Unter den Aufgaben für einseitige Hexominos waren einige rechteckige Rahmen mit rechteckigen Löchern. Wenn solch ein rechteckiges Loch die Fläche von 90 Elementarquadraten hätte, könnte man versuchen, dieses Loch mit einseitigen Pentominos zu füllen. Kann dies klappen? Ja, es kann!
Für das Foto wurden die 3D-gedruckten einseitigen Pentominos und die 3D-gedruckten einseitigen Hexominos verwendet.
Um mehr solche Rechtecke in anderer Form zu finden, müssen wir etwas rechnen. Die Gesamtfläche der 60 einseitigen Hexominos und 18 einseitigen Pentominos beträgt 60*6 + 18*5 = 450. Damit sind die folgenden Rechtecke der Fläche 450 möglich: 18x25, 15x30, 10x45 und 9x50. Schmalere Rechtecke der Breite 2, 3, 5 oder 6 sind nicht sinnvoll, da sich darin kein zentrales leeres Rechteck mit einer Breite von mindestens 3 so unterbringen lässt, dass der Rahmen eine Mindestbreite von 3 besitzt.
Für das innere Rechteck mit 90 Elementarquadraten sind Rechtecke der Größen 10x9, 15x6, 18x5 sowie 30x3 möglich. Damit solch ein kleineres Rechteck an zentraler Position in einem größeren Rahmen platziert werden kann, ist eine weitere Bedingung nötig: Besitzt eine Außenkante eine ungerade Länge, so muss auch die parallele Innenkante eine ungerade Länge besitzen. Ebenso gehört zu einer Außenkante gerader Länge eine parallele Innenkante ebenfalls gerader Länge.
Damit ergeben sich genau die unten beschriebenen Möglichkeiten, ein zentrales Loch in Form eines Rechtecks der Fläche 90 in ein Rechteck der Fläche 450 zu schneiden, wenn der Rahmen eine mindestbreite von 3 besitzen soll.
Frage: Ein möglicher Rahmen mit Breite 2 (oben und unten) entsteht aus dem 9x50-Rechteck mit einem Loch der Größe 5x18. Lässt sich dieser mit einseitigen Hexominos füllen? Wenn nein, warum nicht?
Bei den folgenden Aufgaben wird nur der mit einseitigen Hexominos gefüllte Rahmen gezeigt. Lösungen für das Loch der Größe 90 findet man bei den Aufgaben für einseitige Pentominos.
Aufgabe 1: Rechteck 25x18 mit Loch 9x10
Aufgabe 2: Rechteck 25x18 mit Loch 15x6
Aufgabe 3: Rechteck 30x15 mit Loch 10x9
Aufgabe 4: Rechteck 30x15 mit Loch 18x5
Aufgabe 5: Rechteck 45x10 mit Loch 15x6
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