Eternity: Delta Puzzle

Das Delta-Puzzle ist eines der drei kleinen Puzzles aus der Eternity-Reihe. Diese kleineren und einfacheren Puzzle sollten das Interesse für das große Eternity-Puzzle wecken. Zusätzlich gab es eine Hilfestellung für das große Eternity-Puzzle: Wer eine korrekte Lösung des Delta-Puzzles einschickte, erhielt einen Lösungshinweis für das große Eternity-Puzzle [1].

Die 14 verschiedenen Steine bestehen aus jeweils vier gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken wie sie beim Zerschneiden eines Quadrates entlang beider Diagonalen entstehen. Es handelt sich um sogenannte Tetratans. Insgesamt gibt es 14 verschiedene Tetratans, diese werden hier alle verwendet. Dementsprechend liegt dem Puzzle ein Quadratgitter zugrunde, bei welchem die Quadrate entlang ihrer Diagonalen weiter zerteilt wurden. 

Dazu gibt es am Boden des Kartons einen Rahmen in Form eines Dreiecks mit abgeschnittenen Ecken, der mit den Steinen vollständig gefüllt werden soll. Hier im Beispiel ist dies nicht vollständig gelungen.

Schwierigkeit: Schwer, wegen der unüblichen halbierten Quadrate. Aber nicht zu schwer, man bringt relativ schnell alle bis auf einen Stein im Rahmen unter. Mit großem Glück lassen sich auch gleich alle 14 Steine einfügen. Von der Größe und der Schwierigkeit vergleichbar mit Pentominos. Für das Delta-Puzzle gibt es 747 verschiedene Lösungen [2].

PolySolver-Info: Wenn Sie dass Puzzle durch den Computer mit dem PolySolver lösen lassen wollen, müssen Sie das Gitter auf Tan einstellen.

Weitere Aufgaben: Für die 14 Tetratans gibt es weitere Aufgaben, z.B. in [3] und [4].

Design: Christopher Monckton
Hersteller:  Ertl Europe Company

Erscheinungsjahr: 1998

Google: Eternity Delta Puzzle
Shopping: Selten gebraucht lieferbar.

Mehr Infos:

[1] https://www.mathpuzzle.com/ETchris.htm

[2] https://www.vicher.cz/puzzle/smpuzzle/smpuzz.htm

[3] https://www.vicher.cz/puzzle/polyform/tan/tan.htm

[4] http://www.recmath.com/PolyPages/PPD/index.htm

Eternity: Meteor Puzzle

Das Meteor-Puzzle ist eines der drei kleinen Puzzles aus der Eternity-Reihe. Diese kleineren und einfacheren Puzzle sollten das Interesse für das große Eternity-Puzzle wecken. Zusätzlich gab es eine Hilfestellung für das große Eternity-Puzzle: Wer eine korrekte Lösung des Meteor-Puzzles einschickte, erhielt einen Lösungshinweis für das große Eternity-Puzzle.

Die zehn verschiedenen Steine bestehen aus jeweils fünf regelmäßigen Sechsecken, es handelt sich um sogenannte Pentahexen. Insgesamt gibt es 22 verschiedene Pentahexen, hier wurden die 10 unsymmetrischen Pentahexen ausgewählt.

Dazu gibt es am Boden des Kartons einen nahezu rechteckigen Rahmen der Größe 5x10, der mit den Steinen vollständig gefüllt werden soll. 

Schwierigkeit: Schwer, wegen der unüblichen Elementarsechsecke. Aber nicht zu schwer, man bringt relativ schnell alle bis auf einen Stein im Rahmen unter. Von der Größe und der Schwierigkeit vergleichbar mit Pentominos. Für das Meteor-Puzzle gibt es 1049 verschiedene Lösungen [2].

Lösungshinweis: ###

Design: Christopher Monckton
Hersteller:  Ertl Europe Company

Erscheinungsjahr: 1998

Google: Eternity Meteor Puzzle
Shopping: Selten gebraucht lieferbar.

