Der 3x3x3-Conway-Würfel alias das Slothouber-Graatsma-Puzzle

Kategorie: Gleiche Klötzer in rechtwinklige Boxen packen

Fangen wir mit dem einfachsten Packproblem einer ganzen Reihe an. In der Tat ist das Geduldspiel so einfach, dass es momentan scheinbar niemand herstellen will. Und der Name ist auch merkwürdig: Eigentlich besitzt das Geduldspiel gar keinen richtigen Namen, solche Geduldspiele werden oft nach ihren Erfindern benannt. Und dieses Geduldspiel wurde gleich zweimal unabhängig voneinander erfunden:

Von dem englischen Mathematiker John Horton Conway und später noch einmal von den niederländischen Architekten Jan Slothouber und William Graatsma. Mehr unten unter Historisches.

Trotzdem ist es ein wichtiges Geduldspiel, weil es erstens bei der Lösung einen Aha-Effekt vermittelt und wir diese Idee noch wiederholt anwenden können. Und zweitens versteckt sich der 3x3x3-Conway-Würfel  / das Slothouber-Graatsma-Puzzle auch noch in einigen anderen Geduldspielen.

Hier die Aufgabe: Sechs Quader der Größe 1x2x2 sollen in einen würfelförmigen Behälter der Größe 3x3x3 gepackt werden. 

Gedruckt mit dem STL-File von https://www.thingiverse.com/thing:2587836

Zählen wir nach, wie viel Platz (gemessen in Elementarwürfeln der Größe 1x1x1)  wir haben: Jeder der Klötzer besteht aus vier Elementarwürfeln, für sechs solche Klötzer benötigen wir also den Platz von 24 Elementarwürfeln. Der würfelförmige Behälter bietet 27 Elementarwürfel Platz. In manchen Varianten des Geduldspiels werden auch drei Elementarwürfel zusätzlich mitgeliefert. Dadurch wird der 3x3x3-Würfel völlig gefüllt, die Schwierigkeit des Geduldspiels ändert sich aber nicht. 

Erste Versuche zu Lösung der Aufgabe schlagen aber erfahrungsgemäß fehl, der letzte Quader will einfach nicht mehr in den Würfel passen. In diesem scheinbar so einfachen Geduldspiel liegt wieder ein Geheimnis, das wir ergründen müssen, bevor wir zur Lösung vordringen können. Also sollten wir nachdenken, was wir immer wieder falsch machen. Eine dankbare Aufgabe ist es zu fragen, wo sich die drei frei bleibenden Elementarwürfel befinden sollten. Sie können nicht überall liegen, und in der Antwort auf die Frage liegt die Lösung des Geduldspiels.

Schwierigkeit: Profis sollten das Geduldspiel kennen (oder sich daran erinnern können). Wer es nicht kennt, hat eine extrem einfach aussehendes Geduldspiel vor sich, das es in sich hat. Mittelschwer.

Aufgabe: Hier noch eine Aufgabe zum Nachdenken: Beweisen Sie, dass es nur eine Möglichkeit gibt, die drei freibleibenden Elementarwürfeln anzuordnen. 

DIY mit 3D-Druck: Wenn solch ein älteres und interessantes Geduldspiel nicht  erhältlich ist, hat es doch sicher schon jemand für seinen 3D-Drucker modelliert und stellt uns die STL-Dateien zur Verfügung. Beispielsweise finden wir das Geduldspiel auf Thingiverse. Das Foto oben zeigt die Steine. Die Steine haben angenehm abgerundete Kanten. Und dazu gibt es noch eine würfelförmige Aufbewahrungsbox.

Lösungshinweis 1: Betrachten wir nur eine Etage des Würfels: Egal ob er steht oder liegt, ein 1x2x2-Klotz füllt entweder zwei oder vier Elementarwürfel dieser Etage, in jedem Fall also eine grade Anzahl. Da eine Etage aus neun Elementarwürfeln besteht, bleibt also in jeder Etage mindestens ein Elementarwürfel frei. Da es drei Etagen gibt und zum Schluss genau drei Elementarwürfel frei bleiben, muss es in jeder Etage genau einer sein. Und dies gilt nicht nur für die horizontalen Etagen, sondern auch für die vertikalen Schichten: Immer muss genau ein Elementarwürfel frei bleiben. Das heißt, dass niemals zwei freibleibende Elementarwürfel direkt nebeneinander liegen dürfen, wenn wir erfolgreich sein wollen.

 

Lösungshinweis 2: Eine Lösungsidee ist es nun, die drei freibleibenden Elementarwürfel entlang einer Raumdiagonale des Würfels zu platzieren. Wenn man dieses Ziel vor Augen hat, sind die Klötzer schnell erfolgreich im 3x3x3-Würfel untergebracht.

 

Historisches: David Singmaster schreibt in [3]:

Because of the attribution to Slothouber & Graatsma and not knowing the date of Conway's work, I had generally attributed the 3x3x3 puzzle to them and Stewart Coffin followed this in his book. However, it now seems that it really is Conway's invention and I must apologize for misleading people.

[Wegen der Zuschreibung an Slothouber & Graatsma und da ich das Datum von Conways Arbeit nicht kannte, hatte ich ihnen das 3x3x3 Puzzle zugeschrieben und Stewart Coffin folgte dem in seinem Buch. Allerdings scheint es jetzt wirklich Conways Erfindung zu sein und ich muss mich für die Irreführung entschuldigen.]

Erscheinungsjahr: ca. 1970

Google: Slothouber Graatsma Puzzle
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Weiterführende Informationen:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Slothouber%E2%80%93Graatsma_puzzle
[2] https://demonstrations.wolfram.com/PackingTheSlothouberGraatsmaCube/
[3] https://www.puzzlemuseum.com/singma/singma5/SOURCES/SOURCE2.DOC