Quader ungerader Seitenlängen packen mit 1x2x2-Klötzern

Beim 3x3x3-Conway-Würfel erwies es sich als schwierig, 6 Klötzer der Größe 1x2x2 in einen 3x3x3-Würfel zu packen. Die Größe der Box soll hier verallgemeinert werden: Wir wollen zunächst einen 3x3x7-Quader, danach einen 3x7x11-Quader und schließlich beliebige Quader mit ungeraden Seitenlängen mit den solchen 1x2x2-Klötzern füllen. Natürlich bleiben einige Löcher, und zwar mindestens in jeder Schicht eins, da ein Klotz pro Schicht entweder zwei oder vier Elementarwürfel belegt. 

Aufgabe 1: Packen Sie 14 Klötzer der Größe 1x2x2 in einen 3x3x7-Quader! Es bleiben genau 7 Löcher, in jeder der sieben Schichten eines.
Lösungshinweis: Packen Sie 5 der 7 Löcher ins Innere des Quaders, so dass man sie von außen nicht sieht. Diese Lösung lässt sich verallgemeinern für alle Quader der Größe 3x3x(2n+1). Man startet bei n=1 mit dem 3x3x3-Conway-Würfel und verlängert diesen einfach, indem man jeweils einen Ring von vier Klötzern einfügt. 

Die drei Klötzer im Vordergrund passen als Deckel auf das hintere Teil. Ganz vorn links oben bleibt ein Elementarwürfel frei (siehe Bild unten).

Ein einziger leerer Elementarwürfel pro Schicht reicht aber in anderen Fällen nicht aus, wie das folgende Beispiel zeigt:

Aufgabe 2: Wie viele 1x2x2-Klötzer passen in einen 3x7x11-Quader? Der Quader besteht aus 11 Schichten der Größe 3x7, deshalb müssen mindestens 11 Elementarwürfel frei bleiben. Passen (3x7x11-11)/4=55 Klötzer in unseren Quader? Das klappt nicht, aber mit 54 klappt es. Für die abgebildete Lösung verwenden wir den 3x3x7-Quader von oben und ergänzen ihn um acht Schichten der Größe 3x1x7, also einen 3x8x7-Quader. In jeder der acht hinzugefügten Schichten bleibt wieder eine einzelne Lücke.

Bleibt die Frage, wieso der Stein Nummer 55 nicht mehr hineinpasst. Wir können wieder eine schachbrettähnliche Färbung anwenden, und zwar diesmal mit vier Farben. Wir bezeichnen die vier Farben mit A, B, C und D und ordnen sie folgendermaßen an:

Schicht 1:   C  B  C  B  C  B  C  B  C  B  C  

         A  D  A  D  A  D  A  D  A  D  A  

         C  B  C  B  C  B  C  B  C  B  C  

         A  D  A  D  A  D  A  D  A  D  A   

         C  B  C  B  C  B  C  B  C  B  C  

         A  D  A  D  A  D  A  D  A  D  A  
         C  B  C  B  C  B  C  B  C  B  C  

Schicht 2:   D  A  D  A  D  A  D  A  D  A  D

         B  C  B  C  B  C  B  C  B  C  B

         D  A  D  A  D  A  D  A  D  A  D
         B  C  B  C  B  C  B  C  B  C  B
         D  A  D  A  D  A  D  A  D  A  D

         B  C  B  C  B  C  B  C  B  C  B
         D  A  D  A  D  A  D  A  D  A  D

Schicht 3:  wie Schicht 1

Unabhängig von seiner Lage belegt jeder Klotz vier Elementarwürfel verschiedener Farbe. Aber es gibt nicht gleichviele Elementarwürfel in den verschiedenen Farben: Wir finden 56 mal A, 58 mal B, 63 mal C und nur 54 mal D. Damit können wir maximal 54 Klötzer in die Box packen. Dass dies tatsächlich klappt, zeigt das Foto oben.

Dieser Beweis geht auf F.W. Barnes [1] zurück und lässt sich auf beliebige Boxen mit ungerader Seitenlänge übertragen:

In einen Quader mit ungeraden Seitenlängen a ≤ b ≤ c lassen sich ¼(abc+a-b-c) Klötzer der Größe 1x2x2 packen, dabei bleiben genau b+c-a Elementarwürfel frei. 

Mit der Färbung oben kann man zeigen, dass mindestens b+c-a Elementarwürfel frei bleiben, zusätzlich muss man eine Füllung mit der entsprechenden Anzahl von Klötzern angeben. Hier kann man nacheinander immer größere Quader betrachten, indem man die Seitenlängen jeweils um 2 vergrößert und eine Randschicht um den vorhergehenden Quader baut. Details in [1].

DIY-Tipp: Man kann die Bauklötzer im Internet direkt bestellen. Achten Sie auf das Seitenverhältnis 1:2:2. Vielleicht werden Sie auch bei Ihren Kindern fündig. Alternativ ist auch 3D-Druck möglich. Beispielweise gab es beim 3x3x3-Conway-Würfel einen passenden Stein.

Mehr Infos: 

[1] F.W. Barnes: How many 1×2×4 bricks can you get into an odd box?. Discrete Mathematics Vol. 133, Pages 55-78, Elsevier 1994.