Mehr Infos:

[1] https://www.vicher.cz/puzzle/polyform/hex/hex.htm

[2] https://www.vicher.cz/puzzle/smpuzzle/smpuzz.htm

[3] https://www.mathpuzzle.com/ETchris.htm

Aufgaben für Hexominos (Nr. 1-10)

Es gibt 35 verschiedene Hexominos, die aus insgesamt 210 Elementarquadraten bestehen. Mit diesen Steinen kann man kein Rechteck komplett füllen (siehe den Post Hexominos), aber viele andere Formen sind möglich.

Schwierigkeit: Für ambitionierte Puzzler sind diese Geduldspiele von Hand lösbar. Es gibt jeweils sehr viele verschiedene Lösungen. Hier soll jeweils eine Lösung angegeben werden, da es praktisch unmöglich ist, sich eine solche Lösung schnell einzuprägen. Man wird also automatisch nach einer anderen Lösung suchen.

3D-Druck: Ein Satz Hexominos lässt sich mit 3D-Druck herstellen: Im Post Pentominos und Hexominos in Box finden Sie die Links zur Sammlung zum Blog auf Thingiverse sowie zu Printables.

Lösung mit Computer: Die hier vorgestellten Aufgaben bieten auch für die üblichen Lösungsprogramme keine Schwierigkeiten. PolySolver, mops.exe und Polycube [1] benötigen für die Aufgaben (in den Standard-Einstellungen) maximal einige Sekunden, manchmal auch viel weniger. Die hier gezeigten Lösungen wurden mit mit Polycube Vers. 1.2.1 ermittelt, dazu wurde die Standard-Kommandozeile

polycube.exe -V -p -- Eingabedatei > Ausgabedatei

verwendet. Von den vielen weiteren möglichen Parametern wurde kein Gebrauch gemacht. Das werden wir erst tun, wenn die Standardeinstellungen nicht mehr ausreichen, um eine Lösung zu finden.

Die Struktur der Eingabedatei ist einfach, Beispiele gibt es zusammen mit dem Programm bei [1].

Viele der unten gefüllten Rahmen sind (mit anderen Lösungen) bereits länger bekannt und finden sich bei [2] (Nr. 1, 2, 3, 8) und [3] (Nr. 5, 6, 7).

Mehr Infos:

[1] www.mattbusche.org
[2] http://recmath.com/PolyPages/PolyPages/index.htm?hexopatts.htm
[3] https://polyominoes.blogspot.com/search/label/hexominoes

Aufgabe 1: Rechteck 11x19 plus ein Zusatzfeld an der langen Seite. 

Dies ist die Standardaufgabe für das Puzzle Beat The Computer No. 600.

Aufgabe 2: Rechteck 11x19 plus ein Zusatzfeld an der kurzen Seite. 

Eine Lösung mit dem PolySolver findet sich bei  Beat The Computer No. 600.

Ein Quadrat der Größe 15x15 ist mit einer Fläche von 225 genau 15 Elementarquadrate zu groß für die Hexominos. Wir haben verschiedenen Möglichkeiten, die 15 Elementarquadrate aus dem 15x15-Quadrat herauszuschneiden.

Aufgabe 3: Rechteck 15x15 mit Loch 3x5

Aufgabe 4: Rechteck 15x15 mit drei Löchern 1x5

Aufgabe 5: Rechteck 15x15 mit fünf Löchern 1x3

Aufgabe 6: Rechteck 15x15 mit 15 Löchern im Raster 3x5

Aufgabe 7: Rechteck 15x15 mit 15 Löchern am Rand und im Mittelpunkt

Statt Rechtecken lassen sich auch Parallelogramme mit Fläche 210 bilden. Diese lassen sich sogar vollständig füllen. Dazu muss allerdings die Grundlinie eine ungerade Länge besitzen, anderenfalls gibt es bei Schachbrettfärbung die gleiche Anzahl schwarzer und weißer Elementarquadrate, was die Aufgabe unlösbar macht.

