen gibt es schöne Holzkisten
dazu. Zusätzlich gibt es eine größere Variante mit 16 Steinen bestehend aus
insgesamt 60 Elementarwürfeln. Die vier zusätzlichen Steine bestehen aus
jeweils aus drei Elementarwürfeln in allen Möglichkeiten, einen
Elementarwürfel an einen 1x1x2-Quader anzufügen. Manchmal werden die zwei
Varianten als Boxy Twins 12 bzw. Boxy Twins 16 bezeichnet.
PolySolver-Info: Da der PolySolver nichtzusammenhängende Steine
erlaubt, lässt sich das Puzzle einfach modellieren. Allerdings sind dabei die
Verbindungsstifte nicht mit modelliert, deshalb sind einige Lösungen des
PolySolver möglicherweise nicht mit den Steinen realisierbar. Der PolySolver
findet mehr als 1.500.000 Lösungen, bevor er wegen Speicherüberlauf abstürzt.
Hier die dazugehörige PolySolver-Datei.
Sieben unterschiedliche kleine Eulen müssen in einen unregelmäßig geformten
Rahmen gepackt werden, der von außen betrachtet die Form einer großen Eule
besitzt.
Alle Teile sind aus lasergeschnittenem Holz und auf der Oberseite verziert,
damit man sie in der richtigen Orientierung verwendet. Auch bei diesem
Geduldspiel passen sich einige Eulen gut an den Rand an, so dass man schnell
erste Hinweise über die Lage einiger Eulen erhält.
Schwierigkeit: Leicht.
Lösungshinweis: Zum Schluss stehen alle Eulen aufrecht im Rahmen.
Der Megaron-Cube gehört zu der Reihe der sogenannten „Griechischen Reihe“, die 1996/97 von Bernhard Schweitzer entwickelt wurde.
Die Aufgabe besteht darin, jeweils drei Tetrakuben (untere Reihe) und drei Pentakuben (obere Reihe) zu einem 3x3x3-Würfel zusammenzubauen. Dabei handelt es sich um die hier abgebildeten Polykuben:
Der Begleittext verrät, dass es nur eine Lösungen gibt.
Die verwendeten Steine haben eine große Ähnlichkeit zu den beim Minotaurus-Cube verwendeten Steinen: Nur einer der Steine (links unten im Bild) wurde ausgetauscht. Dadurch vergrößert sich die Schwierigkeit, weil es nur noch eine Lösung gibt.
Design: Bernhard Schweitzer
Hersteller und Artikelnummer: Philos 6269 Erscheinungsjahr: 1996/97
Google:Megaron-Cube Shopping: Lieferbar, Preis ca. 10€
Der Minotaurus-Cube gehört zu der Reihe der sogenannten „Griechischen Reihe“, die 1996/97 von Bernhard Schweitzer entwickelt wurde.
Die Aufgabe besteht darin, jeweils drei Tetrakuben (untere Reihe) und drei Pentakuben (obere Reihe) zu einem 3x3x3-Würfel zusammenzubauen. Dabei handelt es sich um die abgebildeten Polykuben:
Der Begleittext verrät, dass es genau zwei verschiedene Lösungen gibt. Außerdem wurde nach Erscheinen bekannt, dass bereits in den 1970er Jahren der US-Amerikaner Adrian Fisher ein identisches Puzzle erfunden hatte.
Die verwendeten Steine haben eine große Ähnlichkeit zu den beim Megaron-Cube verwendeten Steinen: Nur einer der Steine (links unten im Bild) wurde ausgetauscht.
Design: Bernhard Schweitzer Hersteller und Artikelnummer: Philos 6267 Erscheinungsjahr: 1996/97
Polykuben entstehen, wenn man mehrere Elementarwürfel so zusammenklebt, dass jeweils ganze Seitenflächen zusammenstoßen. Betrachtet man nur die Mittelpunkte der Elementarkuben eines speziellen Steins, so können diese in einer Ebene liegen oder auch nicht. Im ersten Fall sind diese äquivalent zu den entsprechenden Polyominos, im zweiten Fall sprechen wir von echt dreidimensionalen Polykuben.
In der Abbildung unten werden immer zuerst die flachen Polykuben angegeben, danach die echt dreidimensionalen. Im Beispiel der Pentakuben sieht man zunächst zwölf ebene Pentakuben, diese entsprechen genau den zwölf Pentominos. Danach folgen weitere 17 echt dreidimensionale Pentakuben, die beispielsweise beim Grab der Pentakuben verwendet wurden.
Auch aus Ananasscheiben (natürlich aus Kunststoff) kann man ein Geduldspiel
machen: Wir nehmen fünf Ananasscheiben. Jede Scheibe wird gedanklich in zwölf
gleiche Segmente ähnlich zu Kuchenstücken zerschnitten und anschließend werden
einige solche Teile wieder zusammengeklebt, und zwar so, dass jeweils ganze
Flächen aneinanderstoßen. Und zwar bleiben zum Schluss zwölf Spielsteine,
bestehend aus jeweils fünf Ananasstückchen. Dazu gibt es ein zylindrisches
Glas, in das die Teile eingepackt werden sollen, so dass zum Schluss die fünf
Ananascheiben flach übereinander im Glas liegen.
