Eine Box der Größe 7x7x13 gefüllt mit 78 Steinen 1x2x4 und 13 Löchern

Wie viele 1x2x4-Klötzer lassen sich in eine Box der Größe 7x7x13 packen? Vom Volumen her könnten 79 Klötzer hineinpassen und noch 5 Elementarwürfel frei bleiben. Könnte das klappen? Nach kurzem Nachdenken können wir die Idee verwerfen: In unserer Box muss in jeder Schicht der Höhe 1 mindestens ein Elementarwürfel frei bleiben, da unabhängig von seiner Lage ein Klotz immer eine gerade Anzahl von Elementarwürfeln pro Schicht belegt.

Bei einer Höhe von 13 bleiben also mindestens 13 Elementarwürfel frei und wir können maximal (7*7*13-13) / 8 = 78 Klötzer einpacken. Ob uns das gelingt?

Die Antwort ist ja, und wir wollen hier auch eine Lösung zeigen, die schon mindestens seit 1992 bekannt ist [1]. Aber vorher noch eine Bemerkung: In vielen Fällen, wie z.B. in der 7x7x7-Box müssen mehr Elementarwürfel frei bleiben als es die größte Seitenlänge verlangt. Dass in unserer Aufgabe wirklich nur 13 Elementarwürfel frei bleiben, ist also ein erfreulicher Spezialfall, der uns die Lösung besonders schwer macht.

Hier eine der möglichen Lösungen, die 13 Lücken wurden hier mit blauen Elementarwürfeln gefüllt. 

Die folgenden Fotos zeigen den schrittweisen Aufbau. Im ersten Bild ist links die unterste Schicht abgebildet, rechts die daraufzulegende zweite Schicht.

Bei den folgenden Bildern wurden links jeweils die beiden Teile aus dem darüberstehenden Bild aufeinandergelegt und rechts wird die nächste Schicht gezeigt.

Hier folgt rechts die ganz oben aufzulegende letzte Schicht.

Es bleibt die Frage, wie man eine solche Lösung findet. Es gibt sicher sehr viele verschiedene Lösungen, trotzdem sind sie nicht einfach zu finden. Auch der Computer wird wegen der großen Anzahl von Steinen schnell überfordert, zumindest der PolySolver findet in annehmbarer Zeit keine Lösung.

DIY-Tipp: Man kann die Bauklötzer im Internet direkt bestellen. Achten Sie auf das Seitenverhältnis 1:2:4. Vielleicht werden Sie auch bei Ihren Kindern fündig. Alternativ ist auch 3D-Druck möglich.

Mehr Infos: 

[1] F.W. Barnes: How many 1×2×4 bricks can you get into an odd box?. Discrete Mathematics Vol. 133, Pages 55-78, Elsevier 1994