Aufgabe 8: Parallelogramm 15x14

Aufgabe 9: Parallelogramm 21x10

Aufgabe 10: Parallelogramm 35x6

Lösungsstrategien für Polyformen 3: Mensch und Maschine gemeinsam

Im ersten Teil dieser Reihe haben wir versucht, die Steine eines Polyformpuzzles mit Hilfe einer (gefühlten oder gemessenen) Nützlichkeit zu ordnen und zuerst mit den am wenigsten nützlichsten Steinen zu beginnen. Im zweiten Teil haben wir Wege kennengelernt, die allerletzten Lücken zu füllen. Mit diesen zwei Methoden kann man wirklich extrem große Polyomino-Puzzles lösen, wie die folgende fast übermenschliche Leistung zeigt: Auf [1] finden Sie ganz unten eine Lösung, wie man die 1285 verschiedenen Enneominos (bestehend aus jeweils 9 Elementarquadraten) zusammen mit 60 Löchern (in symmetrischer Anordnung) in ein Rechteck der Größe 93x125 packen kann. Der Autor Lewis Patterson löste dieses Puzzle vollständig per Hand und benötigte dazu nach eigenen Angaben zwischen 11 und 12 Stunden. Im Bild sieht man sehr schön, dass zuletzt der Bereich oben in der Mitte und oben rechts gelöst wurde, dafür wurden die besonders nützlichen Steine mit Blöcken der Größe 2x2 und 2x3 aufgehoben.

Dieses Vorgehen funktioniert, weil die Anzahl von verschiedenen Lösungen derartig groß ist, dass man am Ende mit einer akzeptablen Anzahl von Substitutionsschritten eine Lösung findet. Mit anderen Worten, wenn man das Geduldspiel beinahe fertig gelöst hat  und nur wenige Steine nicht passen (wir sprechen von einer Beinahe-Lösung), dann kann man diesen Mangel mit wenigen Veränderungen korrigieren und findet eine Lösung.

Teil 3: Mensch und Maschine gemeinsam

Wenn es für eine Aufgabe vergleichsweise weniger Lösungen gibt, dann befindet man sich mit einer Beinahe-Lösung nicht so nahe an einer vollständigen Lösung und man muss so viele Veränderungen vornehmen, dass man als Mensch überfordert ist. Dabei kann die Anzahl der Lösungen immer noch gigantisch groß sein, aber kleiner im Vergleich zu allen denkbaren Anordnungen der Steine.

Bei der Substitutionsmethode wurden nur ganz wenige Steine (1-3 Stück) entfernt und anders wieder eingefügt, um Platz für einen verbliebenen Stein zu schaffen. Wir können aber auch mehr Steine entfernen und versuchen, alle restlichen Steine passend einzufügen. Hier kann uns der Computer helfen. Wir benutzen den Computer also nur für die letzten Steine. Deren genaue Anzahl muss noch festgelegt werden, und zwar so, dass mit diesen Steinen (darunter möglichst viele nützliche Steine) fast jede Form passender Größe gefüllt werden kann. Dann sollte es doch auch für die Restfläche des Puzzles reichen.

Mit diesem Vorgehen hat man den Vorteil, dass der Computer sich nur mit wenigen Steinen beschäftigen muss, unabhängig von der Gesamtanzahl der Steine.

Für welche Polyformpuzzles ist dieser Ansatz erfolgversprechend? Sicher nicht für alle, denn wenn ein solches Polyformpuzzle nur eine einzige Lösung besitzt, kann man diese niemals durch Umlegen weniger Steine aus einer Beinahe-Lösung erzeugen. Dann müssen im typischen Fall alle Steine an eine andere Position gebracht werden. 

Ein Beispiel von Livio Zucca [2] ist der quadratische Rahmen der Größe 210x210, gefüllt mit 4410 Decominos (aus je 10 Elementarquadraten) ohne Löcher. Es gibt insgesamt 4655 verschiedene Decominos, davon haben 4460 Decominos keine Löcher [3]. Es wurden also nicht alle Decominos verwendet. Wieder sieht man viele der nützlicheren Decominos in der rechten unteren Ecke. Wie üblich wurden die Decominos nach Nützlichkeit sortiert und dann in dieser Reihenfolge (die nützlichsten zuletzt) in den Rahmen von links oben nach rechts unten eingefügt. Wenn das Programm in einer Sackgasse landete, wurden manuell einiger der Steine anders positioniert und das Programm versuchte dann, mit dieser Hilfe eine Lösung zu finden. Nach einigen Dutzend solcher Versuche wurde die Lösung gefunden.