Schwierigkeit: Das Geduldspiel erweist sich als kompliziert, auch weil
es anders ist als das, was man bisher kennt. Vielleicht findet man nach
längerer Zeit und systematischem Probieren eine Lösung, aber einige
theoretischen Überlegungen helfen.
Betrachten wir das (teilweise oder ganz) gelöste Geduldspiel im Glas von
außen, so erkennen wir Muster, die wir von Pentominos kennen. Die Größe von
5x12 (fünf Scheiben mit je zwölf Segmenten) passt auch zu Pentominos.
Betrachten wir die etwas allgemeinere Situation von Pentominos auf der
Zylinderoberfläche:
Was passiert, wenn wir einen Zylinder (beispielsweise mit Umfang 12 und Höhe
5) mit Pentominos bedecken wollen? Die Situation ist gegenüber dem dazu
passenden 5x12-Rahmen etwas anders:
Die Pentominos müssen in einer Richtung gebogen sein, um auf die
Zylinderoberfläche zu passen. Dadurch ist zwar eine Drehung um 180 Grad noch
möglich, aber die Drehung um 90 Grad ist unverträglich mit der Biegung.
Diese Situation kennen wir schon von den
polarisierten Pentominos. Aber auch das Wenden der Pentominos ist wegen der Biegung
unmöglich.
Außerdem hat sich der Rand der zu füllenden Fläche geändert: Es gibt noch
den oberen und den unteren Rand, aber der linke und rechte Rand sind
verschwunden. Natürlich kann man jede Lösung im rechteckigen 5x12-Rahmen um
den Zylinder wickeln, aber es gibt auch Lösungen ohne senkrechte
Schnittkante, bei denen die rechte und linke Seite passend verzahnt sind,
z.B. die folgende:
Dies ist aber nicht die Lösung für Pineapple Delight, sondern die
soll natürlich nicht verraten werden. Es gibt aber einen Lösungshinweis.
Lösungshinweis: Zur Lösung können wir den PolySolver benutzen. Da wir aber vorher nicht wissen, wie die rechte bzw. linke Seite des Rahmens in der Lösung aussehen, müssen wir mehrere Rahmen durchprobieren. Der Rahmen oben gehört leide nicht zur Lösung.
Um eine 90-Grad-Drehung der Steine zu verhindern, sollte das Gitter auf "Rectangle" eingestellt werden.
Design: Nob Yoshigahara
Hersteller: Beverly Japan Erscheinungsjahr: ca. 1995 als Toyo Glass Puzzle
Auf den ersten Blick sehen wir wieder ein Geduldspiel, bei der Polyformen in
einen Rahmen gepackt werden müssen. Diesmal sind aber nicht Quadrate, sondern
jeweils fünf Rechtecke zu Spielsteinen zusammengefasst worden.
Auf den zweiten Blick steckt hinter der kleinen Änderung jedoch auch ein
theoretischer Hintergrund: Pentominos bestehen aus jeweils fünf
Elementarquadraten und es gibt zwölf verschiedene. Das wissen wir schon lange
und genauso, dass man daraus viele schöne Geduldspiele machen kann. Wenn man
es komplizierter haben will, kann man die Elementarquadrate schachbrettartig
einfärben. Aber wir haben noch mehr Möglichkeiten: Diesmal sollen die
Elementarquadrate in einer achsenparallelen Richtung mit einem Streifen in der
Mitte versehen werden. Und natürlich verlangen wir, dass die zu legende Figur
in einer Richtung gestreift ist! Wir können unsere Pentominos plötzlich nicht
mehr um 90 Grad drehen, sondern nur noch um 180 Grad. (Übrigens könnten wir
auch auf eine andere Art achsenparallele Streifen anbringen, beispielsweise
die obere Hälfte färben. Dann wären auch Drehungen um 180 unmöglich.)
Diese zusätzlichen Streifen mit der ausgezeichneten waagerechten Richtung
entsprechen einer optischen Polarisation, deshalb werden diese Pentominos
gelegentlich auch parallel polarisierte Pentominos genannt. Äquivalent
dazu haben wir noch eine weitere Möglichkeit, die 90-Grad-Drehungen zu
verhindern: Wir verwenden statt der Elementarquadrate jetzt Elementarrechtecke
(also etwas "plattgedrückte Quadrate"), dann erzielen wir den gleichen Effekt.
Zum selber Ausprobieren können wir entweder gestreifte Pentominos auf Papier
drucken oder mit dem 3D-Drucker Pentominos aus Rechtecken drucken.
Hier ist ein vollständiger Satz solcher polarisierten Pentominos. In den
oberen beiden Zeilen befinden sich die Pentominos mit zwei Varianten, oben die
"langen dünnen" und darunter die "kurzen dicken". Bei den Pentominos W, X und
V in der dritten Zeile fallen beide Varianten zusammen. Das liegt daran, dass nur sie eine Symmetrieachse parallel zu einer Diagonale im Quadratgitter besitzen.
