Das Problem von Heesch

Der deutsche Mathematiker Heinrich Heesch (1906-1995) interessierte sich für folgendes Parkettierungsproblem. Möglichst viele Exemplare einer einzigen Figur sollen folgendermaßen angeordnet werden: Man beginnt in der Mitte mit einem dieser Steine. Darum herum soll ein lückenloser Ring aus den gleichen Steinen gelegt werden. Jeder solche Stein soll den Ausgangsstein (zumindest in einer Ecke) berühren. Dabei dürfen sich die Steine nicht überlappen und es darf keine Lücke bleiben. Allerdings dürfen die Steine gedreht und gewendet werden. Solch ein Ring wird auch als Corona bezeichnet. Allgemein betrachtet ist der Stein in der Mitte seine eigene Corona nullter Ordnung. Die Steine der Corona (n+1)ter Ordnung umschließen die Corona n-ter Ordnung vollständig und lückenlos, wobei jeder Stein die Corona n-ter Ordnung berührt.

Wieviele solche Corona-Ringe lassen sich um den mittleren Stein legen? Die Maximalzahl der möglichen solchen Ringe wird als Heesch-Zahl der Figur bezeichnet. Viele Figuren haben die Heesch-Zahl null. Ein Beispiel dafür ist eine Kreisscheibe, um die herum man zwar sechs weitere Kreise legen kann, aber es bleiben Lücken im Inneren des Gebildes, die man nicht schließen kann. Das andere Extrem ist die Heesch-Zahl unendlich, beispielsweise für ein Quadrat. Hier lassen sich ganz einfach immer weitere Ringe bilden.

Die interessanten Fälle sind Figuren mit Heesch-Zahlen zwischen null und unendlich. Zunächst ist nicht einmal klar, ob es so etwas gibt und welche Heesch-Zahlen möglich sind. Einige Mathematiker vermuten, dass jede natürliche Zahl als Heesch-Zahl möglich ist. Aber dies ist noch nicht bewiesen und auch nur für die Zahlen von eins bis sechs sind Figuren mit den entsprechenden Heesch-Zahlen bekannt. 

Die folgende Figur mit Heesch-Zahl 1 stammt von Walter Lietzmann [1]. Es gibt also nur eine Corona.

Bildquelle: [1]

Die Figur mit Heesch-Zahl 2 stammt von Anne Fontaine [1].

Bildquelle: [1]

Einige dieser Figuren sind interessant, weil sie sich auf recht verschiedene Arten aneinanderlegen lassen und sich deshalb für Geduldspiele anbieten. 

Mehr Infos:

[1] Wikipedia