Ein zweites Beispiel stammt wieder von Lewis Patterson: Die 369 Oktominos sollen in neun Rechtecke der Größe 9x37 gepackt werden. Dabei befinden sich in jedem der neun Rechtecke 41 Oktominos und fünf Elementarquadrate bleiben frei. Diese freien Felder sollen sich wie im Bild in der Mitte jedes Rechtecks an der gleichen Stelle befinden. 

Chris Patterson beschreibt seinen Lösungsvorgang in [4] so: Er konnte acht der neun Rechtecke per Hand füllen und war sich relativ sicher, dass sich mit den verbleibenden Steinen das letzte Rechteck füllen lässt. Allerdings gelang dies nicht per Hand und er bat die Community um Hilfe. Patrick Hamlyn gelang es schließlich mit Hilfe seines Computerprogramms, auch das letzte Rechteck zu füllen. Bevor dies aber gelungen war, scheiterte das Programm rund 866.000 mal mit entsprechend vielen Beinahe-Lösungen, bei denen jeweils 40 der 41 verbliebenen Oktominos in den Rahmen gepackt wurden. Hier war die Entscheidung, den Computer zu Hilfe zu nehmen, offensichtlich angebracht.

Mehr Quellen

[1] https://polyominoes.blogspot.com/2025/02/enneominoes-revisited.html 

[2] https://www.iread.it/squa_pol_1.php

[3] https://mathworld.wolfram.com/Polyomino.html

[4] https://polyominoes.blogspot.com/2021/07/nine-9x37-rectangles-with-octominoes.html

Magic Dart 2x2

Dieses Drehpuzzle erinnert an den Zweilagigen Puck: Wieder gibt es 12 Segmente in zwei Etagen. Die beiden Etagen sind verdrehbar, und im Zentrum gibt es noch eine drehbare grüne Scheibe, welche die Drehrichtung für das Vertauschen der oberen mit der unteren Schicht bestimmt. Technisch gesehen verkompliziert sich durch die grüne Scheibe nichts, da sie immer an die gewünschte Position gedreht werden kann.

Nach wenigen Verdrehungen herrscht völliges Durcheinander und alle Teile sollen wieder an ihren Platz gebracht werden. Dies ist etwas einfacher als beim zweilagigen Puck, da es hier jeweils vier Randstücken der gleichen Farbe gibt und auch kein farblicher Unterschied zwischen unten und oben besteht.

Schwierigkeit: Vergleichbar mit den anderen Puck-Puzzles, etwas einfacher. Einen Algorithmus gibt es bei [1].

Hersteller:  DianSheng und andere
Erscheinungsjahr: 2002

Google: diansheng magic dart

Shopping: Lieferbar, Preis ca. 5€

Mehr Infos:

[1] https://www.jaapsch.net/puzzles/rubufo.htm

Zweilagiger Puck / 2-layered Cheese puzzle

Dieses Drehpuzzle erinnert an den Puck: Statt 12 Segmenten besitzt der Kreis hier nur sechs, dafür gibt es eine zweite Etage, die es beim Puck nicht gab. Die beiden Etagen sind auch verdrehbar, und die Unterseite hat eine andere Farbe.

Nach wenigen Verdrehungen herrscht völliges Durcheinander und alle Teile sollen wieder an ihren Platz gebracht werden. Diese Aufgabenstellung lässt sich noch verfeinern: Entweder betrachten wir das Puzzle als gelöst, wenn Ober- und Unterseite jeweils einfarbig sind und an den Seiten jeweils gleiche Farben übereinanderliegen, oder wir verlangen zusätzlich die gleiche Anordnung der Farben wie im Ausgangszustand. Da stellt sich sofort eine Zusatzfrage: Sind alle Anordnungen der Farben am Rand erreichbar oder ist wegen eines Paritätsproblems jede zweite Kombination unmöglich?

Schwierigkeit: Vergleichbar mit den anderen Puck-Puzzles. Gewöhnungsbedürftig, aber lösbar. Algorithmen gibt es bei [1] und [2].

Historisches: Ein sehr ähnliches Puzzle gab es in den 1980er Jahren in Ungarn. Diese Puzzle sind extrem selten und wertvoll.