Es sind also nicht mehr nur 12 Stück, sondern 21. Diese 21 Pentominos bestehen
aus 105 Elementarrechtecken. Die Primfaktorzerlegung von 105 ist 3*5*7, wir
können also versuchen, Rechtecke der Größen 5x21 und 7x15 mit den Pentominos
zu füllen. Da wir zwei I-Pentominos in verschiedene Richtungen legen müssen,
ist ein Rechteck der Größe 3x35 nicht möglich. Außer den Rechtecken 5x21 und
7x15 (sowohl im Hoch- wie im Querformat, also vier verschiedene Aufgaben) gibt
es noch viele andere lösbare Aufgaben mit anderen Formen. Beispielsweise ist
105=121-16, d.h. wir können aus einem plattgedrückten 11x11-"Quadrat" als
Rahmen vier weitere 2x2-Quadrate entfernen und erhalten so unter anderem die
folgenden Rahmen:
Diese lassen sich auch mit den 21 polarisierten Pentominos füllen, allerdings
gibt es viel weniger Lösungen, diese Aufgaben sind dadurch wesentlich
schwieriger.
PolySolver-Info 1: Der PolySolver kann uns natürlich helfen, für das
zugrundeliegende rechteckige Gitter gibt es den Grid type: Rectangle. Sie
können leicht die Form des Rahmens ändern und mit anderen Rahmen
experimentieren.
PolySolver-Info 2: Der PolySolver findet 1080 Lösungen, wegen
der möglichen Rotationen um 60 Grad sowie zusätzliche Spiegelungen muss man
diese Zahl durch 12 teilen, dies ergibt 90 echt verschiedene Lösungen.
Hier finden Sie die die
PolySolver-Datei
für die polarisierten Pentominos und den im oberen Foto abgebildeten
7x15-Rahmen. Das Programm findet innerhalb der ersten 90 Minuten rund 75.000
verschiedene Lösungen. Bei diesen findet sich das "dicke" I immer an
derselben Position in der linken unteren Ecke, so dass die Suche nach allen
Lösungen noch sehr lange dauern sollte.
Und wir haben noch eine andere Möglichkeit, weitere Geduldspiele zu erzeugen.
Wir nehmen die gewöhnlichen 12 Pentominos bestehend aus Elementarquadraten,
lösen damit eine der üblichen Aufgaben und stauchen erst danach die gesamte
Lösung etwas, so dass aus den Elementarquadraten jetzt Elementarrechtecke
werden. Dann haben wir die nötigen polarisierten Pentominos vorliegen, um die
polarisierte Aufgabe zu lösen. Im Unterschied zu oben wird von jeder Variante
der Pentominos nur noch eine verwendet, also beispielsweise entweder das
"kurze dicke" oder das "lange dünne" I-Pentomino. Diesem Problem werden wir
uns noch einmal in einem anderen Post widmen.
Einfaches Nachrechnen zeigt die Richtigkeit der sog.
Würfelgleichung: 3³+4³+5³=6³. Daraus ein Geduldspiel machen kann
man, indem man nach einer Menge von Polykuben (also an Seitenflächen
zusammengeklebten Einheitswürfeln) sucht, aus denen man als erste Aufgabe
gleichzeitig drei Würfel mit den Seitenlängen drei, vier und fünf erhält und
als zweite Aufgabe einen Würfel der Seitenlänge sechs.
Bei dem vorliegenden Geduldspiel sind zusätzlich die Polykuben für die drei
Würfel der ersten Aufgabe aus drei verschiedenfarbigen Hölzern gefertigt, was
die Aufgabe noch etwas konkretisiert. Insgesamt werden die folgenden Steine
verwendet:
Das Bild zeigt oben rechts die sieben Steine für den 3x3x3-Würfel, oben links die 12 Steine für den 4x4x4-Würfel und darunter die 29 Steine für den
5x5x5-Würfel (einer davon hat die falsche Farbe).
Schwierigkeit: Leicht bis mittelschwer. Der 3x3x3-Würfel lässt sich
völlig problemlos zusammensetzen. Für den 4x4x4-Würfel sieht die Sache schon
schwieriger aus, dafür gibt es unten einen Lösungshinweis. Der 5x5x5- und der
gesamte 6x6x6-Würfel sind wieder vergleichsweise einfach, weil es genügend
kleine, einfach geformte Steine gibt, die man bis zuletzt aufheben kann.
Man kann sogar versuchen, besonders ästhetische Lösungen zu finden. Im Bild
oben sitzt der 4x4x4-Würfel in einem Rahmen, der aus den restlichen Steinen
besteht. Dabei sind die anders gefärbten Steine für den 3x3x3-Würfel im
Inneren versteckt.
Lösungshinweis: Der 4x4x4-Würfel lässt sich aus zwei
identischen Teilen zusammensetzen.
Ähnliche Geduldspiele: Es gibt zahlreiche andere Geduldspiele zum Thema
Cube Equation. Immer besteht die Aufgabe darin, aus vorgegebenen Steine
einmal die drei kleinen Würfel zusammenzusetzen und alternativ aus allen
Steinen den 6x6x6-Würfel zusammenzubauen. Eine Übersicht gibt es auf
puzzlewillbeplayed.com. Suchen Sie in der rechten Spalte nach 3³+4³+5³.
Hersteller: Philos (?)
Frage: Wer kann helfen mit sichern Angaben zum Hersteller und dem
Handelsnamen?
Das Puzzle erinnert ein wenig an ein 15er-Spiel, aber es gibt kein freies Feld
und die Teile bewegen sich anders: In einem 4x4-Quadrat sind bewegliche Teile
mit den Zahlen 1 bis 16 angeordnet.
