Würfelschlangen (Übersicht)

Sie heißen Würfelschlangen oder Schlangenwürfel: Mehrere Elementarwürfel sind aufgefädelt (dies ist die Würfelschlange) und diese Schlange soll zu einem großen Würfel zusammengefaltet werden (dies ist der Schlangenwürfel). Wir werden beide Namen synonym verwenden.

Es gibt übrigens auch Würfelschlangen mit anderen Mechanismen wie bei dem gelben und bei dem roten Würfel rechts im Bild, aber diese sollen erst später betrachtet werden.

Wir wollen zunächst die am weitesten verbreitete Form der Würfelschlangen betrachten: Die Löcher für die Fädelschnur befinden sich immer auf zwei Seitenmitten der Elementarwürfel. Und zwar entweder gegenüber oder an benachbarten Seiten. Im ersten Fall verläuft die Fädelschnur gerade durch den Elementarwürfel, solche Würfel sollen gerade Würfel heißen. Im zweiten Fall geht der Faden sozusagen „um die Kurve“ und wir sprechen von Kurvenwürfeln. Eine Drehung eines Kurvenwürfels um 90 Grad verändert einen Richtungswechsel der Fädelschnur in eine andere Zielrichtung. Deshalb kann man an diesen Würfeln die Form der Schlange ändern und sie hoffentlich entsprechend der Aufgabe des Geduldspiels zusammenfalten. Bei manchen Puzzles sind die Elementarwürfel abwechselnd in zwei Farben gefärbt. Dies ergibt ein dekoratives Schachbrettmuster auf dem fertigen großen Würfel, hat aber auf die Lösung des Geduldspiels keinerlei Einfluss.

Frage: Wieso ergibt sich immer automatisch ein Schachbrettmuster, wenn eine solche zweifarbige Kette zu einem Würfel zusammengefaltet wird (unter der Annahme, dass dies möglich ist)? Wieso entsteht niemals farbliches Durcheinander?

3x3x3-Würfelschlangen mit Schachbrettmuster

Die Schlange für einen 3x3x3-Würfel besteht aus 27 Elementarwürfeln. Von einer Farbe muss es einen Würfel mehr geben als von der anderen Farbe. Dies ist automatisch die Farbe der Eckwürfel. Oder anders ausgedrückt: Die zusammengefaltete Würfelschlange hat Ihre Enden niemals an Kantenmitten. Auch können niemals zwei gerade Würfel aufeinander folgen, da sonst in der Würfelschlange ein gerader Abschnitt aus vier Elementarwürfeln entsteht, der länger als die Seitenlänge des Zielwürfels ist. Allerdings können mehrere Kurvenwürfel hintereinander auftreten. Es gibt deshalb viele verschiedene Würfelschlangen und es lohnt sich, wie bei [1] etwas Übersicht zu gewinnen.

Schwierigkeit: Würfelschlangen sehen einfach aus, sind es aber nicht. Immer möglich ist das algorithmische Vorgehen, indem man sich alle Möglichkeiten in einem Graphen verzeichnet und diesen systematisch mit Backtracking durchläuft. Im Allgemeinen sind Würfelschlangen mit weniger geraden Würfeln schwieriger, da es mehr Biegungen und damit mehr Möglichkeiten gibt.

Lösungshinweis 1: Wenn man mit einem Ende der Würfelschlange beginnt, sollte man das „richtige“ Ende nehmen. Manchmal führt eines der Enden wesentlich schneller zum Ziel. Bei Palindromen [sieht die Würfelschlange von beiden Seiten gleich aus wie z.B. Cubra Purple) nützt diese Hinweis leider nichts.

Lösungshinweis 2: Man kann auch irgendwo in der Mitte anfangen, die Würfelschlange zu falten. Hier ist es sinnvoll, sich die Umgebungen der geraden Würfel anzuschauen: Dazu gehören immer gerade Abschnitte der Länge drei, die nicht beliebig durch den großen Würfel laufen können.