Design:  Anthony Greenhill
Hersteller:  Calvin’s Puzzle, Dian Sheng und andere
Erscheinungsjahr: 2002

Google: 2-layered Cheese puzzle, Puck Puzzle 2Layer

Shopping: Lieferbar, Preis ca. 15€

Mehr Infos:

[1] https://ruwix.com/twisty-puzzles/rubiks-cheese/

[2] https://www.jaapsch.net/puzzles/kepkorong.htm

Triple N

Dieses Symmetrie-Puzzle besteht aus drei N-förmigen Steinen, und zwar zwei N-Pentominos sowie einem N-Tetromino (das N-Tetromino wird manchmal auch als Z-Tetromino bezeichnet).

Aus diesen drei Steinen soll eine flache symmetrische Figur gelegt werden, ohne dass die Steine sich irgendwie überlappen.

Foto von nothingyetdesigns.com mit freundlicher Genehmigung

Die Steine sind aus lasergeschnittenem Acryl.

Es gibt mehrere verschiedene Lösungen. Wie viele können Sie finden?

Schwierigkeit: Nicht ganz so schwierig, wenn Sie einen Trick gefunden haben. 

Lösungshinweise:

1. Es gibt bereits mehrere Lösungen in einem 5x5-Rahmen.

2. Nehmen Sie zunächst nur die beiden N-Pentominos und legen sie diese so, dass sich eine rotationssymmetrische Figur bildet. Falls die beiden N-Pentominos nicht unmittelbar zusammenstoßen: Können Sie das N-Tetromino zusätzlich zwischen den beiden anderen Steinen "in der Mitte" platzieren?

 

Design:  Naoyuki Iwase (Osho)
Hersteller:  NothingYet Designs

Google: Triple N symmetry puzzle

Shopping: Lieferbar, Preis ca. 5€

Three Keys / Drei Schlüssel

Dieses Symmetrie-Puzzle besteht aus drei Heptominos, deren Form jeweils an einen Schlüssel erinnert.

Aus diesen drei Heptominos soll eine flache symmetrische Figur gelegt werden, ohne dass die Steine sich irgendwie überlappen.

Foto von nothingyetdesigns.com mit freundlicher Genehmigung

Die Steine sind aus lasergeschnittenem Acryl.

Es gibt nur eine Lösung. Können Sie diese finden?

Schwierigkeit: Verblüffend schwierig. 

Lösungshinweis: Die Lösung ist rotationssymmetrisch.

 

Design:  Alexander Magyarics
Hersteller:  NothingYet Designs

Google: Three Keys symmetry puzzle

Shopping: Lieferbar, Preis ca. 5€

LLL-Symmetriepuzzle / L of a puzzle

Aus drei identischen L-Tetrominos soll eine symmetrische Figur gelegt werden. Dabei müssen alle drei Steine verwendet werden, und sie sollen flach auf dem Tisch liegen und sich nicht überlappen. 

Dabei sollen die Kanten der Tetrominos alle senkrecht oder waagerecht verlaufen, nicht "irgendwie schräg" wie im Bild oben.

Es wird nicht verraten, um welche Art von Symmetrie es sich handelt oder ob eine Symmetrieachse parallel oder schräg zu anderen Kanten verläuft. Finden Sie zwei verschiedene Lösungen!

Schwierigkeit: Dies ist ein vergleichsweise einfaches Symmetriepuzzle, da die Lösungsfiguren nur aus 12 Elementarquadraten bestehen. Der englische Name L of a puzzle klingt akustisch so ähnlich wie Hell of a puzzle (höllisch schwieriges Puzzle), aber dies ist eher ein Wortspiel als eine Beschreibung der Schwierigkeit.

Zusatzaufgabe: Wenn die Tetrominos auch "irgendwie schräg" liegen dürfen, wie viele zusätzliche Lösungen finden Sie dann?

Lösungshinweis: Es gibt zwei wesentlich verschiedene Lösungen, die Symmetrieachse verläuft jeweils schräg zu den Kanten der L-Tetrominos.

 

DIY-Tipp: Sie können sich die aus jeweils vier Elementarquadraten bestehenden L-Tetrominos aus kariertem Papier oder Pappe ausschneiden. Schöner sind 3D-gedruckte L-Tetrominos. Zahlreiche Vorlagen findet man bei Thingiverse oder Printables.