Auf der Rückseite gibt es fünf gelbe Stifte (auch von vorn sichtbar), mit
denen jeweils vier der sechzehn Teile ihre Plätze kreisförmig tauschen können:
Dies betrifft jeweils die vier Felder in jeder Ecke sowie die vier Felder in
der Mitte. Die vier äußeren Stifte bewegen also jeweils verschiedene
Positionen unabhängig voneinander, aber der innere Ring überlagert sich
jeweils an einer Position mit jedem der äußeren Ringe. Dadurch kann man die
anfangs geordneten 16 Zahlen schnell durcheinanderbringen, und die Zahlen
stehen nach einigen Bewegungen auch nicht mehr aufrecht, sondern sind meist
verdreht.
Die Aufgabe besteht natürlich darin, wieder Ordnung herzustellen.
Schwierigkeit: Mit sechzehn Steinen und vielen unabhängigen
Drehbewegungen erscheint das Puzzle nicht zu kompliziert, und dieser Eindruck
trügt auch nicht.
Lösungshinweis 1: Es ist relativ einfach, zunächst die zwölf
Steine am Rand in die korrekte Lage zu bringen. Dafür reicht der beim
15er-Spiel verwendete Trick zur Einordnung des jeweils letzten Steins.
Lösungshinweis 2: Wir bezeichnen mit A die Drehung eines
Stifts in einer ausgewählten Ecke und mit M die Drehung des mittleren Stifts
(jeweils um 90 Grad im Uhrzeigersinn) und mit A' und M' die Drehungen in die
umgekehrte Richtung. Dann passiert bei der Bewegung AMA'M' folgendes: Drei
Steine tauschen zyklisch ihre Plätze, alle anderen Steine bleiben fest. Dies
ist ausreichend zur Lösung des Geduldspiels, wenn man vorher mit einer oder
zwei zusätzlichen Bewegungen jeweils drei umzuordnende Steine an die
geeigneten Positionen bringt.
Frage 1: Ist die folgende Aussage richtig: Wenn eine Ziffer sich an
ihrem rechten Platz befindet, dann steht sie immer aufrecht und ist
niemals verdreht.
Frage 2: Egal wie herum man das Puzzle hält: Die Ziffer 1 kann immer
aufrecht in die linke obere Ecke gedreht werden. Lässt sich danach in jedem
Fall das Puzzle lösen oder gibt es nur eine Seite oder nur zwei
gegenüberliegende Seiten, so dass das Puzzle lösbar ist? Wenn das so wäre,
hätten wir eine weitere Parallele zum 15er-Spiel: Manchmal ist es lösbar,
manchmal nicht.
Puzzlerone ist ein weiteres Geduldspiel zum Thema Schokolade, angelehnt an die Schweizer Schokolade Toblerone: Eine Gebirgskette aus 12 Gipfeln ist zusammengesetzt aus neun Teilen, diese wiederum setzen sich jeweils aus maximal vier geraden Prismen mit gleichseitigen Dreiecken als Grundfläche zusammen.
Schwierigkeit: Trotz der markanten Gebirgskette sieht man den einzelnen Teilen nicht sofort die richtige Orientierung an, was das Geduldspiel etwas schwieriger macht, als es auf den ersten Blick erscheint.
Ein nettes Geduldspiel aus Buchenholz in einer Verpackung, die ebenfalls stark an das Vorbild aus Schokolade erinnert.
Puzzlerone ist das Austauschpuzzle von Karin und Jürg von Känel zu IPP 2009.
Eigentlich ist dies kein Geduldspiel zum Stapeln von Polyformen, aber wenn man das Puzzle um 90 Grad dreht und eine Art senkrechter Schokoturm entsteht, dann können wir Puzzlerone als Stapelaufgabe klassifizieren.
Design: Karin und Jürg von Känel Erscheinungsjahr: 2009
Handschellen und Hufeisen sind zwar ganz verschiedene Dinge, aber man kann funktionsgleiche Geduldspiele daraus machen: Zwei recht massive Handschellen sind in der Mitte durch zwei kleine Ringe verbunden, über dieser relativ engen Position in der Mitte hängt zusätzlich ein großer Ring. Der ist nicht groß genug, um über die Handschellen geschoben zu werden, muss aber trotzdem befreit werden.
Wie bei allen Tavern-Puzzles handelt es sich auch hier um ein handgeschmiedetes Objekt von überdurchschnittlicher Größe.
Schwierigkeit: Die Situation ist identisch zum klassischen Hufeisen-Puzzle, die Lösung sollte auch hier nicht schwierig sein.
Dieses Super-Ei kann, was normale Eier nicht können, und deshalb zählt es zu den unmöglichen Objekten: Es steht aufrecht, und das auch noch einigermaßen stabil.
Wie kann das sein? Das abgebildete Super-Ei wurde 3D-gedruckt und deshalb ist seine mathematische Form genau bekannt. Bei einem senkrechten Schnitt durch dieses Super-Ei erhalten wir keine Ellipse, sondern eine sogenannte Super-Ellipse. Der Unterschied besteht in einem leicht veränderten Exponenten. Wir erinnern uns: Die mathematische Formel für einen Kreis mit Radius r ist x²+y²=r², oder äquivalent dazu (x/r)²+(y/r)²=1. Wenn wir daraus eine Ellipse machen, gibt es statt dem einheitlichen Radius eine kleine Halbachse a und eine große Halbachse b, die Formel für die Ellipse ist dann (x/a)²+(y/b)²=1. Diese Ellipse steht nicht stabil mit senkrechter großer Halbachse, sondern sie rollt ab und liegt dann flach.
