Nachdem wir uns schon daran versucht haben, Kisten mit vielen Y-Pentominos zu packen, soll hier dasselbe mit N-Pentominos versucht werden.
Boxen der Größe nx5x5
Als Einstieg bietet sich wieder der 5x5x5-Würfel an. Diesen mit 25 Y-Pentominos vollzupacken, gehörte schon zu den sehr schwierigen Geduldspielen. Wir werden gleich sehen, dass es mit dem N-Pentomino statt dem Y-Pentomino noch schwieriger wird!
Untersuchen wir die Lösbarkeit mit dem PolySolver:
Fangen wir mit dem 5x5x5-Würfel an und versuchen, ihn mit 25 N-Pentominos zu füllen: Es werden 192 PolySolver-Lösungen (d.h. 192/48=4 verschiedene Lösungen) in 2:36 Minuten gefunden.
Dann nehmen wir uns doch die flacheren nx5x5-Kisten vor:
Für den 4x5x5-Würfel aus 20 N-Pentominos werden 288 PolySolver-Lösungen (d.h. 288/16=18 verschiedene Lösungen) in 2.7 Sekunden gefunden.Es gibt also weniger Lösungen für die größere Box! Deshalb ist die 4x5x5-Box einfacher zu füllen aus als die 5x5x5-Box. Vielleicht können wir durch planvolles Vorgehen einen weiteren Vorteil gewinnen. Testen wir die flacheren Boxen weiter:
- Für den 2x5x5-Würfel aus 10 N-Pentominos: 8 Lösungen in 0.0 Sekunden. (Bis auf Symmetrie ist das nur eine Lösung, die auch noch symmetrisch ist.)
- Für 1x5x5 und 3x5x5 gibt es hingegen keine Lösungen.
Hier als kleine Hilfe eine Hälfte der Lösung für den 2x5x5-Quader: Zwei solche Teile lassen sich aufeinanderstecken und ergeben den gesuchten Quader.
Wenn wir das wissen, können wir natürlich zwei Lösungen der Größe 2x5x5 übereinanderstapeln, um eine Lösung der Größe 4x5x5 zu erhalten.
Im allgemeinen Fall können wir nun Boxen der Größe nx5x5 außer für n=1 und n=3 durch Stapeln entsprechend vieler Kopien der Höhe n=2 und nötigenfalls einer Kopie der Höhe n=5 füllen.
Höhe 2: 2
Höhe 4: 4=2+2
Höhe 5: 5
Höhe 6: 6=2+2+2
Höhe 7: 7=2+5
Höhe 8: 8=2+2+2+2
Höhe 9: 9=2+2+5
usw.
Wir können immer in Zweierschritten fortfahren, indem wir eine 2x5x5-Box oben auflegen und mit den Lösungen für n=4 bzw. n=5 beginnen.
Alle Boxen mit maximal 25 N-Pentominos
Hier die Liste von Boxen mit maximal 25 N-Pentominos von T. Sillke [1]:
- 2x4x5, 2x5x5. 2x5x6, 2x5x7, dann alle weiteren 2x5x(n+4)
- 2x4x10, 2x4x15 aus mehreren Exemplaren 2x4x5
- 3x5x8
- 4x4x5, 4x5x5,
- 3x4x10
DIY-Tipp: Viele gleiche N-Pentominos lassen sich natürlich auch mittels 3D-Druck selbst herstellen. Vorlagen findet man bei Thingiverse, z.B. von soonoman oder Jamo. Haben die Elementarwürfel eine Seitenlänge von ca. 15mm, so lässt sich damit angenehm hantieren.
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