Mehr Infos: Das Puzzle erschien 2022 im New Scientist. Auf Spektrum.de gibt es in der Sammlung Hemmes mathematische Rätsel auch dieses Symmetriepuzzle.

PPP-Symmetriepuzzle

Aus drei identischen P-Pentominos soll eine symmetrische Figur gelegt werden. Dabei sollen alle drei Steine verwendet werden, und sie sollen flach auf dem Tisch liegen und sich nicht überlappen. 

Dabei sollen die Kanten der Pentominos alle senkrecht oder waagerecht verlaufen, nicht "irgendwie schräg" wie im Bild oben.

Es wird nicht verraten, um welche Art von Symmetrie es sich handelt oder ob eine Symmetrieachse parallel oder schräg zu anderen Kanten verläuft. Finden Sie fünf verschiedene Lösungen!

Schwierigkeit: Dies ist ein vergleichsweise einfaches Symmetriepuzzle. Zumindest eine der Lösungen ist recht einfach zu finden.

Zusatzaufgabe: Wenn die Pentominos auch "irgendwie schräg" liegen dürfen, wie viele zusätzliche Lösungen finden Sie dann?

Lösungshinweis: Alle Lösungen sind spiegelsymmetrisch. Es gibt drei wesentlich verschiedene Lösungen, zu zwei der Lösungen gibt es jeweils noch eine leicht abgewandelte Variante, bei der jeweils ein Stein seine Lage ändert.

 

DIY-Tipp: Sie können sich die aus jeweils fünf Elementarquadraten bestehenden P-Pentominos aus kariertem Papier oder Pappe ausschneiden. Schöner sind 3D-gedruckte P-Pentominos. Zahlreiche Vorlagen findet man bei Thingiverse oder Printables.

Mehr Infos: Auf Spektrum.de gibt es in der Sammlung Hemmes mathematische Rätsel auch dieses Symmetriepuzzle.

Kettenpuzzle

Das Puzzle hat die Form eines quadratischen Turms mit vier Etagen. Auf den vier Seiten sind halbe Kettenglieder in den Farben  Rot, Gelb, Grün und Weiß abgebildet, auf den mittleren Etagen hängen je zwei Kettenglieder ineinander. 

Eine Ausnahme ist die weiße Kette: Sie ist um eine Etage kürzer, so dass eine Leerstelle bleibt und man die anderen Glieder nach oben schieben kann. Außerdem lässt sich der Turm zwischen den oberen beiden Etagen sowie zwischen den unteren beiden Etagen verdrehen. Damit lassen sich die die Seitenteile des Turms sowohl horizontal wie auch Vertikal bewegen. Nach einigen solchen Bewegungen sind die Seitenteile durcheinandergebracht und die Situation wird unübersichtlich. 

Die Aufgabe besteht darin, den Ausgangszustand wieder herzustellen. 

Ähnlichkeit zu anderen Geduldspielen: Die größte konzeptionelle Ähnlichkeit besteht zum Babylon Tower. Das Kettenpuzzle besteht zwar aus weniger Teilen: Vier statt sechs Spalten und vier statt sechs Etagen. In beiden Fällen gibt es neben den Farben noch eine Unterscheidung zwischen oben und unten.

Schwierigkeit: Vom Algorithmus her nicht schwierig, wenn man den Babylon Tower oder Whip it kennt. Die Mechanik des vorliegenden Kettenpuzzles ist leider etwas schwergängig.

Algorithmus: Das Kettenpuzzle kann wie üblich Spaltenweise gelöst werden. Einfacher und schneller geht es aber, zunächst die obere Hälfte und dann die untere Hälfte zu lösen. Einen ausführlichen Algorithmus gibt es bei [1]. 

Design:  Steven P. Hanson und Jeffrey D. Breslow
Hersteller:  Arxon und andere
Erscheinungsjahr: 1983

Google: missing link puzzle

Shopping: Neu oder gebraucht lieferbar, Preis 10-30€

Mehr Infos:

[1] https://www.jaapsch.net/puzzles/missing.htm