Und jetzt machen wir aus der Ellipse eine Superellipse. Dafür wird der Exponent von zwei leicht vergrößert, in unserem Falle auf 2.5. Als Ergebnis wird die Ellipse so verformt, dass sie etwas "aufgeblasen" wird, aber dabei nicht größer und in der Mitte auch nicht dicker wird. Die Vergrößerung findet unten und oben an den äußeren Rändern statt. Mathematisch gesprochen verkleinert sich dadurch die Krümmung an den Polen und plötzlich steht das Super-Ei stabil.
Als dekoratives Objekt und Super-Ei wurde dieser mathematische Körper von Piet Hein entdeckt. Piet Hein ist uns schon als Erfinder des Soma-Würfels begegnet. Von ihm gibt es sehr große, verchromte Super-Eier, die man auch übereinanderstapeln kann. Ein Video, dass die mathematischen Hintergründe erklärt, findet sich unter [1].
3D-Druck: Für oben abgebildete Super-Ei wurden zwei Hälften gedruckt und diese zusammengeklebt. Wenn man versucht, ein Super-Ei in einem Stück zu drucken, benötigt man Stützen, die sich dann nicht ganz spurlos entfernen lassen.
Design: Piet Hein, 1960er Jahre. 3D-Druck: Die STL-Datei zum oben abgebildeten Super-Ei findet sich auf Thingiverse.
Neun identische Heptominos (d.h. Steine bestehend aus jeweils sieben
Elementarwürfeln) sollen 63 der 64 Elementarwürfel eines 4x4x4-Würfels füllen.
Der leere Elementarwürfel stellt die Wohnung des Holzwurms dar. Und der möchte
gern im Inneren des 4x4x4-Würfels leben, nicht auf einer Außenseite. Suchen
Sie nach allen möglichen Plätzen für den Holzwurm und Sie werden verstehen,
warum der Holzwurm unglücklich ist.
Das Geduldspiel wird in einer Box der Größe 2x5x7 geliefert. Im gefüllten
Zustand bleiben also sieben freie Elementarwürfel. Trotzdem ist es nicht ganz
so einfach, das Puzzle in diese Aufbewahrungsbox zu packen.
Schwierigkeit: Durch die ungewöhnliche Form der Heptominos ist es
schwierig, sie alle in einen 4x4x4-Würfel zu packen. Nach einiger Zeit der
Übung sieht man schon besser, auf welche Art man diese Heptominos
zusammenfügen soll.
Es gibt verschiedene Ausführungen des Geduldspiels: Edle Versionen in einer
4x4x4-Holzkiste, oder einfachere Varianten, auch aus Plastikwürfeln. Eine
Version aus LiveCubes war das Austauschpuzzle von Joe Becker auf IPP25
im Jahr 2005 in Helsinki und ist oben abgebildet.
PolySolver-Info: Der PolySolver findet 24 Lösungen, die alle identisch sind:
Der Würfel hat 6 Seiten und kann 4x um 90 Grad gedreht werden.
Ähnliches Geduldspiel: Aus dem gleichen Jahr und vom gleichen Designer
gibt es auch Nobs Unhappy Woodworm Nr. 1, hier wird für die
gleiche Aufgabe ein anderes Heptomino verwendet.
Frage 1: Gibt es noch mehr Heptominos, so dass man sieben Exemplare im
4x4x4-Würfel unterbringen kann? Und wo befinden sich jeweils die übrigen
Löcher?
Frage 2: Lässt sich die Fragestellung auch so abändern, dass man statt
neun gleicher Heptominos diesmal sieben gleiche Nonominos (bestehend aus
jeweils neun Elementarwürfeln verwendet?
Das Puzzle besteht aus den vollständigen Sätzen der Polyominos von N=1 bis N=5. Zur besseren Unterscheidung sind sie entsprechend der unterschiedlichen N-Werte unterschiedlich gefärbt. Diese bestehen aus 89 Elementarquadraten und dazu gibt es einen Rahmen der Größe 89. Da 89 eine Primzahl ist und der Rahmen symmetrisch sein sollte, musste eine etwas ungewöhnliche Form gewählt werden. Die Polyominos bestehen wie der Rahmen aus lasergeschnittenem Plexiglas.
Zum Puzzle gibt es ein Begleitheft mit einem Umfang von 52 Seiten. Darin stehen dicht gepackt so viele Informationen über Polyominos, wie man sie sonst nur selten findet. Die Aufgaben sind von verschiedener Art und verschiedener Schwierigkeit, z.B.
Verschiedene vorgegebene Rahmen füllen
Mehrere kongruente Figuren legen, mit oder ohne Vorgabe der zu legenden Figuren
Figuren mit „verschiebbaren“ Löchern: Beispielsweise ein zu füllendes Rechteck mit einem kleinen freien Rechteck („Fenster“), welches an verschiedenen Stellen stehen kann.
Schwierigkeit: Unterschiedlich für die verschiedenen Aufgaben. Bei einigen Aufgaben lässt sich die bewährte Strategie anwenden, zuerst die komplizierter geformten Steine unterzubringen und die zum Schluss verbleibenden Lücken mit den kleinen Polyominos zu füllen. Da das oft klappt, sind auch viele Aufgaben für Anfänger geeignet.
