Nützlichkeit für Pentominos, Hexominos und Heptominos

Nützliche Steine werden sicher häufiger verwendet als die weniger nützlichen. Die klassischen Aufgaben für Polyominos sind hier allerdings nicht hilfreich, da stets alle Steine (egal ob nützlich oder nicht) verwendet werden müssen. Wir benötigen also kleinere zu füllende Rahmen, damit jedesmal nicht alle Steine verwendet werden. Dann können wir erwarten, dass die nützlichen Steine häufiger und die weniger nützlichen seltener genutzt werden.

Bei Pentominos verwenden wir Rahmen aus 30 Elementarquadraten (zu füllen mit 6 der 12 Pentominos). Für Hexominos und Heptominos benutzen wir Rahmen der Größe 60 bzw. 70, so dass jeweils 10 Steine benötigt werden. Neben einem rechteckigen (bzw. fast  rechteckigen) Rahmen wählen wir vier weitere Rahmen entsprechender Größe mit unregelmäßig geformten Rand. Dies soll die Situation gegen Ende eines Geduldspiels repräsentieren, bei dem das Spiel "fast gelöst" ist und nur noch eine kleine, zusammenhängende Restfläche irgendwo in der Mitte zu füllen ist.

Diese Aufgabe wird mit einem Computerprogramm gelöst, und für die gefundenen Lösungen wird gezählt, wie oft die einzelnen Pentominos verwendet wurden. Verschiedene Computerprogramme sollten dieselben Ergebnisse liefern, hier wurde das Programm mops.exe [2] von Peter Esser verwendet, welches auch diese Auszählung für uns automatisch übernimmt. 

Ein ähnliches Experiment für Pentominos im rechtwinkligen Rahmen) stammt von Lewis Patterson [1] aus dem Jahr 2019.

Hier die Ergebnisse der Experimente. Auffällig ist in jedem der Fälle, dass das Polyomino in Form eine I in den (fast) rechtwinkligen Rahmen sehr nützlich ist, in den anderen Rahmen eher weniger bis gar nicht nützlich. Daraus sollte man nicht schlussfolgern, dass das I allgemein durchschnittlich nützlich ist, sondern dass man es bei Rahmen mit langen, geraden Kanten sofort an einen solchen Rand legen sollte. Das gilt analog auch für L-förmige Steine. Eine umgekehrte Beobachtung gilt für gleichmäßig gezackte Ränder: Hier lässt sich beispielsweise das W-Pentomino sehr gut verwenden.

In den folgenden Tabellen findet sich links der zu füllende Rahmen, rechts die verwendeten Steine und dazu blau hinterlegt die Häufigkeit der Verwendung.

Pentominos: Fläche 30, 1000 Versuche, Durchschnitt: 500

Bei einer Rahmengröße von 30 werden in 1000 Versuchen jeweils 6 der 12 Pentominos verwendet, dies ergibt eine durchschnittliche Verwendungszahl von 500 pro Versuch. 

Im Durchschnitt ergeben sich folgende Zahlen:

Damit bestätigen sich in etwa die intuitiven Kriterien aus der Nützlichkeitsbetrachtung.

Hexominos: Fläche 60, 100 Versuche, Durchschnitt: 27.8

Auffällig große Nützlichkeit finden sich (wie erwartet) bei den Steinen, die einen massiven 2x2-Block enthalten (6, 15, 18 und 21-25)

Heptominos: Fläche 70, 100 Versuche, Durchschnitt: 9.25

Hie die Ergebnisse für Heptominos. Der Stein Nr. 98 mit einem Loch wird natürlich niemals verwendet.

Auch bei den Hexominos und Heptominos werden in etwa die intuitiven Kriterien aus der Nützlichkeitsbetrachtung bestätigt.

Mehr Infos:

[1] https://polyominoes.blogspot.com/2019/04/the-most-useful-pentominoes-experiment.html
[2] http://www.polyforms.eu/