Lösungsalgorithmus für Menschen: Natürlich kann der Computer mit einem entsprechenden Programm helfen, aber darauf soll hier nicht eingegangen werden. In [2] wird ein Lösungsalgorithmus vorgeschlagen, der eher für Menschen als für Computer gemacht ist. Verwendet wird wieder einmal Backtracking, aber auf eine sehr übersichtliche Weise. Beschrieben ist er für Cubra blue, im allgemeinen Fall muss man zwei verschiedene Startpunkte im 3x3x3-Würfel durchprobieren, eine Ecke und eine Seitenmitte.

Theorie der 3x3x3-Würfelschlangen

Zunächst wollen wir uns eine Übersicht über die Würfelschlangen verschaffen, um wirklich verschiedene Würfelschlangen zu identifizieren. Wir wollen eine formale und eine visuelle Methode verwenden.

Beschreibung durch eine Symbolfolge: Jede Würfelschlange besteht aus einem Anfangswürfel (bezeichnet mit #), danach folgen 25 weitere Würfel, und zwar gerade Würfel (bezeichnet mit 0) bzw. Kurvenwürfel (bezeichnet mit 1), und zum Schluss noch ein Endwürfel (wieder bezeichnet mit #). Man erhält eine Symbolfolge der Art #0101010111101011101101110#. Da die Doppelkreuze vorn und hinten stets Bestandteil der Symbolfolge sind, kann man sie auch weglassen, was wir ab jetzt tun wollen. Es bleibt eine Folge von Nullen und Einsen der Länge 25. Nun kann man bei der Würfelschlange den Anfang nicht vom Ende unterscheiden, deshalb beschreibt eine rückwärts gelesene Symbolfolge (hier: 0111011011101011110101010) dieselbe Würfelschlange und damit dasselbe Geduldspiel. Zur Identifikation des Geduldspiels wollen wir immer die kleinere der beiden Zahlen wählen. Verschiedene Zahlenfolgen entsprechen also verschiedenen Würfelschlangen, wobei wir noch nicht wissen, welche davon sich zu einem Würfel zusammenfalten lassen. Die oben genannte Bedingung, dass nicht zwei gerade Würfel aufeinander treffen dürfen, bedeutet für die Zahlenfolge, dass keine Ziffernfolge „00“ enthalten sein darf. Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend.

Laut [3] gibt es 11487 verschiedene Würfelschlangen, die sich zu einem Würfel zusammenfalten lassen. Von denen besitzen 3658 jeweils nur eine Lösung .

Um Würfelschlangen optisch wiederzuerkennen gibt es die folgende visuelle Methode: Die Würfelschlage wird auseinandergefaltet, so dass man sie flach auf den Tisch legen kann und eine Zickzack-Linie entsteht. Dazu müssen die Kurvenwürfel abwechselnd als Links- und Rechtskurven gelegt werden. Dabei soll die Zickzack-Linie mit einem aufsteigenden Teil beginnen und enden. Die am häufigsten vorkommende Würfelschlange mit der Zahlenfolge #0101010111101011101101110# ergibt folgendes Bild:

Bekannte 3x3x3-Würfelschlangen

Trotz der großen Zahl von 11487 verschiedenen Würfelschlangen sind im Handel nur ganz wenige verschiedene Exemplare erhältlich. In den meisten Fällen handelt es sich um „Cubra blue“. In der Cubra-Serie gibt es insgesamt fünf verschiedene Schlangenwürfel. Außerdem gibt es die Snake Cube Level Box, die neben den Cubra-Würfeln eine zusätzliche Würfelschlange enthält.

Name	Symbolfolge	Lösungen
Cubra Green	0101011010101111011011010	10
Cubra Blue	0101010111101011101101110	1
Cubra Red	0111111111011111110101111	1
Cubra Orange	0101111011111111011101110	1
Cubra Purple (Palindrom!)	1111010111111111110101111	6
Kev's Cubes (9B)	0111010111111111111101011	1
Level Box Rot	0111101101111101101111110	1

Mehr „schöne“ Würfelschlagen werden bei [1] und [3] beschrieben.

Mehr Infos:

[1] www.jaapsch.net 

[2] www.mathematische-basteleien.de

[3] oscar6echo.blogspot.com