Polysolver-Info: Natürlich lassen sich alle Aufgaben mit vorgegebenen Rahmen mit dem PolySolver lösen.
Design: Kate Jones
Hersteller: Kadon Erscheinungsjahr: ca. 1989
Google:Kadon Poly 5 Shopping: Lieferbar beim Hersteller Kadon in den USA für ca. 40$.
Diesmal liegt ein Würfel vor uns, der zwar so ähnlich aussieht wie
die klassischen
2x2-Puzzles mit schrägen Schnitten, aber anders funktioniert. Die bisher vorgestellten Geduldspiele waren alle
relativ flach, und diese geringe Höhe spielte bei der Lösung eine wichtige
Rolle. Also muss es hier auch eine andere Lösung geben.
Diese neu zu findende Lösung beruht allerdings auf einem anderen Mechanismus,
denn die schrägen Schnitte verlaufen diesmal anders. Während bei den flachen
Varianten die Ausbuchtungen konisch geformt waren, haben diesmal die
Ausbuchtungen immer einen konstanten Querschnitt, verlaufen aber schräg. Dies
verhindert ebenso zuverlässig, dass man eines der vier Teile einfach so
entfernen kann.
Schwierigkeit: Einfach. Da durch die Sägeschnitte die vier Teile nur
lose verbunden sind, kann sich die Lösung beim Hantieren auch "einfach so"
offenbaren.
Der zugrundeliegende Mechanismus bleibt aber trotzdem einfach und elegant.
Lösungshinweis: Wenn man nicht ein einzelnes Teil entfernen
kann, wie könnte man dann das Geduldspiel zunächst in zwei Teile zerlegen?
Frage: Wer kann helfen mit Angaben zu Designer, Hersteller oder Erscheinungsjahr? Bitte eine kurze E-Mail an WeltderGeduldspiele@gmail.com.
Wie die ähnlichen Namen schon verraten, handelt es sich hier um ein ähnliches
Geduldspiel zum
Drahtpuzzle mit Scharnier 1. Der zu befreiende Ring befindet sich auf einer Zunge
und wird am Ende der Zunge durch ein eingehängtes Dreieck blockiert. Und
wieder gibt es in dem Rahmen ein Scharnier, so dass der Rahmen im
zusammengeklappten Zustand an ein doppeltes U erinnert.
Bedeutet in diesem Fall die Ähnlichkeit der Geduldspiele auch den gleichen
Lösungsweg?
Schwierigkeit: Eureka bewertet das Geduldspiel mit einem Stern
(einfach).
Wieder soll ein Ring befreit werden. Er befindet sich an einem Gestell auf
einer Zunge. Von dieser Zunge könnte er einfach abgezogen werden, wenn er
nicht am Ende der Zunge durch einen weiteren Ring gleicher Größe blockiert
wäre. Außerdem gibt es noch ein Scharnier im Rahmen, mit dessen Hilfe sich der
Rahmen zusammenklappen lässt. Ohne die beiden Ringe erinnert der
zusammengeklappte Rahmen an ein doppeltes U.
Dadurch erinnern wir uns möglicherweise an das
Hufeisen-Puzzle. Trotz dieser Ähnlichkeit funktioniert die Lösung hier etwas anders.
Schwierigkeit: Eureka bewertet das Geduldspiel mit einem Stern (einfach).
Varianten: Es gibt verschiedene Varianten von verschiedenen Herstellern. Das kleinere Geduldspiel im Bild ist das Eureka Racing Wire Puzzle #07.
Lösungshinweis: Der blockierende Ring am Ende der Zunge ist beweglich und kann entlang der gesamten Zunge verschoben werden. Das schafft mehr Bewegungsfreiheit für den zu befreienden Ring.
Von Eureka gibt es die Reihe der Mini Wire Puzzles (19 Drahtpuzzles), diese wurden später erweitert und umbenannt zu Racing Wire Puzzles und besteht nun aus 27 Drahtpuzzles.
Dabei handelt es sich um echte Klassiker. In dieser Reihe tragen sie nur Nummern, keine Namen. Das liegt daran, dass diese Klassiker schon unter ganz verschiedenen und willkürlich gewählten Namen angeboten wurden und die Namen kaum etwas über das entsprechende Geduldspiel aussagen. Aus diesem Grund werden in diesem Blog die Drahtpuzzles durch ihre Funktion oder wichtigen Bestandteile beschrieben. Zusätzlich werden natürlich Handelsnamen angegeben.
Schwierigkeit: Die Drahtpuzzles haben verschiedene, meist mittlere Schwierigkeit. Am häufigsten wird ein Schwierigkeitsgrad von 2 oder 3 auf einer Skala bis 4 angegeben. Damit bewegen wir uns auf gehobenem Anfängerniveau.
Wer anfangen möchte, sich mit Drahtpuzzles zu beschäftigen, ist hier genau richtig. Die Geduldspiele sind nicht allzu klein, solide gefertigt und absolut erschwinglich.
Hier im Blog werden immer mal wieder einige dieser Geduldspiele besprochen, oft mit verweisen auf baugleiche Drahtpuzzles anderer Hersteller.
