Welt der Geduldspiele: Drachen und Dominos / Kites and Bricks

6.5.26

Drachen und Dominos / Kites and Bricks

Wir beginnen mit einem 1x2-Rechteck, hier Domino genannt, und schneiden es entlang einer Diagonale durch. Wenn man eines der Teile wendet und beide Teile entlang der Diagonale wieder zusammenklebt, enthält man ein Drachenviereck, kurz einen Drachen.

Mit mehreren solchen Drachen und Dominos soll hier gearbeitet werden. Unsere Aufgabe besteht darin, Rechtecke einer Größe mxn mit Steinen beider Typen vollständig zu füllen. Kann das klappen? Und um es schwieriger noch zu machen, sollen möglichst viele Drachen und wenige Dominos verwendet werden.

Wir beginnen ganz einfach: Wenn wir ausschließlich Dominos verwenden, können wir ein mxn-Rechteck genau dann damit füllen, wenn mindestens eine der Seiten eine geradzahlige Länge besitzt. Anderenfalls wäre die Gesamtfläche ungerade und lässt sich deshalb nicht vollständig mit Dominos der Fläche 2 füllen. Das gleiche gilt für die Füllung mit Dominos und Drachen, da beide die gleiche Fläche von 2 haben. Für die Füllung welcher dieser Rechtecke lassen sich auch Drachen verwenden? Hier das einfachste Beispiel mit Drachen, es hat die Größe 4x5:

Das Ergebnis ist optisch wie auch mathematisch verblüffend: Die zwei Dominos im Zentrum liegen schräg, ihre Seiten sind also nicht parallel zu einer Außenseite. Aber hier passiert noch mehr: Die Drachen bilden einen Ring um die inneren beiden Steine, sie sind wie aufgefädelt. Genauer gesagt ist der spitze Winkel eines Drachen immer verbunden mit dem stumpfen Winkel seines Nachbarn. Diese Verbindung ist scheinbar beweglich, manchmal haben beide Drachen die gleiche Orientierung, manchmal ist der zweite Drachen um 90 Grad gedreht. Mehr über Drachenringe gibt es bei [2].

Wie ist die Situation bei größeren Rechtecken? Hier eine Lösung für die Größe 6x6.