Unlösbar: Einen 6x6x6-Würfel füllen mit 27 Klötzern der Größe 1x2x4

Kategorie: Gleiche Klötzer in rechtwinklige Boxen packen

Dies ist ein schönes Geduldspiel, um Kindern oder anderen Anfängern zu zeigen, dass ein Geduldspiel leicht lösbar aussehen kann, es aber nicht ist. Man kann lange herumprobieren, wird aber keine Lösung finden. 

27 Klötzer der Größe 1x2x4 sollen in einen 6x6x6-Würfel gepackt werden. Vom Volumen her könnte es gerade klappen, Box und Steine haben jeweils ein Volumen von 6x6x6 = 27x1x2x4 = 216 Elementarwürfeln. Aber spätestens beim letzten Klotz werden wir scheitern.

Nimmt man statt des letzten 1x2x4-Steins einen 2x2x2-Würfel, wird es recht einfach.

Lösbare Alternative im Bild: 26 Klötzer der Größe 1x2x4 und ein 2x2x2-Würfel passen in einen 6x6x6-Würfel.

Schwierigkeit: Einfach, gut geeignet für Kinder, sobald sie das Volumen der Quader ausrechnen können.

Frage: Kann der 2x2x2-Würfel auch genau in der Mitte der 6x6x6-Box liegen? Wenn nein, warum nicht?

Warum findet man eigentlich keine Lösung für die Ausgangsaufgabe mit 27 gleichen Klötzern der Größe 1x2x4? Es gibt mehrere Erklärungen, zwei werden in den Lösungshinweisen vorgeschlagen.

Lösungshinweis 1: Wir können die Elementarwürfel in der 6x6x6-Box schachbrettähnlich einfärben. Allerdings etwas anders als üblich: Zunächst denken wir uns die 6x6x6-Box zusammengesetzt aus neun 2x2x2-Würfeln. Diese färben wir abwechselnd schwarz und weiss, so dass die Box wie ein 3x3x3-Schachbrettwürfel gefärbt ist. Danach können wir wieder das übliche Paritätsargument verwenden.

 

Lösungshinweis 2: Der 1x2x4-Klotz ist ein sogenannter harmonischer Klotz: Die Seitenlängen sind ganzzahlige Vielfache voneinander. Auf solche Klötzer lässt sich das Theorem von N. de Bruijn anwenden. Sehen Sie, auf welche Art?

 

Im Vergleich zu der Aufgabe, einen 6x6x6-Würfel füllen mit 54 Stäben der Größe 1x1x4, fällt folgender Zusammenhang auf, wenn wir jeden 1x2x4-Klotz in zwei 1x2x4-Stäbe zerteilen: Aus jeder Lösung unseres Problems hätten wir automatische eine Lösung für die 1x1x4-Stäbe. Und andersherum: Wenn wir wissen, dass es keine Lösung für die 1x1x4-Stäbe gibt, kann es also auch keine für unsere 1x2x4-Klötzer geben.

DIY-Tipp: Holzbausteine der Größe 1x2x4 gibt es im Spielzeughandel.