Wenn wir mit Honeycomb oder aus einer anderen Quelle (s. DIY-Tipp unten) einen kompletten Satz von sieben Tetrahexen (also alle Steine, die man aus jeweils vier Sechsecken bilden kann) hat, dann kann man sich fragen, welche Formen mit 28 Elementarsechsecken man daraus legen kann. Eine Möglichkeit ist ein Parallelogramm mit den Seitenlängen 7x4.
Schwierigkeit: Dies ist ein schönes Geduldspiel für Anfänger. Es gibt neun verschiedene Lösungen, auf Grund der geringen Anzahl von Steinen ist schnell eine gefunden. Die ungewöhnliche Symmetrie des Sechseck-Rasters fordert das geometrische Vorstellungsverhältnis trotzdem heraus.
Verschiedene Typen von Aufgaben:
Vollständig gefüllte Rechtecke und Parallelogramme
Regelmäßige Figuren mit wenigen Löchern
Andere, möglichst symmetrische Figuren.
Eine geschlossene Figur mit möglichst großer unbedeckter Fläche im Inneren
Figuren mit möglichst vielen Löchern (bestehend aus je einem Elementarsechseck)
Das Foto zeigt eine Figur mit fünf Löchern. Finden Sie eine Figur mit sechs Löchern?
DIY-Tipp: Wir können uns die nötigen Steine natürlich auch selber basteln: eine Vorlage auf Papier oder Pappe ausdrucken oder mittels 3D-gedruckt aus einer Vorlage von Thingiverse)
Es gibt
drei verschiedene Trihexen und sieben verschiedene Tetrahexen. Diese bestehen insgesamt aus 30 Elementarsechsecken. Aus diesen 37
Elementarsechsecken lässt sich wiederum ein Sechseck mit Seitenlänge vier
bilden. Und dieses kann mit den zehn vorgegebenen Steinen gefüllt werden.
Schwierigkeit: Nicht allzu schwer, da mit den drei Trihexen auch
kleine Steine dabei sind. Wesentlich einfacher als das unterwähnte Snowflake.
Mehr Aufgaben: Das Einlegeblatt in der Verpackung enthält einige mehr Formen, die mit den Teilen gelegt werden können.
Verpackung: Originell ist die Verpackung eines solchen Geduldspiels in
einer gewöhnlichen CD-Hülle. Dadurch kann man das Geduldspiel auch senkrecht
lagern und die Beschriftung auf dem Rücken erleichtert das Wiederfinden.
Schade, dass sich diese Aufbewahrungsart nicht durchgesetzt hat.
Lösungshinweis: Wie schon oft ist es eine gute Idee, zuerst die größeren Tetrahexen in den Rahmen zu packen, ohne dass kleine Löcher bleiben. Am Ende hat man gute Chancen, den verbleibenden Platz mit Trihexen zu füllen.
Hersteller: Pentangle, Reihe Compact Puzzlers und andere
Historisches: Diese Menge von Tri- un Tetrahexen wurde 1967 durch Martin Gardner durch seine Kolumne im Scienific American populär, im Deutschen durch das Buch [1]. Unter dem Namen Snowflake entstanden hölzerne Geduldspiele von Stewart Coffin ca. 1973 (Nummer: STC 3), allerdings mit leicht veränderter Grundfigur.
3D-Druck: Auf Thingiverse finden Sie eine Vorlage zum 3D-Druck unter dem Namen Tetrahex-Puzzle.
Mehr Informationen:
[1] Martin Gardner: Mathematische Hexereien, Kapitel 11. Ullstein-Verlag 1988.
Dies ist ein Plastikpuzzle aus der Reihe Beat the Computer: Geometrisch geformte Bausteine sollen in einem Rahmen mit transparentem Deckel untergebracht werden.
Aus jeweils fünf Elementarsechsecken lassen sich 22 verschiedene Bausteine, sogenannte Polyhexe, erzeugen. Welche Formen lassen sich daraus bilden? Die Menge solcher Formen ist groß (siehe unten), und für das Geduldspiel Beat the Computer No. 22 wurde folgendermaßen vorgegangen: Die Bausteine wurden in zwei gleich große Teilmengen von 11 Bausteinen zerlegt (hier rote und gelbe Steine, es gibt aber auch andere Farbkombinationen).
Aus jeder Teilmenge lässt sich ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge 10 legen, und beide Dreiecke passen nebeneinander in den mitgelieferten Rahmen in Parallelogrammform.
Zusatzaufgabe: Es gibt noch eine wesentlich verschiedene Lösung, bei der das Parallelogramm in zwei kongruente Teile zerfällt und welches in den gleichen Rahmen passt, nämlich in zwei übereinanderliegende Parallelogramme der Größe 5x11.
Schwierigkeit: Sehr schwierig auf Grund der großen Zahl von Teilen und der gewöhnungsbedürftigen Symmetrie der Sechseckformen. Auch noch schwierig, wenn man ohne Berücksichtigung der Farbe die Bausteine irgendwie in den Rahmen einordnen will. Die Zerlegung der Bausteine in zwei Teilmengen schafft zwei zusätzliche Aufgaben, die entsprechenden kleineren Teile einzeln zu legen. Es stellt sich die Frage, ob diese Zerlegung der großen Aufgabe in zwei kleine Aufgaben das Geduldspiel einfacher oder schwieriger macht. Was meinen Sie?
Der PolySolver findet knapp 500.000 Lösungen innerhalb von 2 Stunden, aber dadurch ist er der Gesamtzahl an Lösungen noch nicht einmal nahe gekommen. Bei all diesen Lösungen befinden sich sieben der 22 Steine immer an derselben, festen Position. Mit diesen Steinen an anderen Positionen sollte es noch viele Millionen (oder gar Milliarden?) Lösungen geben.
Mit diesen 22 Pentahexen mit insgesamt 110 Elementarsechsecken lassen sich noch viele andere Formen legen. Viele Anregungen sin in den Quellen [1] und [2] unten zu finden.
Eine lackierte Holzkugel wurde durch verzahnte Schnitte in insgesamt 12 Teile zerlegt. Dabei zerlegen drei Schnitte wie auf dem Foto sichtbar die Kugel zunächst in vier Schichten. Senkrecht dazu verlaufen weitere zwei Schnitte.
Leider ist die Verpackung in einem schlechten Zustand, so dass die Herkunft des Geduldspiels nicht ganz klar ist.
Historisches: Das "Zerlegbare Geduldspiel" scheint aus Deutschland zu sein, da die erste Beschriftung in deutscher Sprache ist und mit dem Kürze D.R.G.M.a. (Deutsches Reichsgebrauchsmuster angemeldet) versehen. Solche Holzkugeln wurden ca. 1900-1920 von Herstellern von Bandsägen gefertigt, um die Leistungsfähigkeit ihrer Maschinen zu demonstrieren. Entsprechende Kugeln aus England finden sich im Puzzle-Museum [1].
Dieses Geduldspiel demonstriert den Zusammenhang zwischen dem Zigzag-Block und der zerlegbaren Kugel: Wir können uns vorstellen, den Zigzag-Block so weit zu kürzen, dass nur ein Würfel übrig bleibt. Damit die Teile dennoch zusammenhalten, benötigen wir möglicherweise stark geschwungene Schnitte.
Die Situation ist weiter wie bei Zigzag, auf zwei Seiten sehen wir ein rechteckiges Raster (hier 3x3), auf den verbleibenden Seiten die geschwungenen Schnitte.
Mit einer Seitenlänge von rund 3cm ist der Würfel zwar nicht groß, aber auf Grund seiner dunkleren Mittelschicht sehr dekorativ.
Schwierigkeit: Einfach und angenehm. Durch die parallelen Sägeschnitte lassen sich die einzelnen Schichten gut verschieben. Und die Lage der einzelnen Teile zu ermitteln bedeutet auch keine Schwierigkeit.
Wenn wir uns jetzt noch vorstellen, dass wir die Ecken und Kanten des Würfels so weit abschleifen, bis wir eine Kugel erhalten, dann könnte es auch eine Variante des Geduldspiels in Kugelform geben. Und auf diese Idee ist man auch schon vor mehr als 100 Jahren gekommen und hat die zerlegbare Kugel geschaffen.
Calvin's Star Cube ist ein weiterer modifizierter Rubik-Würfel der Größe 3x3x3. Wir haben schon andere Modifikationen betrachtet, bei denen die Grundfläche des Würfels leicht verändert wurde, und dann ein dreietagiges Prisma darüber erzeugt wurde. Zusätzlich wird der übliche Mechanismus des 3x3x3-Würfels verwendet.
Wenn wir die acht hervorstehenden dreieckigen Säulen an den Seiten abschneiden, erhalten wir genau Rubiks Barrel. Aber wir können auch jeweils die Hälfte der quadratischen Ecksäulen abschneiden, dann erhalten wir eine andere bekannte Variante, nämlich den 3x3x3-Fisher-Cube.
Schwierigkeit: Identisch zum 3x3x3-Rubik-Würfel
Design: Tony Fisher Hersteller: Calvin's Puzzle und andere Erscheinungsjahr: 1980er
Bei Störtebekers Gürtelschnalle handelt es sich um eine dreietagige Holzscheibe. Die drei Teile hängen scheinbar unlösbar zusammen. Dieses Gebilde soll zerlegt und anschließend wieder zusammengefügt werden. Von oben und unten erkennt man jeweils drei Segmente zu je 120 Grad, an den Seiten sieht man stufenförmige Verbindungen an den einzelnen Teilen. Nach längerer Aufbewahrung haben sich die Teile leicht verzogen, dies schränkt die Funktionalität aber nicht ein.
Schwierigkeit: Angenehm schwierig. Auch wenn man von außen die Struktur der drei Teile erkennt oder wenigstens vermuten kann, lässt sich das Geduldspiel nicht einfach so lösen. Und wenn Sie die drei Teile einzeln vor sich liegen haben, ist es auch nicht einfach, sie wieder zusammenzufügen. Natürlich lassen sich zwei der drei Teile problemlos zusammenstecken, aber dann passt das dritte Teil nicht mehr hinein. Falls sie den notwendigen Trick kennen, weil er Ihnen schon bei einem anderen Geduldspiel begegnet ist, dann sollte das Geduldspiel für Sie kein Problem darstellen.
Ähnliche Geduldspiele: Schon die Beschreibung vom Herz im Herz klingt ähnlich: Mehrere Schichten und 120-Grad-Segmente.
Design: klassisch Hersteller und Artikelnummer: Bartl 2289
